系统复频域域分析.

1、信号与系统复频域分析n信号复分析n系统复分析n系统函数与特性n系统模拟 频域分析以虚指数信号频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tu(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来

2、解决这些问题。域来解决这些问题。 本章引入复频率本章引入复频率 s = +j，以复指数函数，以复指数函数est为基本为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为，故称为s域分域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t(

3、 为实常数）乘信号为实常数）乘信号x(t) ，适，适当选取当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号x(t) e- t当当t时信号幅度趋时信号幅度趋近于近于0 ，从而使，从而使x(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为:()( )eed( )edtjtjtx ttx ttswsw-+- - =蝌X(X( +j+j )=)= x(t) e- t= 令令s = + j ，d =ds/j，有，有1( )()ed2tjtx t eXjswswwp- =+()1( )()ed2jtx tXjswswwp+- =+定义( )( )d( )( ( )stX

4、 sx t etX sL x t- =双边拉普拉斯变换对X(s)称为称为x(t)的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数），），x(t)称为称为X(s) 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 FT: FT: 实频率实频率 是振荡频率是振荡频率LT: LT: 复频率复频率S S 是振荡频率，是振荡频率， 控制衰减速度控制衰减速度 j1j1( )( )e d( )( )2jstx tX ssx tLX sssp+ - =二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号 x(t) 的双的双边拉普拉斯变换存在。边拉普拉斯变

5、换存在。 使使 x(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为X(s)的收敛域的收敛域。 下面举例说明下面举例说明X(s)收敛域的问题。收敛域的问题。例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t U(t) ，求拉氏变换。，求拉氏变换。()()j100e1( )e ed1limee()()sttstttbtFstssaasawaa-=-解解 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界1,Re sssaasasa= - = 不定，例例2 反因果信号反因果信号f2

6、(t)= e tU(-t) ，求拉，求拉氏氏变换。变换。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF ，不定不定无界无界)(1Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 22131)()(22 sssFtfRes= 32131)()(33 sssFtf 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，标

7、原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 单边拉氏变换单边拉氏变换三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换def0( )( )edstX sx tt-=defjj1( )( )e d( )2jstx tX ss u tssp+ - 轾犏=犏臌简记为简记为 X(s)=Lx(t) x(t)=L-1X(s) 或或 x(t) X(s)常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换1、)(t 0( )( )stX stedtd+ -=0 se1 2、 u(t)0( )( )stX su tedt+ -=dtest 01 0sests1 3、0( )ts tX

8、 seedta+ -=dtets 0)( s1( )teu ta-lim| ( )|0ttx tes-=常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换4、00sin( )cos( )t u tt u tww鬃 （或）0001sin()2jtjtteejwww-=-00111( )()2F sj sjsjww=-+0220sww=+常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换5、0(1)( )( )sttu tF stedt-= 00dtseeststst 02sest21s 2( )( )tu tt u t、斜波和加速度函数函数常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换6、sin( )tet

9、u taw-鬃122sin( )( )t u tX sswww撰=+0( )sints tX set edtaw-=鬃()0sinstetdtaw-+=10( )sins tXsetdtw-=122( )()()X sXsswaaw=+=+cos( )tetu taw-撰同理：( )tt eu ta-撰22()ssaaw+2)(1 s 已知：)(t )(t )(tt ( )ntte )(tet )(tett 0sintw0costwcos( )tettaw e-撰sin( )tettaw e-撰常用常用单边单边拉氏变换小结拉氏变换小结1s121s0220sww+220ssw+ s11!nns+

10、2)(1 s22()ssaaw+22()swaw+一、线性性质一、线性性质若若x1(t)X1(s) Res 1 , x2(t)X2(s) Res 2则则 a1x1(t)+a2x2(t)a1X1(s)+a2X2(s) Resmax( 1, 2) 例例x(t) = (t) + (t) 1 + 1/s， 0 拉氏变换性质拉氏变换性质二、尺度变换二、尺度变换若若x(t) X(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ，则则x(at) 1( )sXaa0()()edstL x atx att-=，则，则令令at 0()( )edsaL x atx a-骣-桫骣=桫01( )edsax a-骣-桫=证

11、明：证明：1( )sXaa=三、时移特性三、时移特性若若x(t) X(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 ,则则x(t-t0)u(t-t0)e-st0X(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合x(at-t0)u(at-t0)01etsasXaa-骣桫例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。解：解：f1(t) = u(t) u(t-1)F1(s)=)e1(1ss 例例2:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.

12、5t) 2F1(2s)f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性若若x(t) X(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则x(t)esat X(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数 F(s)= 12 ss求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9)1(1 sss例例2: f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解解 cos(2t/4) =cos(2t)cos(/4)

13、 + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222 ssssssF五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若x(t) X(s) , Res 0, 则则x(t) sX(s) x(0-) ( )( )22d( )0(0 )d ( )(0 )(0 )x tLs X sxxts X ssxx-轾轾犏=-臌犏臌=-11( )0d( )( )(0 )dnnnn rrrx tLs X ssxt- -=轾犏=-犏臌推广：推广：证明：证明：()()()000edeedstststx ttx tsx tt-轾=-犏犏臌蝌( ) 0( )xsX s-= -+( )( )()

14、( )( )212110( )(0 )0( )(0 )nnmnnmmxs Xssxxxs Xssx-=-L0121SSSSSnnn 规律：规律：(1)(2)(1)( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnX sxxxx-技举例若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? 例例2:?)(cosddttt 122 ssns)(sin)(cos)(cosddttttttt 1112 s六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）( )( )L x tX s=若，( )1(0 )( )( )dtxX sLx ss- 轾犏=+犏臌01( )

15、d( )ntnx xxX ss-骣桫例例1: t 2 (t) ? )(d)(0ttxxt ttttxxxxx0220)(2d)(d)( 322)(stt 则：例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)f(t)t022解解：对：对f(t)求导得求导得f (t)，如图，如图f(t)t(-2)120)0()(d)( 0 ftfxxft由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0 txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)sss22e)e1(1 ssFsF)()(1 结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(

16、t) Fn(s) 则则 f(t) Fn(s)/sn七、卷积定理七、卷积定理时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 jcjcsFFtftf d)()(j21)()(2121八、八、s 域微分和积分域微分和积分若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 ssFtftd)(d)()( nnnssFtftd)(d)()( 例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 32

17、2)2(2)21(dd sss sdFttf )()(例例2：?)(sinttt 11)(sin2 stt d11)(sin2 sttt例例3：?e12 tt211e12 sst stssste1112d)211(1ssarctan2arctan sssss2ln2ln11 九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函数而不必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数 f(t) 不含不含 (t) 及其各阶导数及其各阶导数（即（即F(s)为真分式，若为真分式，若F(s)为假分式化为

18、真分式），则为假分式化为真分式），则 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 )(lim)(0ssFfs 例例1：222)(2 ssssF2222lim)(lim)0(22 sssssFfss0222lim)(lim)(2200 sssssFfss例例2：22)(22 ssssF22222lim)(lim)0(22 ssssssFfss22221)(2 ssssF02222lim)(lim)(2200 ssssssFfss拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直

19、接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm 若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF 6116332261161531258)(23223234 sssssssssss

20、sssF由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。一、零、极点的概念一、零、极点的概念若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm )()()()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsAsBsF 分解分解零点零点极点极点 0)(0)( sFsB因为因为 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsBzzzzm,0,321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsAppppn,0,321 )(0)(sFsA因为因为二、拉氏逆变换的过程求求F(s)的极点的极点将将F(s)展开为部分分式展开为部分分式查变换表求出原函数查变换表求出原函数f(t)部分分式展开部分分式展开1.第一种情况：单阶实数极点 ,321为不同的实数根为不同的实数根npppp)()()()(21npspspssBsF nnpsKpsKpsKsF 2211)(ipsiisFpsK )()()(e11tpsLtpii 假分式情况：假分式情况：23795)(223 ssssssF作