模块复习--菱形

1、模块复习模块复习 菱形菱形 基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理性质判定边两组对边分别平行两组对边分别相等有一个角是直角的平行四边形是矩形角矩形的四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形对角线矩形的两条对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形矩形矩形基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理性质判定边菱形的四条边都相等.一组邻边相等的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.角对角相等.邻角互补.对角线菱形的两条

2、对角线互相垂直；并且每条对角线平分一组对角.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理菱形菱形 难点正本疑点清源难点正本疑点清源 正确运用菱形的性质、判定来解题正确运用菱形的性质、判定来解题 菱形的性质是我们研究菱形的角或边的重要依据，利用菱形的性质，菱形的性质是我们研究菱形的角或边的重要依据，利用菱形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、平分线等问题其关键是根据所要证

3、明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件角相等条件 包括定义在内，菱形共有三种判定方法，对于不同的题目，应通过仔包括定义在内，菱形共有三种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别质和判定的联系和区别 定义：定义：一组邻边相等的平行四边形一组邻边相等的平行四边形是菱形；是菱形； 四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形是菱形；是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形是菱形；是菱形； 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析题型一菱形的性质 例1 菱

4、形ABCD中，B=60，点E在边BC上，点F在边CD上. （1）如图1，若E在边BC上，且E为BC中点，AEF=60；求证：BE=DF； （2）如图2，若EAF=60；求证：AEF是等边三角形.证明：（1）如图1，连结AC，在菱形ABCD中，B=60AB=BC=CDC=180-B=120ABC是等边三角形E是BC的中点AEBCAEF=60FEC=90-AEF=30CFE=180-FEC-ECF =180-30-120=30FEC=CFEEC=CFBE=DF（2）如图2，连结AC，ABC是等边三角形AB=AC，ACB=60B=ACF=60ADBCAEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD AF

5、C=D+FAD=60+FADAEB=AFCABEACF（AAS）AE=AFEAF=60AEF是等边三角形.探究提高探究提高 菱形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对菱形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线垂直且互相平分，利用这些性质可以解决与菱形相关角线垂直且互相平分，利用这些性质可以解决与菱形相关的问题。的问题。 注意：菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰注意：菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形三角形；菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形. 因因此，有关菱形的问题往往可转化为直角三角形或等腰三角此，有关菱形的问题往

6、往可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决形的问题来解决.题型二菱形的判定题型二菱形的判定例例2 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AB=CD，M，N，P，Q分别是分别是AD，BC，BD，AC的中点的中点. 求证：求证：MN与与PQ互相垂直平分互相垂直平分. 分析：要直接证明MN与PQ互相垂直平分比较困难，联想到菱形的对角线互相垂直平分的性质，所以只要连结MP，PN，NQ，QM，再进一步证明四边形MPNQ是菱形即可.证明： 如图，连结MP，PN，NQ，QM. M，N，P，Q分别是AD，BC， BD，AC的中点MPAB，QNAB，PNCD， MQCD，MP= AB，MQ= CD. M

7、PQN，PNMQ. 四边形MPNQ是平行四边形AB=CDMP=MQ四边形MPNQ是菱形MN与PQ互相垂直平分.注意点：本题主要应用了三角形中位线性质，也可证明四边形PNQM的一组对边平行且相等，还可以直接根据中位线的性质证明四边形PNQM的四条边都相等.探究提高探究提高探索菱形成立的条件，有多种方法判定：探索菱形成立的条件，有多种方法判定： 若条件中涉及对角线，考虑用若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边形是菱形”来说明；来说明； 若条件中涉及边，考虑用若条件中涉及边，考虑用“一组邻边相等的平行四边形一组邻边相等的平行四边形是菱形是菱形”或或“四条

8、边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形”来证明；来证明；题型三折出来的菱形题型三折出来的菱形例3 动手操作：在一张长12cm，宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形，小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小芳同学沿矩形的对角线AC折出CAE=CAD，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）.（1）你能说出小颖、小芳所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小芳同学的折法中，哪种菱形面积较大？分析：（1）从菱形的判定方法入手思考；（2）计算各方案的面积时，方案一：矩形的面积减去4个直角三角形的面积；方案二：先求出边长BE，利用勾股定理列式求解. 解

9、：（1）小颖的理由：依次连结矩形各边的中点所得到的四边形是菱形. 小芳的理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，则DAC=ACB. 又CAE=CAD，ACF=ACB，CAE=CAD=ACF=ACB，AE=EC=CF=FA，四边形AECF是菱形.（2）方案一：S菱形=S矩形ABCD-4SAEH=125-4 6 =30(cm2)；2125方案二：设BE=x，则CE=12-x，AE= . 由四边形AECF是菱形，则AE2=CE2，x2+25=(12-x)2，x= ，S菱形AECF=S矩形ABCD-2SABE =125-2 5 35.21(cm2)，比较可知，小芳同学所折的菱形的面积较大.11924121192422225BEABx注意点：操作性问题，要充分揭示其操作的条件来求解.1. 菱形的定义：菱形的定义：2. 矩形的性质：矩形的性质：3. 矩形的判别：矩形的判别：两组对边两组对边分别平行分别平行相等相等有一组邻边有一组邻边四边形四边形 平行平行四边形四边形 平行平行四边形四边形有一组邻边相等有一组邻边相等对角线垂直对角线垂直ABCD,ADBC,ABCD,ADBC