高校教师应聘试讲-极大似然估计

1、试讲内容：极大似然估计教学目的：1 明确极大似然估计是在总体分布已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2 理解极大似然估计的思想；3 掌握求极大似然估计的一般步骤，会求常见参数分布的极大似然估计值；4 极大似然估计在现实生活中的应用。教学重点：1 对极大似然估计思想的阐述；2 对极大似然估计的求解。教学难点：能通过求导方法获得极大似然估计的值。教学过程：一、 极大似然思想 引例：问题一：射击问题问题二：模型问题所谓极大似然估计思想，就是根据概率最大原则进行推断。二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体是离散型随机变量，其概率函数为，其中是未知参数设为取自总体的样本的联合概率函数为，这

2、里，是常量，是变量若我们已知样本取的值是，则事件发生的概率为这一概率随的值而变化从直观上来看，既然样本值出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使取比较大的值换句话说，应使样本值的出现具有最大的概率将上式看作的函数，并用表示，就有： （）称为似然函数极大似然估计法就是在参数的可能取值范围内，选取使达到最大的，作为参数的估计值即取，使 （）因此，求总体参数的极大似然估计值的问题就是求似然函数的最大值问题这可通过解下面的方程 （）来解决因为是的增函数，所以与在的同一值处取得最大值我们称为对数似然函数因此，常将方程（）写成： （）方程（）称为似然方程解方程（）或（）得到的就是参数的极大似然估计值如

3、果方程（）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值有时，直接用（）式行不通，这时必须回到原始定义（）进行求解、连续分布场合：设总体是连续型随机变量，其概率密度函数为，若取得样本观察值为，则因为随机点取值为时联合密度函数值为所以，按极大似然法，应选择的值使此概率达到最大我们取似然函数为，再按前述方法求参数的极大似然估计值三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值例1、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从，其中未知为估计，从中随机抽取根轴，测得其偏差为试求的极大似然估计分析：

4、显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题通过建立关于未知参数的似然方程组，从而进行求解解：（）写出似然函数：（）写出对数似然函数：（）将分别对求偏导，并令它们都为，得似然方程组为：（）解似然方程组得：，（）经验证使达到极大，（）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得的极大似然估计分别为：，、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（）出发直接求的极大值点例2、设总体服从均匀分布，从中获得容量为的样本，其观测值为，试求的极大似然估计分析：当写出其似然函数时，我们会发现的

5、非零区域与有关，因而无法用求导方法来获得的极大似然估计，从而转向定义（）直接求的极大值解：写出似然函数：为使达到极大，就必须使尽可能小，但是不能小于，因而取时使达到极大，故的极大似然估计为：综上，可得求极大似然估计值的一般步骤四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数看作自变量，得到似然函数；3、求似然函数的最大值点（常转化为求对数似然函数的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值五、极大似然估计的不变性求未知参数的某种函数的极大似然估计可用极大似然估计的不

6、变原则，证明从略定理（不变原则）设是的极大似然估计，是的连续函数，则的极大似然估计为例3、设某元件失效时间服从参数为的指数分布，其密度函数为，未知现从中抽取了个元件测得其失效时间为，试求及平均寿命的极大似然估计分析：可先求的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为的期望值，在指数分布场合，有，它是的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计解：（）写出似然函数：（）取对数得对数似然函数：（）将对求导得似然方程为：（）解似然方程得：经验证，能使达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故的极大似然估计为：；根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：试讲内容：随机变量及其

7、分布函数教学目的：1.理解随机变量的意义；2.了解常用的离散型随机变量和连续型随机变量3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学过程：一 、随机变量的定义引例： 电子元件寿命>1000h 一等品 =X>1000=-X1000 400h<寿命1000h 二等品=400<X1000=X1000-X400 寿命400h 三等品 =X400:电子元件总体 ：电子元件 X：电子元件的寿命Xa，是一个基本形式。XaF(事件)定义：设随机试验的样本空间

8、为，如果对每一个样本点，均有唯一的实数X()与之对应，称X()为样本空间上的随机变量。实例：抛硬币 掷骰子随机变量与普通函数的区别：1 随机变量定义在样本空间，定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2 随机变量函数的取值在实验之前无法确定，但取值有一定的概率；而普通函数,没有这种性质。随机变量一般用大写字母X,Y,Z表示，而表示随机变量所取值的时候，一般用x,y,z表示。分类：随机变量 离散型随机变量 所有取值可以逐个列举 连续型随机变量 所有可能取值不仅有无穷多个，而且 无法一一列举，是充满一个区间的二、 离散型随机变量及其分布律定义：若随机变量X的全部可能取值是有限多个

9、或者无限可列多个，则称此随机变量是离散型随机变量。定义：设离散型随机变量X的所以取值为xk,k=1,2,.X取各个可能值的概率PX=xk=pk pk 满足下列条件（1）pk 0（2）k=1npk=1下面介绍几种常见的离散随机变量三常用离散型随机变量（1） 两点分布如果随机变量的分布如下：P(X=1)=p P(X=0)=1-p其中0<p<1，则称X服从参数为p的两点分布.这是一个最简单的分布类。任何一种只有两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男士女，明天是否下雨，种子是否发芽，都可以用它描述。（2） 二项分布如果随机变量的分布如下:P(X=k)=Cnkpkqn-k k=0,1,2,

10、n其中0<p<1 则称X服从参数为（n,p）的二项分布。或记作XB(n,p )已知单次实验中事件A发生的概率为p，问：n次重复独立实验中A发生k次的概率是多少。（3） 泊松分布如随机变量X的分布函数如下：PX=k=kk!e-,k=0,1,2,>0则称X服从参数为的泊松分布，记作XP()在生物学，医学，工业统计，保险科学及公用事业的排队问题中，泊松分布是常见的。例如，容器内的细菌数，铸件的瑕疵点，事故数，交换台的电话呼叫次数等等，大都服从泊松分布。（4） 几何分布在事件A在单次实验中发生的概率为p的独立重复试验中。若记X=A初次发生时的实验次数则，X具有如下概率分布PX=k=q

11、k-1p k=1,2这个概率分布成为几何分布四 连续型随机变量及其分布函数定义：若随机变量X所有可能取值不仅有无穷多个，而且无法一一列举，是充满 一个区间的,则称X为连续型随机变量。定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数F(x)=PXx(-<x<+)为X的分布函数。记作XF(x).性质：1 非降函数，若x1<x2,则Fx1Fx22 0Fx13 F(x)右连续，F(X+0)=F(x)定义：如果随机变量X的分布函数为F(x)=-xf(t)dt其中被积函数f(t)0,则称X为连续型随机变量，称ft为概率密度函数。五 常用连续型的随机变量(1) 均匀分布若随机变量X的概率密度

12、为fx=1b-a a<x<b0 其他则称X服从（a,b）上的均匀分布，记作XU(a,b)均匀分布的分布函数为Fx=0 x<ax-ab-a ax<b1 xb 特殊均匀分布U(0,1)在随机模拟中占有重要地位。(2) 指数分布若随机变量X具有概率密度fx=e-x x00 x<0则称X服从参数为的指数分布，记作XE（）X 的分布函数为Fx=1-e-x x>00 x0 指数分布用来表示独立随机事件发生的时间间隔，例如旅客进机场的时间间隔；许多电子元件的寿命一般也服从指数分布。(3) 正态分布 若随机变量X具有概率密度fx=12e-x-222-<x<+其中

13、和是常数，且>0,则称X服从参数为，的正态分布，记作XN(,2)特殊正态分布N（0，1）试讲内容：大数定律教学目的：1 介绍大数定律的基本思想2 介绍大数定律在现实中的应用3 大数定律可能失效的场合黑天鹅教学重点：1大数定律基本思想的阐述2 如何避免大数定律被误读教学难点1大数定律基本思想的阐述（1） 频率的稳定性（2） 平均数的稳定性2 如何避免大数定律被误读教学过程：一 大数定律基本思想大数定律是数学和概率论中最直观的定律之一，该定律应用非常广泛，但是时常被误用或者理解错误。（1） 频率的稳定性引例：  如果您随机地向上抛一枚硬币，很难判断这枚硬币落地后是正面朝上

14、还是反面朝上。如果您抛了10次硬币，可能有五次正面朝上，也可能3次朝上，甚至有可能没有一次正面朝上。但是如果您不嫌累，一直不停地抛下去，抛了1000次、10000次、1000000次，您就会发现，硬币正面朝上和反面朝上的次数越来越近，近似等于总次数的一半；而且抛的次数越多，正面朝上的次数越稳定地接近于总次数的一半。这就是数学上所说的略带神秘色彩的“大数定律”。这个定律说的是随着随机试验次数的大量增加，某随机事件发生的频率具有稳定性，逐渐趋于某个常数。比如上面的抛硬币试验，随着试验次数的大量增加，硬币正面朝上的频率逐渐趋于二分之一，也即抛一枚硬币落地后正面朝上的概率为二分之一。设n是n次独立实验

15、中时间A发生的次数，且A在每次实验中发生的概率P,当n足够大时，nnp其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率接近其发生的概率，即频率的稳定性。（2） 平均数的稳定性我首先用比较正式的方式来讲解，然后给出直观的理解.假设我有随机变量X，大数定律是说，随机变量的n次观测样本，将所有值平均起来，定义Xn表示该平均值。这是随机变量观测n次的均值。Xn=X1+X2+Xnn总共进行n次试验，最后除以n.大数定律是说，样本均值趋近于随机变量的期望值，XnEX或者说，当n趋于无穷的时候，样本均值趋近于总体均值。Xn大体思路就是这样，当样本量足够大的时候，样本均值接近期望。例子：假设随机变量X表示抛100次硬

16、币得到正面的次数E（X）=100×12=50大数定律是说，如果样本量足够大，那么样本均值将趋近于期望值。Xn=55+65+45+n50可能有人会认为，100次试验后，如果正面数高于均值，则定律会让后面的正面数更少，这是不对的，通常被称为赌徒谬误。大数定律并不关心前面发生的情况，比如在有限次的试验过后，得到的均值可能为70，可能性很小，但是有。大数定律根本不关心这有限次实验，因为后面还有无限次试验。这无限次实验的期望值是50.将有限个平均值高于期望值的数，和无限个平均值收敛于期望值的数，一起求均值，最后肯定收敛回期望值。该定律运用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n增加，样本平均

17、值就会接近总体平均值。从而依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。大数定律的概念很重要，很直观。只是描述为随机变量以后，让人有些畏惧。下面我们来举一些例子。帮助大家理解大数定律。二 大数定律应用例1 余额宝例 2 保险经营：大数定律对于保险经营来说至关重要。大数定律说明，当保险标的的数量足够大时，我们可以根据以往的统计数据计算出某种损失发生的估计概率，这个概率比较稳定，与这种损失未来实际发生的概率非常接近，我们就可以根据这个概率来计算可能发生的损失并确定要收取多少保费。比如，我们无法预测某栋房屋未来一年内发生火灾的概率，因为可能引发火灾的因素实在太多。如果保险公司只为一栋房屋提供保险，这无异于一场赌博。但是根据以往的统计数据，假如发现一年内10000栋房屋就有20栋房屋失火，那么，基本可以有把握地说，每栋房屋失火的概率为0.2%，据此，我们可以计算每栋房屋未来一年可能发生的损失。如果有数量足够大的