文科数学高考真题

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)第卷2015新课标卷第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5B4C3D22已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4)4如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B. C. D.5已知椭圆E的中心在坐标原点，

2、离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D126.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛7已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A. B. C10 D128.函数

3、f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ9执行下面所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n()A5 B6 C7 D810已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A B C D2015新课标卷第2页11.第11题图圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D812设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1 C2 D4第卷二、填空题(本大题共4小题，每

4、小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.14已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.15若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_16已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B； (2)设B90，且a，求ABC的面积18.(本小题

5、满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积20.(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数； (2)证明：当a0时，f(x)2aaln.2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)第卷1已知集合Ax|1x2，Bx|0xf

6、(2x1)成立的x的取值范围是()A. B.(1，)C. D.第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)，则a_.14若x，y满足约束条件则z2xy的最大值为_15已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_16已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求； (2)若BAC60，求B.19.(本小题满分12分)如图，

7、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值20.(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有

8、最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围2015山东卷第1页2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则AB()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bacb Cbac Dbca4要得到函数ysin(4x)的图象，只需将函数ysin 4x的图象

9、()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位5设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m07在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1log(x)1”发生的概率为()A. B. C. D.8若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0) C(0,1) D(1，)9已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B

10、. C2 D410设函数f(x)若f(f()4，则b()A1 B. C. D.2015山东卷第2页第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11.第11题图执行右边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是_12若x，y满足约束条件则zx3y的最大值为_13过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.14.定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_15过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_三、解答题(解答应写出文字说明、证明

11、过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2，求sin A和c的值18.(本小题满分12分)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.19.(本小题满分12分)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式； (2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.20.(本小题满分13分)设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处

12、的切线与直线2xy0平行(1)求a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由； (3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值21.(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点(，)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.a 求的值； b求ABQ面积的最大值 2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)

13、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2设全集U1,2,3,4,5,6，A1,2，B2,3,4，则A(UB)()A1,2,5,6 B1 C2 D1,2,3,43设p：x3，q：1x0，b0，d0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0 Da0，b0，c0，db0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC

14、的中点，证明：MNAB.21. (本小题满分13分)已知函数f(x)(a0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)2015北京卷第1页第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若集合Ax|5x2，Bx|3x3，则AB()Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x0)的一个焦点，则b_.13如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_14高三年级267位学生参加期末考试，

15、某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；2015北京卷第3页在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间0，上的最小值 16.(本小题满分13分)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式； (2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7

16、，问：b6与数列an的第几项相等？18.(本小题满分14分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积19.(本小题满分13分)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点20.(本小题满分14分)已知椭圆C：x23y23，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(

17、2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由2015天津卷第1页2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集U1,2,3,4,5,6，集合A2,3,5，集合B1,3,4,6，则集合AUB()A3B2,5C1,4,6 D2,3,52设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A7 B8C9 D143.第3题图阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A2 B3C4 D54设xR，则“1x2”是“|x2|0，

18、b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx216.如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D.7已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.5 3)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcabCacb Dcb0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值13在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点

19、E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_14已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分13分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A.(1)求a和sin C的值；(2) 求cos的值17.(本小题满分13分)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；

20、 (2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小18.(本小题满分13分)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式； (2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和 19.(本小题满分14分)已知椭圆1(ab0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.(1)求直线BF的斜率； (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|MQ|.求的值； 若|PM|sinBQP，求椭圆的方程20.(本小题满

21、分14分)已知函数f(x)4xx4，xR.(1)求f(x)的单调区间；(2)设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)g(x)；(3)若方程f(x)a(a为实数)有两个实数根x1，x2，且x10，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A B C1 D10若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1 C. D3第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)12若点P(1,2

22、)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_13设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_.14设a，b0，ab5，则 的最大值为_15在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.(本小题满分13分)已知等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)求an的通项公式； (2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.18.(本小题满分13分)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(

23、x)的最小正周期和最小值； (2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x时，求g(x)的值域19.(本小题满分12分)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性20.(本小题满分12分)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EF/BC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长21.(本小题满分12分)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F

24、1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|PF1|，且1”是“x31”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值为()A1 B0 C1 D25执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S()A. B. C. D.6若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.7若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D48设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(

25、0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数9已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()2015湖南卷第2页A.6 B7 C8 D910某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率新工件的体积/原工件的体积)()A. B.C. D.第卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11已知集合U1,2,3,4，A1,3，B1,3,

26、4，则A(UB)_.12在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_13若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.14若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_15已知0，在函数y2sin x与y2cos x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.三、解答题(本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：

27、sin Bcos A；(2)若sin Csin Acos B，且B为钝角，求A，B，C.18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积19.(本小题满分13分)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.20.(本小题满分13分)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线

28、l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率 21.(本小题满分13分)已知a0，函数f(x)aexcos x(x0，)，记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点(1)证明：数列f(xn)是等比数列；(2)若对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，求a的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取

29、米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石 C338石 D1 365石3命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()Ax(0，)，ln xx1 Bx(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0x01 Dx0(0，)，ln x0x014已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关 Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关 Dx与y负相关，x与z正相关5l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件 B

30、p是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6函数f(x)lg的定义域为()A(2,3) B(2,4 C(2,3)(3,4 D(1,3)(3,67设xR，定义符号函数sgn x，则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x| C|x|x|sgn x D|x|xsgn x8在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2 Bp2p1 C.p2p1 Dp10)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2C对任意的a，b，e1e2

31、 D当ab时，e1e2；当ab时，e11时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.20.(本小题满分13分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE平面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值21.(本小题满分14分)设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)

32、是偶函数，f(x)g(x)ex，其中e为自然对数的底数(1)求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x0时，f(x)0，g(x)1；(2)设a0，b1，证明：当x0时，ag(x)(1a)bg(x)(1b)22.(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y

33、0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由2015广东卷第1页2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若集合M1,1，N2,1,0，则MN()A0，1B1C0 D1,13下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin x4若变量x，y满足约束条件则z2x3y的最大值为()A2 B5C8 D105设ABC的内角A，B，C的对边分别

34、为a，b，c.若a2，c2，cos A且b0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3C4 D99在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5 B4C3 D22015广东卷第2页10.若集合E(p，q，r，s)|0ps4,0qs4,0rs4且p，q，r，sN，F(t，u，v，w)|0tu4，0vw4且t，u，v，wN，用card(X)表示集合X中的元素个数，则card(E)card(F)()A200 B150C100 D50第卷二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)(一)必做题(1113题)11不等式x23x40的解集为_(用区间表示)12已知样本数据x1，x2，xn的均值5，则样本数据2x11,2x21，2xn1的均值为_13