离散时间信号和系统的时域分析

1、NCEPUBDNCEPUBD华北电力大学电子与通信工程系华北电力大学电子与通信工程系数字信号处理基础孙正孙正sunzheng_NCEPUBDNCEPUBD离散时间系统的时域分析NCEPUBDNCEPUBD离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析1.1.离散时间信号离散时间信号序列序列2.2.离散时间系统离散时间系统3.3.离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型NCEPUBDNCEPUBD第一节第一节离散时间信号离散时间信号序列序列NCEPUBDNCEPUBD1 1 离散时间信号离散时间信号序列序列 离散时间信号概念离散时间信号概念 典型离散信号（常用序列）典型离散信号（常用序列） 序

2、列的周期性序列的周期性 序列的简单运算序列的简单运算 离散信号的分解离散信号的分解NCEPUBDNCEPUBD1.1 1.1 离散时间信号概念离散时间信号概念定义定义序列：序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值。有定义值。样值：样值：序号为序号为n的函数值的函数值x(n)称为在第称为在第n个样个样 点的样值。点的样值。 NCEPUBDNCEPUBD1.1 1.1 离散时间信号概念离散时间信号概念表示法表示法图解表示：图解表示： n横坐标并取整数横坐标并取整数; x(n) 纵坐标纵坐标;指针表示法指针表示法(0()( 1)(1)(2)x nxxxxNCE

3、PUBDNCEPUBD ）单位样值序列（单位冲激序列）：）单位样值序列（单位冲激序列）：n)(nn)(in 1.2 1.2 典型离散信号典型离散信号1,0( )0,0nnn1,()0,ninini-1 0 1 2 3-1 0 1 2 3 iNCEPUBDNCEPUBD n)(nun)(inu 1.2 1.2 典型离散信号典型离散信号2）单位阶跃序列：）单位阶跃序列：1,0()0,0nnn1()0ninini-1 0 1 2 3 4 5-3 -2 -1 0 iNCEPUBDNCEPUBD 1.2 1.2 典型离散信号典型离散信号3）矩形序列：）矩形序列：4）斜变序列：）斜变序列：n( )x n1

4、,01( )0,NnNRnn其它0( )( )00nnx nnnnn)(nRN-3 -2 -1 0 1 2 N-1-3 -2 -1 0 1 2 N-1 N3）矩形序列：）矩形序列：4）斜变序列：）斜变序列：NCEPUBDNCEPUBD n)(nx1 a)(nxn1 a1.2 1.2 典型离散信号典型离散信号5）单边实指数序列：）单边实指数序列： 0,1,2,.01, 2,.nnanf nann a为实数为实数 -1 0 1 2 3 4 5-1 0 1 2 3 4 5NCEPUBDNCEPUBD n)(nx6）正弦型序列：）正弦型序列：7）复指数序列：）复指数序列：1.2 1.2 典型离散信号典

5、型离散信号0( )sin()x nAn0()00( )( )(cossin)ojnjnjnnx nex n eeeenjn-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5NCEPUBDNCEPUBD1.3 1.3 序列的周期性序列的周期性 定义定义 如何判断？如何判断？ NCEPUBDNCEPUBD常常规规运运算算波波形形变变换换数数学学运运算算相相互互运运算算线性运算线性运算乘除运算乘除运算反褶运算反褶运算时移运算时移运算压扩运算压扩运算差分运算差分运算累加运算累加运算卷积运算卷积运算相关运算相关运算( (四则运算四则运算) )1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算NCEPUBDNCEP

6、UBD( )( )( )z nx ny n( )( )( )z nx ny n逐项对应相加两序列的样值 =新序列逐项对应相乘两序列的样值=新序列( )()z nx nmm逐项依次左移或右移 位原序列=新序列1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算1 1）相加）相加2 2）相乘）相乘3 3）延时）延时( )()z nxn相 对 纵 轴 反 折 波 形原 序 列 = 新 序 列4 4）反褶）反褶1(1 2) ,1( )20,1nnx nn NCEPUBDNCEPUBD( )()z nx ann轴上压缩或扩展原序列的波形 =新序列1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算5 5）尺度变换）尺度

7、变换需按规律去除某些点（压缩时需按规律去除某些点（压缩时a无法除尽的样点）无法除尽的样点） 或补足相应的零值（扩展时多出的样点）或补足相应的零值（扩展时多出的样点）( )()z nx ann轴上压缩或扩展原序列的波形 =新序列NCEPUBDNCEPUBD1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算抽取抽取插值插值NCEPUBDNCEPUBD2( )( )( )(1)( )( )2 (1)(2)x nx nx nxx nx nnx nx n 1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算序列样值与其序列样值与其前面前面相邻的样值相减相邻的样值相减1)()()x nxnnx6 6）差分）差分F前向差

8、分前向差分F后向差分后向差分序列样值与其序列样值与其后面后面相邻的样值相减相邻的样值相减NCEPUBDNCEPUBD 2nEx n( )( )nkz nx kn累加至第 样点原序列中所有样值 = 新序列绝 对 值 平 方 和序 列 中 所 有 样 值 =能 量1.4 1.4 序列的简单运算序列的简单运算7 7）累加）累加8 8）能量）能量7 7）累加）累加8 8）能量）能量NCEPUBDNCEPUBD( )( )mxnmx mn( )() ()0 x nmnx mnmmn1.5 1.5 离散信号的分解离散信号的分解将任意序列表示为将任意序列表示为加权加权、延迟延迟的单位样值信号之和。的单位样值

9、信号之和。其中其中NCEPUBDNCEPUBD第二节第二节离散时间系统离散时间系统NCEPUBDNCEPUBD2 2 离散时间系统离散时间系统2.1 2.1 离散时间系统的概念离散时间系统的概念2.2 2.2 线性移（时）不变系统线性移（时）不变系统2.3 2.3 单位样值（冲激）响应与卷积和单位样值（冲激）响应与卷积和2.4 2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性NCEPUBDNCEPUBD2.1 2.1 离散时间系统的概念离散时间系统的概念离散时间系统表示对输入序列的运算。离散时间系统表示对输入序列的运算。 NCEPUBDNCEPUBD 2.2 2.2 线性移不变系统线性移不变系

10、统n线性系统：线性系统：均匀性和叠加性均匀性和叠加性。112212121212( )( ),( )( )( )( )( )( )x ny nx ny nx nxny ny ncccc设两对激励与响应则离散时间系统2( )x n2( )y n离散时间系统1( )x n1( )y n离散时间系统1 122( )( )c x nc x n1 122( )( )c y nc y nNCEPUBDNCEPUBD2.2 2.2 线性移不变系统线性移不变系统离散时间系统x(n-N)y(n-N)012n)(Nnx 3012n)(Nny 3012n)(nx3离散时间系统x(n)y(n)012n)(ny3( )(

11、 ),()()x ny nx nNy nN设激励与响应 则n移不变系统移不变系统NCEPUBDNCEPUBD2.2 2.2 线性移不变系统线性移不变系统 线性移不变系统线性移不变系统 如果信号是以离散时间作为自变量的，那如果信号是以离散时间作为自变量的，那么就是线性时不变系统（么就是线性时不变系统（LTILinear time-invariant）。）。 NCEPUBDNCEPUBD2.3 2.3 单位取样（冲激）响应与卷积和单位取样（冲激）响应与卷积和 单位取样响应单位取样响应 h(n) 输入为单位冲激序列时，输入为单位冲激序列时，LTI系统的零状态响应系统的零状态响应NCEPUBDNCEP

12、UBD2.3 2.3 单位样值（冲激）响应与卷积和单位样值（冲激）响应与卷积和 卷积和（线性卷积，离散卷积）卷积和（线性卷积，离散卷积） 线性移不变系统线性移不变系统 h(n)x(n)y(n)y(n)=x(n)* h(n)( )( ) ()( ) ()( )( )mmy nx m h n mh m x n mx nh nNCEPUBDNCEPUBD2.3 2.3 单位样值（冲激）响应与卷积和单位样值（冲激）响应与卷积和 物理意义物理意义 LTI系统的输入激励与其零状态响应的关系系统的输入激励与其零状态响应的关系如何理解卷积运算？如何理解卷积运算？ 卷积和（线性卷积，离散卷积）卷积和（线性卷积，

13、离散卷积） NCEPUBDNCEPUBD四步：四步：翻褶翻褶, , 移位移位, ,相乘相乘, ,相加。相加。2.3 2.3 单位样值（冲激）响应与卷积和单位样值（冲激）响应与卷积和 卷积和（线性卷积，离散卷积）卷积和（线性卷积，离散卷积） 卷积和的图解法卷积和的图解法2,13( )0,nnx nn其他1,02( )0,nh nn其他31( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm求求翻摺翻摺 右移右移1 1 对应相乘，逐个相加得到对应相乘，逐个相加得到y(0)=0 对应相乘，逐个相加得到对应相乘，逐个相加得到y(1)=1/211/2 依此类推得到依此类推得到 13(2)1

14、 1 122y 13(3)1 1 11322y 135(4)01 110 1222y (5)3 2 13 2y NCEPUBDNCEPUBD卷积和的性质（也即卷积和的性质（也即LTI系统系统的性质）的性质） 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 NCEPUBDNCEPUBD2.4 2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 因果性因果性 定义：某时刻的输出只取决于定义：某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻此刻以及以前时刻的的输入的系统称作因果系统。输入的系统称作因果系统。LTI因果系统的充要条件：因果系统的充要条件：h(n)=0，n 0。 如何判断系统的因果性如何判断系统的因果性 ：

15、&一般系统一般系统:若无法确定其是否若无法确定其是否LTI系统，则系统，则 依据定义来判断；依据定义来判断；&若已确定系统是若已确定系统是LTI系统，则用充要条件系统，则用充要条件 n 0时时h(n)=0判断。判断。NCEPUBDNCEPUBD2.4 2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性 稳定性稳定性有界的输入产生有界的输出系统。有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件：线性移不变稳定系统的充要条件：npnh)( )if x nM( )then y n 绝对可和绝对可和NCEPUBDNCEPUBD作业作业 P58 2.1，2.2(c)，2.4，2.

16、5，2.7(1)(2)，2.8(1)(3)(5)NCEPUBDNCEPUBD第三节第三节离散时间系统的离散时间系统的数学模型数学模型NCEPUBDNCEPUBD3 3 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型常系数线性差分方程常系数线性差分方程 3.1 3.1 表示法表示法3.2 3.2 离散和连续系统的数学模型联系离散和连续系统的数学模型联系3.3 3.3 解法解法3.4 3.4 离散时间系统单位取样响应的解法离散时间系统单位取样响应的解法3.5 3.5 系统结构系统结构 NCEPUBDNCEPUBD3.1 3.1 表示法表示法离散时间系统离散时间系统x(n)y(n)离散时间系统：离散时

17、间系统：激励信号为一序列激励信号为一序列 响应为另一序列响应为另一序列( )x n( )y nNCEPUBDNCEPUBD常系数线性差分方程：常系数线性差分方程：（递归关系式）（递归关系式）0101M( )(1)()( )(1)(M)Na y na y na y nNb x nb x nb x n00()()NMkrkra y nkb x nr3.1 3.1 表示法表示法F阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。F一般因果系统用后向形式的差分方程一般因果系统用后向形式的差分方程或或NCEPUBDNCEPUBD举例举例 假定假定每对兔子每月可以生育

18、每对兔子每月可以生育一对一对小小兔，新生的小兔子要兔，新生的小兔子要隔一个月隔一个月才具有生才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第求第n个月兔子对的数目是多少？个月兔子对的数目是多少？NCEPUBDNCEPUBD即差分方程与即差分方程与微分方程的关系微分方程的关系3.2 3.2 离散和连续系统的数学模型离散和连续系统的数学模型联系联系NCEPUBDNCEPUBD求解方法求解方法3.3 3.3 解解 法法Z递推法时域法 时域经典法零输入与零状态求法变换域法：利用 变换NCEPUBDNCEPUBDu时域经时域经典求解典求解()( )phy nnyyn3

19、.3 3.3 解解 法法0101M( )(1)()( )(1)(M)Na y na y na y nNb x nb x nb x n00()()NMkrkra y nkb x nr或常系数线性差分方程常系数线性差分方程其完全解为其完全解为齐次解齐次解(通解通解)特解特解NCEPUBDNCEPUBDu时域经时域经典求解典求解齐次解：齐次解：( )pyn3.3 3.3 解解 法法齐次方程齐次方程0()0Nkka y nk特征方程特征方程10110NNNNaaaaNCEPUBDNCEPUBDu时域经时域经典求解典求解齐次解：齐次解：( )pyn3.3 3.3 解解 法法当特征方程当特征方程无重根无重

20、根时时( (根为根为i) )，齐次解为，齐次解为 1122( )nnnhNNy nccc当特征方程有当特征方程有K重根重根( 1)时，齐次解为时，齐次解为 12121( )()KKnhKy nc nc nc当特征方程有当特征方程有共轭根共轭根时，齐次解可为各种形式的时，齐次解可为各种形式的 正（余）弦序列正（余）弦序列 需由完全解的表达式，利用初始条件求系数需由完全解的表达式，利用初始条件求系数ciNCEPUBDNCEPUBD举举 例例( )(1)(2),y ny ny nyy(0)=0, (1)=1( )2 (1)2 (2)2 (3)(4)0(1)1, (2)0, (3)1, (5)1y n

21、y ny ny ny nyyyy，1、已知、已知Fibonacci数列数列2、已知差分方程、已知差分方程求解求解y(n)。求解求解y(n)。NCEPUBDNCEPUBDu时域经时域经典求解典求解特解：特解：( )pyn3.3 3.3 解解 法法比较系数法：比较系数法：与微分方程的求解类似与微分方程的求解类似线性卷积法：线性卷积法：( )( )( )( ) ()mzsynx nh nmxhmn设任意激励：设任意激励：( )( )mxnmx mn系统对系统对(n)的响应为的响应为h(n)，则系统的零状态响应为：，则系统的零状态响应为：递推法递推法NCEPUBDNCEPUBD3.4 3.4 单位取样响应的解法单位取样响应的解法递推法递推法( )(1)( )y nay nx n例：常系数线性差分方程例：常系数线性差分方程 y(-1)=0，求其单位取样响应。，求其单位取样响应。 注意：注意：1. 1. 常系数线性差分方程不一定代表因果系统，也不一定表示常系数线性差分方程不一定代表因果系统，也不一定表示LTILTI系统。这些都由系统。这些都由边界条件边界条件所决定。