第3章静定梁、平面刚架受力分析

1、2静静 定定 梁梁一、一、 梁的组成和受力性能梁的组成和受力性能在横向外力作用下产生平面弯曲的直杆，叫在横向外力作用下产生平面弯曲的直杆，叫直梁直梁，简称，简称梁梁梁的主要内力是梁的主要内力是弯矩弯矩，主要变形是，主要变形是弯曲变形弯曲变形。梁是。梁是受弯杆件受弯杆件常用的单跨梁：常用的单跨梁：悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁二、计算梁指定截面内力的方法：二、计算梁指定截面内力的方法：1。截面上内力符号的规定。截面上内力符号的规定 轴力轴力截面上应力沿杆轴切线方向的截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；要注明正负号；

2、 剪力剪力截面上应力沿杆轴法线方向的截面上应力沿杆轴法线方向的合力合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩弯矩截面上应力对截面形心的力矩截面上应力对截面形心的力矩之和之和, , 不规定正负号。弯矩图画在杆件受不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。拉一侧，不注符号。NNQQMM第3章单跨静定梁 一、静定结构的约束反力及内力完全可由静力平衡条件唯一确定。 二、静定结构的内力计算是静定结构位移计算及超静定结构内力和位移计算的基础。 三、静定结构内力计算的基本方法是取隔离体、列平衡方程。2。用截面法求指

3、定截面内力。用截面法求指定截面内力梁某一截面的内力与截面一侧的外力有平衡关系，故可用截面梁某一截面的内力与截面一侧的外力有平衡关系，故可用截面一侧的外力求出截面内力一侧的外力求出截面内力 通常利用截面法计算截面内力时，隔离体上的外力包括通常利用截面法计算截面内力时，隔离体上的外力包括支座反支座反力力，需先利用平衡条件求出，需先利用平衡条件求出支座反力支座反力0M0Y0X取结构沿拟求内力的截面一侧部分为隔离体，利用平衡条件： 轴力数值等于隔离体上所有外力沿杆轴方向的投影代数和 剪力数值等于隔离体上所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和 弯矩数值等于隔离体上所有外力对截面形心的力矩代数和PPPP1.5

4、aM Z1N Z1Q Z1PNxZ10PQPQyZZ1100PaMaPMMZZ5 . 105 . 10111M U1N U1Q U12Pa计算右截面的内力计算右截面的内力,也可取截面也可取截面1以左隔以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有离体进行分析。在这个隔离体上有集集中力矩中力矩 2Pa，三个未知力为：三个未知力为：PNxU10PQPQyUU1100PaMaPPaMMUU5 . 005 . 120111P2Pa1a1.5a1.5aPPP1.5a先计算左截面的内力，可取截面先计算左截面的内力，可取截面1以左以左隔离体进行分析。隔离体进行分析。3 3。梁的内力图梁的内力图 - - 剪力图和弯矩图

5、剪力图和弯矩图 梁内力图的基本作法：用梁内力图的基本作法：用 x 表示截面位置，建立剪力和弯矩表示截面位置，建立剪力和弯矩随截面位置随截面位置x而变化规律的方程，而变化规律的方程，Q=Q（x）和）和 M=M（x），再），再根据剪力和弯矩方程绘出剪力和弯矩图根据剪力和弯矩方程绘出剪力和弯矩图 内力图以杆轴为坐标，沿杆轴方向垂直于杆轴作出： 剪力图：正剪力画在杆轴上方，负剪力画在杆轴下方 弯矩图：无正负之分，画在杆件受拉一侧在已知荷载作用下表示结构杆件各截面的内力沿杆长变在已知荷载作用下表示结构杆件各截面的内力沿杆长变化规律的图形，叫杆件的化规律的图形，叫杆件的内力图内力图。 在横向荷载作用下的在

6、横向荷载作用下的直梁，有直梁，有剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图两种内力图。两种内力图。XLpM=PLV=P P Q图图 PL M图图剪力方程：剪力方程：Q = - P弯矩方程：弯矩方程：M = P xXL 2M= q LV= q Lq 1 2q x M图图 2q L Q图图 剪力方程：剪力方程：Q = q x 1 2弯矩方程：弯矩方程：M = q x 2梁内力图变化规律：梁内力图变化规律：qQQMMQdxdMxqdxdQ弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 2 2dNp(x)dxdQq(x)dxdMQdxd Mq(x)dx （2）在q(x)常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲线

7、象锅底一样兜住q(x)的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。 （1）在无荷区段q(x)，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。第3章q(x)NdxN+dNQ+dQM+dMMQp(x)Pxdxq(x)P(x)几种典型弯矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一尖角，荷载向图有一尖角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。 2、集中力矩作用点、集

8、中力矩作用点M图有突变，力矩为图有突变，力矩为顺时针向下突变；顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜 另无外另无外力作用段力作用段M、Q图为直线图为直线4 4。叠加法做弯矩图。叠加法做弯矩图AYBYMAMBqM+MBMAMMMMAMBMMM假定假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。当梁上有多个荷载作用时，任意截面的弯矩是各荷载单独作用时的弯矩的代数和，以图形表示即将各荷载单独作用时的弯矩图竖标相

9、叠加。弯矩图上任意两点的连线到弯矩弯矩图上任意两点的连线到弯矩图曲线间的竖距，等于以这段梁图曲线间的竖距，等于以这段梁为简支梁时的弯矩为简支梁时的弯矩 的数值的数值0M3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图叠加法作弯矩图的方法：叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的

10、不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m 1m2m2m1m 1mq=4

11、kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF G例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析分析该梁为简支梁，弯矩控制截该梁为简支梁，弯矩控制截面为：面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值解：解： （1）先计算支座反力）先计算支座反力17ARkN7BRkN（2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值取取AC部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：取取GB部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：17117CMkN717rGMkN1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/

12、mABCP=8kNm=16kN.mDEF GABCDEF GABCDEF G17A ClCQCM1717ClCMQ1713P=8kNADm=16kN.mGB4267G BGQrGM77rGGMQ782315308M图（图（kN.m）1797+_Q图（图（kN）补充题: 试绘制图示外伸梁的内力图。 解 ： （ 一 ） 求 支 座 反 力 ： 000ABMMX ) (310) (1300KNVKNVHBAA 校 核 ：064040160310130Y （二）绘内力图： HA=0VA=130KNVB=310KNH A=0V A=130KN第3章例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。 第3章例3-1 试绘

13、制图3-7（a）所示的外伸梁的弯矩图和剪力图。解：（1）.计算支座反力： 解：（1）计算支座反力 26.25kNV :0M33.75kNV :0M0H :0XABBAA02041075.3325.26Y校核： （2）作弯矩图 选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其弯矩值。（3）作剪力图 选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其剪力值。60202.532.52510KN/m4m20KN30KN.m2mVB=33.75KNCBADEM (KN.m)Q (KN)2m3m2013.7526.25VA=26.25kNHA=04、斜梁的内力计算 计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点

14、在于斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的法向、切向投影。 工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q 表示。q 与 q 间间 的的 转转 换换 关关 系系 ： cosqqdsqqdx 第3章例题 试绘制图示斜梁内力图。 解 ： 000ABMMX ) (6) (60qlVqlVHBAA 校 核 ：0366qlqjqjY （1）求支座反力：第3章VAHACDql/3l/3l/3ABVB（2）AC段受力图

15、：（3）AD段受力图：第3章VAVAcosVAsinHAHAcosHAsinQCMCNCCHAcosVAVAcosVAsinHAHAsinQCMCNCCDql2cos/3ql2/3ql2sin/3（4）绘制斜梁内力图如下：第3章5、曲梁的内力计算 （1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。（2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一阶导数，进而确定倾角：（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：xxllfy)(42第3章VB=115kNVB=115kNVB=105kNmxxllf

16、y75. 15 . 1) 5 . 112(1244)(422解：（1）求支座反力：（2）求C截面内力： 将x=1.5m代入曲梁轴线方程1) 5 . 1212(1244)2(4tan25 . 125 . 1xxxllfy045707. 022sincon第3章 000ctnMFF mKNMKNconQKNNCCC.5 .1575 . 110524.7410524.74sin105 若求其它截面内力值，可按同样方法进行。105KN0KNNCQCMCntAC（3）研究AC段，列平衡方程求C截面内力：第3章2.2 多跨静定梁多跨静定梁一、多跨静定梁的基本形式一、多跨静定梁的基本形式型式型式1：以两刚片

17、：以两刚片规则组成规则组成型式型式2：以二元体：以二元体规则组成规则组成二、多跨静定梁的基本部分和附属部分二、多跨静定梁的基本部分和附属部分由多跨静定梁的几何组成可知，多跨静定梁中有的部分直接与地组成几何不由多跨静定梁的几何组成可知，多跨静定梁中有的部分直接与地组成几何不变体系，有的部分则靠其他部分的支持才成为几何不变体系，此两部分的受变体系，有的部分则靠其他部分的支持才成为几何不变体系，此两部分的受力性能是不同的，前者为力性能是不同的，前者为基本部分基本部分，后者为，后者为附属部分附属部分二、多跨静定梁 1、基本部分：不依靠其它部分而能保持其几何不变性。 2、附属部分：必须依靠基本部分，才能

18、保持其几何不变性。 3、计算方法：先计算附属部分，再计算基本部分。将附属部分的支座反力，反其指向加于基本部分进行计算。第3章（a）ABDC（b）ABDC（c）CA E（a）（b）EAC（c） 其中其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为几何不变部分，称它为基本部分基本部分；从受力和变形方面看：基本部分上的荷载通过支座直接传于地基，不从受力和变形方面看：基本部分上的荷载通过支座直接传于地基，不向它支持的的附属部分传递力，因此仅能在其自身上产生内力和弹性向它支持的的附属部分传递力，因此仅能在其自身上产生内力和弹性变形；而附

19、属部分上的荷载要先传给支持它的基本部分，通过基本部变形；而附属部分上的荷载要先传给支持它的基本部分，通过基本部分的支座传给地基，因此可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变分的支座传给地基，因此可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。形。 因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。的传力路线来决定。通常需先作出表示多跨静定梁中各梁段互相支持通常需先作出表示多跨静定梁中各梁段互相支持和传力关系的分层图，叫和传力关系的分层图，叫层叠图，层叠图，如图所示：如图所示：EAC 而而 CE 部分就需要依靠基本部分部分就

20、需要依靠基本部分AC 才能保才能保证它的几何不变性，相对于证它的几何不变性，相对于 AC 部分来说就称它为附属部分。部分来说就称它为附属部分。如图所示梁，如图所示梁，ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq三、多跨静定梁的内力计算及内力图三、多跨静定梁的内力计算及内力图内力计算：内力计算：示例：示例： 步骤：步骤：1）作出层叠图，）作出层叠图，2）取每跨为隔离体，）取每跨为隔离体，3）先计算附属）先计算附属 部分，后计算基本部分部分，后计算基本部分注意注意：多跨静定梁的传力顺序多跨静定梁的传力顺序内力图作法：内力图作法：截面法截面法叠加法叠加法补充题 试作图示多

21、跨静定梁的内力图。（a）2mABDCE2m2m2mPP2P PDCEPABDCEPP（b）ABP（c）Q图（e）ABDCEPPM图（d）ABDCE2P2P例3-5 试作图示多跨静定梁的内力图。（e）79222Q（kN）2kNABDCGEF4kN/m（b）4M（kN.m）484（d）（a）2kNABDCGEF4m2m2m2m4kN/m2m2m2kNGEF4kN2kNDC2kN4kN2kNAB4kN/m（c）11kN7kN 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。解解 ： 研研 究究AE杆杆 ： )(21xlqVE 研研 究究EF杆

22、杆 ：221)(21qxxxlqMMCB 叠加弯矩值）(82qlMMCB 依 题 意 ：CBMM 1621)(2122qlqxxxlqMB 展 开 上 式 ， 得 ：llx125. 08 与与 简简 支支 梁梁 相相 比比 ， 多多 跨跨 静静 定定 梁梁 的的 跨跨 中中 弯弯 矩矩 值值 较较 小小 ， 省省 材材 料料 ， 但但 构构 造造 复复 杂杂 。 例题2：第3章2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH80k Nm2020404040k NC2025520502020k N/mFGH1020405585255040k NCABFGH

23、20k N/m80k Nm构造关系图构造关系图205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k NmAB40k NCDE20k N/mFGH2555585M 图（图（k Nm）2540k N5558520k N/m251520354540Q 图（图（k N）3静静 定定 刚刚 架架 刚架刚架是由梁和柱以刚结点联结组成的几何不变体系，是由梁和柱以刚结点联结组成的几何不变体系，是靠是靠刚结点刚结点保持几何不变的结构保持几何不变的结构。一、刚架的组成一、刚架的组成： 刚结点能承担和传递力及力矩，所以不论杆件中部是刚结点能承担和传递力及力矩，所

24、以不论杆件中部是否作用有横向荷载，都将产生否作用有横向荷载，都将产生弯曲变形弯曲变形，各横截面常有，各横截面常有弯矩弯矩、剪力剪力和和轴力轴力三种内力三种内力。1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架4、主从刚架、主从刚架二、常见的静定刚架类型二、常见的静定刚架类型 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。三、三、 静定刚架内力的计算静定刚架内力的计算 利用静力平衡条件计算支座反力，由于刚架支座反力通常利用

25、静力平衡条件计算支座反力，由于刚架支座反力通常多于三个，因此在计算中需增加以部分杆件为隔离体的平多于三个，因此在计算中需增加以部分杆件为隔离体的平衡方程衡方程，应尽可能建立独立方程。应尽可能建立独立方程。1 1。支座反力的计算。支座反力的计算如如图（图（a a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点体平衡条件和中间铰结点C C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。XAMB0lqfYffqlYAA20220AMlqfYffq

26、lYBB20220 X0BAXfqXqfXXBAl /2l /2qABCf(a)qfl /2l /2ABC(b)YAYBXBXAqfl /2l /2ABC(c)YAYBXBfl /2C(b)YBXBBXCYC0CM02lYfXBB4qfXB于是qfXA43qfXXBAO对对O点取矩即得：点取矩即得： 0OM0232fqffXAqfXA43l /2l /2qABCfOABDCqOO通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降

27、低计算反力的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。复杂程度和难度。三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。所在。二、刚架的内力计算及内力图二、刚架的内力计算及内力图1。内力正负号规定：。内力正负号规定：弯矩：不计正负号，并把弯矩：不计正负号，并把M图画在杆件受拉边图画在杆件受拉边剪力：以剪力对隔离体内截面附近一点的力矩顺时针转动为正剪力：以剪力对隔离体内截面附近一点的力矩顺时针转动为正轴力：以拉力为正，压力为负轴力：以拉力为正，压力为负2。内力的计算及内力图：。内力的计算及内力图：1.先求出刚架的支座反力先求出刚

28、架的支座反力2.利用截面法求出刚架的内力，注意正负利用截面法求出刚架的内力，注意正负3.利用叠加法作内力图，利用叠加法作内力图， Q，N 图要标图要标、号号，图形须成比例，图形须成比例注意：刚结点弯矩平衡注意：刚结点弯矩平衡有两杆交汇的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆弯矩必大小相等且同侧受拉（外侧或内侧）；M 1mM 2M1 + M 2 = mM 1M 2M1 = M 2 若有外力偶作用，则两杆 端弯矩之代数和等于此外力偶数值，且方向相反 例例1. 试计算图试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和和N图。图。2m2m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力支座反力80AH20AV60BV(a)20 kN/mAB4m2080BAQBAN20 kN/mAB4mBAM160 kNm(b)(c)解解,80kNHA,20kNVAkNVB60。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。00804200BABAQQXkNNNYBABA200200mkNMMMBABAB16004802420040160AB(d)M图图2m2m40kNBD60BDQBDNBDM2m2mBD40kN160kNm16040BD00BDNXkNQYBD200mkNMMBDD16