第二章轴压构件

1、1-小挠度理论欧拉临界力(弹性)2-大挠度理论屈曲后性能(弹性)3-有初弯曲时(弹性)4-有初偏心时(弹性)3-有初弯曲时(弹塑性)4-有初偏心时(弹塑性)1）理想轴压杆的欧拉临界力Euler critical load基本假设：v同一材料制成的等截面直杆，两端铰接；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）；v材料为弹性；v构件变形非常微小（小挠度理论 ）。 ) (1 232yyy/1y则力矩平衡方程为： yEIEIyPM0 PyyEI为二阶齐次常微分方程EIPkyky22 0 该微分方程的通解为：kxBkxAycossinA,B为待定系数，由边界条件确定kxAyB

2、yxsin , 0 000sin 0klAylx0 A否则方程的解为0，没有意义。0sin kllnkn 即2lnEIP由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：222lEInPcrnlxnAysinv参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。v在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxnAysin2）边界效应与计算长度的概念 (boundary conditions and effective length concept)（求

3、解两端为任意支承情况时的临界力）PQMBMAPQMAPQPQMxxyy任意一截面弯矩(对A点取矩)：AMQxyPMlMMQBA弯矩与曲率的关系AMQxPyyEI EIyM则有二阶常系数微分方程： 其中：则方程的通解为：DCxkxBkxAycossin其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。对通解求导，可得其各阶导数：kxBkkxAkykxBkkxAkyyCkxBkkxAkyysincos cossin sincos3322各种支承情况的边界条件为： 铰支： 固支： 自由端：0 , 0 0 , 00 , 02ykyyyyyy剪力Q0，由前面的微分方程得：再求一次导数得：AMPyEIy

4、0 2yky杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程EIPk 其中v工况一：两端嵌固轴心压杆有：0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDClklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl则：因此有：由第一式得：第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法 在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点即为方程的解。22 02sinklkltgkl或22mi

5、n2224422lEIPlEInPEIPlnknklcrcrn2kltgy 2kly 取最小值得：22)2/(4934. 4 4934. 443. 12lEIPklcr结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：224lEIPcrv工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy0cos0sin0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDBkltgklklklklklklkl0cossin01cossin采用图形曲线法得：lkkl43. 143. 122222)7 . 0()43. 1/(

6、43. 1 lEIlEIEIlPcrv工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：0 , 0 0 , 0200lxlxlxxxykyyyy0cos00)sincos( sincos0cossin0020 , 023322klBkDBCklBkklAkkklBkklAkklBkklAkCAkDBCA0cos0cos00cos1122klklkklk)3 , 2 , 1( 212nnkl222)2(2) 12(lEI PEIln Pcrv工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0 , 00 , 0200lxlxlxxxykyyyy0sin00)sincos( sincos0sincos0

7、00 , 0233klBkDBCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkCAkDBCA0sin0sin00sin11klklkklk)3 , 2 , 1( nnkl222lEI PEIln Pcrv工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：0 , 00 , 0200lxlxlxxxykyyyy220 , 0 , 0233)2(0cos0)sincos( sincos0sincos00lEIPklCklBkklAkkklBkklAkCklBkklAkBDBcrCDB注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：220202)( lEIPlllEIPcrcrl0有效

8、长度、或计算长度；l实际杆长；杆件计算长度系数。临界应力：其中：屈曲临界应力与长细比的关系：22202202202EilEAIlEAlEIAPcrcrilil0超过屈服点fy时以虚线表示1）大挠度方程基本假设：v同一材料制成的等截面两端铰接直杆；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形；v材料为弹性；v构件曲率与变形的关系：因此大挠度方程为：232) (1 /yy0) (1 232PyyEIy/与小挠度理论相同2）大挠度理论的解 应采用特殊的变换和数值解法才能求解。 （大多数非齐次微分方程都没有解析解） 可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线3）几点结论v当P比例极限p时，欧

9、拉公式不再适用。 因为前面推导时用到了 y，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。v临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点）若令：ppppcrEE22v轴心压杆弹塑性失稳的计算理论 切线模量理论，1889，Engesser. F, Et 双模量理论，1895，Engesser. F, EtEr，即 这也是1907年魁北克大桥倒塌的原因(弦杆缀条太弱)。当=3050时，sin cos2 0.36，则v讨论22202EEcrdAA27204）双肢缀板柱v剪力Q引起的位移单肢水平位移v柱肢的水平变形：一般缀板刚度要求大于柱肢刚度的6倍以上，所以b可以忽略。bccccEIQaa

10、QEI48223133v单位剪切角cQEIaa242/21v换算长细比cEIaEA241222021202222222222220 )2/(1224241cccciaAIaIAaEIaEA其中 为单肢长细比。cia1v 一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的两个对称轴发生弯曲失稳；但是对于抗扭刚度弱的轴两个对称轴发生弯曲失稳；但是对于抗扭刚度弱的轴心受压构件（如双轴对称十字形截面轴心受压构件），心受压构件（如双轴对称十字形截面轴心受压构件），还可能发生绕纵轴的扭转失稳。还可能发生绕纵轴的扭转失稳。 2.7.1 扭转的类型扭转的类型 钢结构中一般

11、采用非圆截面构件，此类构件的扭转与圆钢结构中一般采用非圆截面构件，此类构件的扭转与圆形截面构件的不同，前者扭转后的截面不再保持平面，而形截面构件的不同，前者扭转后的截面不再保持平面，而要发生翘曲（截面凹凸），即截面上各点产生轴向位移。要发生翘曲（截面凹凸），即截面上各点产生轴向位移。如果能够自由翘曲，外扭矩将全部由剪应力抵抗，这类扭如果能够自由翘曲，外扭矩将全部由剪应力抵抗，这类扭转称为自由扭转、纯扭转或均匀扭转；如果截面不能自由转称为自由扭转、纯扭转或均匀扭转；如果截面不能自由翘曲，则外扭矩由剪应力和翘曲扭矩共同抵抗，这类扭转翘曲，则外扭矩由剪应力和翘曲扭矩共同抵抗，这类扭转称为约束扭转或非

12、均匀扭转。称为约束扭转或非均匀扭转。 v自由扭转有两个特点：自由扭转有两个特点： 1、自由扭转：、自由扭转：构件各截面的翘曲相同。因此，构件的纵向纤维构件各截面的翘曲相同。因此，构件的纵向纤维不产生轴向应变，截面上没有正应力而只有扭转引起不产生轴向应变，截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。的剪应力。 纵向纤维不发生弯曲，即翼缘和腹板的纵向纤纵向纤维不发生弯曲，即翼缘和腹板的纵向纤维保持直线，上下翼缘相互仅扭转了一个角度（扭转维保持直线，上下翼缘相互仅扭转了一个角度（扭转角）。角）。 v约束扭转有两个特点：约束扭转有两个特点： 2、约束扭转：、约束扭转：约束使纵向纤维不能自由伸缩，产生纵向正

13、应力，约束使纵向纤维不能自由伸缩，产生纵向正应力，称为翘曲正应力。因各纤维正应力不同，导致构件弯称为翘曲正应力。因各纤维正应力不同，导致构件弯曲，所以约束扭转又称为弯曲扭转。由于构件弯曲，曲，所以约束扭转又称为弯曲扭转。由于构件弯曲，除了产生弯曲扭转正应力，必将产生弯曲扭转剪应力，除了产生弯曲扭转正应力，必将产生弯曲扭转剪应力，也称扇性剪应力。也称扇性剪应力。纵向纤维发生弯曲，扭率沿杆长变化。纵向纤维发生弯曲，扭率沿杆长变化。 2.7.2 轴心受压构件弹性扭转失稳轴心受压构件弹性扭转失稳 对于抗扭刚度低的双轴对称截面轴心受压构件（如对于抗扭刚度低的双轴对称截面轴心受压构件（如十字形截面构件），

14、可能在轴向压力尚未达到欧拉临十字形截面构件），可能在轴向压力尚未达到欧拉临界力之前，构件就发生绕纵轴的扭转失稳。本节着重界力之前，构件就发生绕纵轴的扭转失稳。本节着重讨论如何确定弹性扭转屈曲荷载及残余应力、边界条讨论如何确定弹性扭转屈曲荷载及残余应力、边界条件对屈曲荷载的影响。件对屈曲荷载的影响。 轴心受压构件弹性扭转屈曲荷载：轴心受压构件弹性扭转屈曲荷载：)/(12220lEIGIiPwtw轴心受压构件弹性轴心受压构件弹性 扭转扭转 屈曲荷载：屈曲荷载： 截面对剪心的极回转半径截面对剪心的极回转半径)/(20AIIiyx0iyxtIII3131iniittbI截面抗扭惯性矩，开口截面截面抗扭

15、惯性矩，开口截面wI 工字型截面工字型截面ywIhI42T形截面、角钢、十字形截面形截面、角钢、十字形截面0wI扇形惯性矩扇形惯性矩当轴心受压构件弹性扭转当轴心受压构件弹性扭转 屈曲荷载小于弯曲屈曲荷屈曲荷载小于弯曲屈曲荷载时，载时， ，才会发生扭转，才会发生扭转 屈曲。屈曲。crywcrxwPPPP,工字形或工字形或H形截面，板件厚度比较大，通常只发生形截面，板件厚度比较大，通常只发生绕弱轴的弯曲失稳。对于绕弱轴的弯曲失稳。对于+字形截面轴心受压构字形截面轴心受压构件件 ，弹性扭转弹性扭转 屈曲荷载与长度无关。屈曲荷载与长度无关。 构件越长构件越长 越小，易发生弯曲失稳，而越小，易发生弯曲失

16、稳，而 较短较短的构件易发生扭转屈曲。通过局部稳定保证。的构件易发生扭转屈曲。通过局部稳定保证。0wI20iGIPtwcrycrxPP ,冷弯薄壁型钢，壁薄、扭转刚度低，但形心和剪切中冷弯薄壁型钢，壁薄、扭转刚度低，但形心和剪切中心不重合，不会发生单纯的扭转心不重合，不会发生单纯的扭转 屈曲。屈曲。2.7.2轴心受压构件的弹性弯扭屈曲轴心受压构件的弹性弯扭屈曲截面的形心与剪心不重合的单轴对称截面轴心受压构件，截面的形心与剪心不重合的单轴对称截面轴心受压构件，除可能发生绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕对称除可能发生绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称

17、轴截面轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称轴截面的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。单轴对称截面单轴对称截面 无对称轴截面无对称轴截面 轴心受压构件的弹性弯扭屈曲临界荷轴心受压构件的弹性弯扭屈曲临界荷载载)/(1 2)/(1 4)(2002002iyiyPPPPPPPwywywyyw轴心受压构件弹性轴心受压构件弹性 弯扭屈曲荷载：弯扭屈曲荷载：轴心受压构件弹性轴心受压构件弹性 弯扭屈曲荷载小于绕弱轴的弯弯扭屈曲荷载小于绕弱轴的弯曲屈曲荷载，也小于扭转屈曲荷载曲屈曲荷载，也小于扭转屈曲荷载所以，单轴对称截面轴心受压构件，除可能发生所以，单轴对称截面轴心受

18、压构件，除可能发生绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕对称轴弯曲绕非对称轴弯曲失稳外，还可能发生绕对称轴弯曲的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称轴截面的的同时绕纵轴扭转的弯扭失稳。对无对称轴截面的轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。轴心受压构件，只可能发生弯扭失稳。1）钢结构设计规范法v以构件极限荷载为准则的设计方法v允许部分截面发展塑性fffffAPRyycrRyycrRcr11其中 为轴心受压柱的稳定系数； 为钢材强度设计值（按厚度分为三组）； 为材料抗力分项系数(近似概率法,95保证率,1.087,1.111)ycrfRyffRv规范采用稳定名义应力的表达形式fAP且根据柱缺陷的不同，把柱子分为a、b、c、d四类，根据不同的稳定系数曲线加以确定。初始缺陷包括初弯曲（初偏心）和十四种不同模式的残余应力等。 O0.4abcd40801201602000.20.60.81.0焊接：t40,轧制边，对弱轴轧制：t80,b/h0.8，对弱轴d曲线轧制，b/h0.8，对强轴轧制，对两主轴a曲线除a、c、d以外的其他截面情况b曲线c曲线yyyy焊接，轧制边，对y轴焊接，轧制边，t40，对强轴轧制，400.8焊接，板件宽厚比20,对两主轴焊接,轧制边，对两主轴轧制，t80，对强轴，b/h0.8235yf2）冷弯薄壁型钢规范法v采用边