高三复习 专题 平行问题(传统方法)

1、高中数学专题讲座 空间中的平行问题1、空间中的平行关系22、两直线平行23、直线与平面平行2直线与平面平行的判定定理2直线与平面平行的性质定理34、 平面和平面平行4两个平面平行的判定定理4两个平面平行的性质定理4练习15练习1解答8练习2 高考真题10(2009山东理)10（2013辽宁文）10（2013课标2理）11（2014课标2理）11（2014湖北理）111、空间中的平行关系线线线面面面证明线/面的方法有两种：（1）线面平行的判定定理 （2）两个平面平行的性质定理2、两直线平行在立体几何中，平行问题的基础是“两条直线的平行”，要在空间证明两条直线ab（线段）平行，基本方法：（1） 相

2、似三角形；在ABC中，若或，则特别地，当是中点时，是中位线，且；（2）平行四边形；这里涉及到如何证明在空间一个四边形是平行四边形，方法是：（I）若一个四边形的一组对边平行且相等，则该四边形为平行四边形； （II）若一个四边形的两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形；（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行，即；3、直线与平面平行3.1直线与平面平行的定义直线与平面没有公共点，叫直线与平面平行3.2直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，简记为“线线平行线面平行”，即（三个条件在书写时缺一不可）线线平行的证明方法，基本方法有下

3、列两种：例1 如下图，设P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD的中点，求证：直线MN平面PBC.分析：要证直线MN平面PBC，只需证明MN平面PBC内的一条直线即可，那么MN和PBC内的哪条直线平行呢，我们可以猜想，如果把MN平移进平面PBC，MN大致会落在什么位置，猜测M会落在点B处，N会落在PC的中点处，下面我们来证明这个思路是否可行；证明：取PC的中点R，连接RB，在PDC中，NRDC,且NR=DC，依题意DCAB，于是NRMB，且NR=MB，四边形MNRB是平行四边形，MNRB.则例2 如下图，设P为平行四边形ABCD所在平面外一点，N为PD的中点，DB=4DM，

4、求证：直线MN平面PAC.l 技巧总结：利用线面平行的判定定理时，难点是找到平面内的那条直线。往往需要做辅助线，技巧有两个：（1） 设想平面外的那条直线可以平移，猜测将它平移进入平面内的大概位置，即两个端点的位置；（2） 一般若已知条件中出现中点，往往取相关棱的中点，构造中位线或平行四边形3.3直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即“线面平行线线平行”符号表示：4、 平面与平面平行4.1平面与平面平行的定义平面与平面没有公共点，叫平面与平面平行4.2两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那

5、么这两个平面平行.即简记为“线面平行面面平行”，可见，证明面面平行，只需证明两次线面平行即可，因此关键还是线面平行的证明！4.3两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，则被第三个平面所截得的两条交线必平行；（2）如果两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面注意：人教B教材上没有把性质二作为定理，但是根据两个平面平行的定义很容易证明其成立：(平面与平面平行,则两个平面必没有公共点,则一个平面内的直线也必与另一个平面没有公共点,所以这条直线必平行于另一个平面)例1 四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，M，N为PD,AB的中点，求证：MN平面PBC证明：取DC的中点设为S，连接NS

6、，SM，在PDC中，NS为中位线，故NSPC，NS平面PBC，PC平面PBC，NS平面PBC,又因为SMBC, MS平面PBC，BC平面PBC，MS平面PBC,又MSNS=S，所以平面MNS平面PBC，MN平面MNS，MN与平面PBC无公共点，于是MN平面PBC说明：在利用“面面平行的性质”来证明“线面平行”时，必须指出，（1） 直线在平面内；（2）直线与平面无公共点，进而得到“线面平行”的结论。例2 在六面体中,求证:（1）；（2）证明：（1）略；（2）因为，且平面，平面,所以平面；又平面，平面平面,所以，同理得;所以练习1题组一：使用平行四边形来证明线/线，进而证明线/面1、正三棱柱中，D

7、是BC的中点，点P在平面内，求证： （1）;（2）平面2、正方体中，M,N是的中点，求证：MN平面3、正方体中，M,N是的中点，求证：MN平面4、已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB,且F是CD的中点，求证：（1）AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE；题组二：使用三角形中位线实现线/线，进而证明线/面1、正方体中，M,N是侧面,的中心求证：MN平面ABCD 2、正方体中，E是的中点，求证：平面EAC3、正方体中，E为BC中点，求证：/平面4、正方体中，、分别为、的中点求证：/平面；5、2、判断（1），则； （2）；（3）; （4）直线与平面内一条直线

8、平行，则.（5）若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （6）3、平面平面的一个充分条件是（）存在一条直线存在一条直线存在两条平行直线存在两条异面直线4、如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点求证：MN平面DAE5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面；6、直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90°，在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论7、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点，求证：平面8、在长方体中，、分别为、的中点；求证

9、：平面 9、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形的序号)10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面AA1B1B.11. 四棱锥的底面是平行四边形，在PC上确定一点F，使 平面，并证明你的结论12、如图，四边形与均为菱形， 求证：平面；练习1解答4.解:取的中点，连接，因为点为线段的中点所以，且，又四边形是矩形，点为线段的中点，所以|，且，所以|，且，故四边形是平行四边形，所以|而平面，平面，所以平面 6、证明：存在点P，P为A1B1

10、的中点 证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB 又DCAB，DCAB，DC PB1，且DC PB1，DC PB1为平行四边形，从而CB1DP 又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP面ACB1 同理，DP面BCB1 说明：本题涉及到一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，存在性问题，不但要回答存在与否，还要说明理由。9、解析：面AB面MNP，AB面MNP；过N作AB的平行线交于底面正方形的中心O，NO面MNP，AB与面MNP不平行；易知ABMP，AB面MNP；如图，过M作MCAB，MC面MNP，AB与面

11、MNP不平行答案：10、分析一：若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法证明：证法一：如右图，作MEBC，交BB1于E；作NFAD，交AB于F.连结EF，则EF平面AA1B1B.BDB1C，DNCM，B1MBN.，MENF.又MEBCADNF，MEFN为平行四边形MNEF.又MN平面AA1B1B，EF平面AA1B1B.MN平面AA1B1B12、证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD/BC，DE/BF， 所以 平面FBC/平面EAD 又平面FBC，所以FC/ 平面EAD练习2 高考真题(2009山东理)

12、E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明：直线EE/平面FCC；解: 因为AB=4，F为AB的中点，则AF=2，于是AF/DC，且DC=AF，则四边形AFCD为平行四边形，故AD/CF，又，所以平面平面，而平面，所以直线EE/平面FCC（2013辽宁文）如图,是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点， (I)求证:平面；(II)设为的中点，为的重心，求证：平面（2013课标2理）如图,直棱柱中，D是AB的中点，证明:平面; （201