第七节 一阶常系数线性差分方程

1、一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第七节一阶常系数线性差分方程第七节一阶常系数线性差分方程三、小结 一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 .21次线性差分方程次线性差分方程所对应的一阶常系数齐所对应的一阶常系数齐为为注：注：)0(01为常数为常数 aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数，一一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数

2、齐次线性差分方程的求解迭迭代代法法. 1)0(01为常数为常数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy .100 xxxxCaYCyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx .0211的通解的通解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为特特征征根根法法. 2)0(01为常数为常数 aayyxx 1）变变形形为为方方程程（1 )0(01为常数为常数 ayayxx .1函函数

3、数的的形形式式一一定定为为某某一一指指数数可可以以看看出出，根根据据xxxy ）得）得，代入（，代入（设设1)0( xxy01 xxa 0 a 即即a 特征方程特征方程特征根特征根）的一个解，）的一个解，是（是（于是于是1xxay .1）的通解）的通解是（是（从而从而xxCay .1的通解的通解用特征根法求例用特征根法求例解解012 特征方程特征方程.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为21 特征根特征根.203201的特解的特解满足满足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解为差分方程的通解为xxCY 31031 xxyy原方程可改写为原方程可改写为013 特征方程为特征方程为31

4、 特征根特征根220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解为所求差分方程的特解为二、二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数，即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系数数程程然然后后将将它它们们代代入入差差

5、分分方方相相同同的的形形式式与与假假定定待待定定的的特特解解待待定定系系数数法法,.)(xfyx .较为方便较为方便解解采用待定系数法求其特采用待定系数法求其特时，时，是某些特殊形式的函数是某些特殊形式的函数当右端当右端 xyxf:的的求求法法下下面面讨讨论论特特解解 xy 型型xpxfn )( 为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.(1)nnnnxbx

6、bxbxQy 110)(令令011 a不不是是特特征征方方程程的的根根，即即(2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令011 a是是特特征征方方程程的的根根，即即综上讨论综上讨论，设设)(xQxynkx 是特征方程的根是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根1110k解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，02 特征根特征根，2 xxCY2 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设CBxAxyx 2代入方程代入方程, 得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为原方程通解为. 96322

7、 xxCyxx例例 4 4 求差分方程求差分方程37, 3501 yyyxx的特解的特解 解解,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代入，则代入，则将将.4351237 xxy故故方方程程的的特特解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxCY5 不不是是特特征征方方程程的的根根，1，设设Ayx 代入方程代入方程, 得得，43 A解解 .44Cxyx 方方程程的的通通解解为为.1简简单单的的方方式式求求解解这这类类方方程程可可用用另另一一种种较较是是特特征征方方程程的的根根，.235231的的通通解解求求差差分分方方程程例例xxxyyxx ，右边为，右边为方程左边为

8、方程左边为xy 2323223 xxxxxx 21 xxx 3x 3xyx 故故 型型xpxfnx )(2. 101， 1类型类型 102， xxxzy 设设代入方程得代入方程得 为为方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型. xxxzy 于是于是例例 6 6 求差分方程求差分方程xxxyy21 的的通通解解 ，于是于是xxy231 .1231xxxCy 所所求求通通解解为为解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，01 特征根特征根，1 xxCY1 ，原方程化为，原方程化为设设xxxzy 2121 x

9、xzz，求求得得其其特特解解为为31 xz解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程，0 a 特征根特征根，a xxaCY ，原方程化为，原方程化为设设xxxzy 2121 xxazz.271的的通通解解求求例例xxxayy 2121 xxzaz即即 时时是是特特征征方方程程的的根根，即即211 a；特解特解xzx21 时时不不是是特特征征方方程程的的根根，即即212 a；特解特解azx 21；于是于是 22212221aaaxyxxx.22212221 aaCaaxCayxxxxx即通解即通解xbxbayyxx sincos211 差分方程为差分方程为(1)时时当当0sin)(co

10、s22 aD，为待定系数为待定系数令令),(sincos2121BBxBxByx 代代入入原原方方程程得得到到11sin)(cos2bBaB 221)(cossinbaBB 型型xbxbxf sincos)(21 3 sin)(cos1211babDB 解解方方程程组组得得 sin)(cos1122babDB xBxBAayxx sincos21 通解为通解为(2)sincos(021xBxBxyDx 时，令时，令当当代代入入原原方方程程得得 xbxbxBBxBBaxBBxBBa sincossin)sincos(sin)(coscos)sincos(sin)(cos2112122121 的充

11、要条件为的充要条件为注意到注意到0 D 1)12(12,0sin0cosakaka 或或即即 得得为为整整数数，将将上上式式代代入入其其中中 k22112211,bBbBbBbB 或或，故故得得方方程程的的通通解解为为或或由由于于11 aa xkbxkbAyxkbxkbxAytxx )12sin()12cos()1()2sin2cos(2121 或或8例例)3cos3cos(.3sin.3cos3sin.3cos.3sin421211xBxBxDxBCxBxBBxBAxyyxx 的特解形式为的特解形式为解解.,03sin)13(cos,22BDB故故取取但但是是或或显显然然，只只能能取取 解解

12、例例 9 9 求差分方程求差分方程xyyxx2cos51 的通解的通解 xxAy5 对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解, 0,2sin2cos21 DxBxByx且且又又设设 05152121BBBB代入原方程为代入原方程为261,26521 BB解之得到解之得到xxAyxx2sin2612cos2655 所所求求通通解解为为三、小结1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）写出通解）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解一阶常系数非齐次线性差分方程求通解 型型xpxfn )( 型型xpxfnx )(四、差分方程的简单经济应用 型（消费模型）例xpxfn)(4 型型xpxfnx )(练习题)1(124)4(),2(2)3(),37(35)2(, 1333)1(102