现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第10、11讲.

1、2022-5-292022-5-291 1目前为止，我们已经：目前为止，我们已经： 建立了系统的状态空间模型建立了系统的状态空间模型 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界认识了世界” 如何来如何来“改变改变世界世界”？！？！设计控制系统！设计控制系统！系统的控制方式系统的控制方式-反馈？：开环控制、闭环控制反馈？：开环控制、闭环控制第第6 6章章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器第第6 6章章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器控制系统的动态性能，

2、主要由其状态矩阵的特征控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。期望的动态特性。经典控制：经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据根据用于控制的用

3、于控制的系统信息系统信息：状态反馈、输出反馈：状态反馈、输出反馈2022-5-292022-5-294 4第第6 6章章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器1. 状态反馈及极点配置2. 系统的镇定问题3. 状态观测器4. 带有观测器的状态反馈系统2022-5-292022-5-295 5第一节第一节 状态反馈及极点配置状态反馈及极点配置2022-5-292022-5-296 6将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） AB uxx r nKv CD1my 原受控系统 ： DuCxy

4、BuAxx ),(0CBA 线性反馈规律：Kxvu 2022-5-292022-5-297 7状态反馈闭环系统： DvxDKCyBvxBKAx)()(nrK 维数是维数是反馈增益矩阵： rnrrnnkkkkkkkkkK212222111211BBKAsICsGk1)()( 状态反馈闭环传递函数矩阵为： CxyBvxBKAx)( 一般D=0，可化简为：),(CBBKAk 状态反馈闭环系统表示：0)( BKAI 状态反馈系统的特征方程为：2022-5-292022-5-298 8原受控系统 ： DuCxyBuAxx ),(0CBA Hyvu AB uxx r mHv C1my 将系统输出量乘以相应

5、的反馈系数馈送到参考输人，其和作为受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）输出反馈控制规律： CxyBvxBHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：2022-5-292022-5-299 9输出反馈增益矩阵： rmrrmmhhhhhhhhhH212222111211BBHCAsICsGH1)()( 闭环传递函数矩阵为：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性。：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，即KHC。故输出反馈不改变系统的能控性。：对于状态反馈，从KHC中，给定K值，不一定能够解出H。所以，输出反馈

6、是部分状态反馈，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。 在不增加补偿器的条件下，输出反馈在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；好，不能任意配置系统的全部特征值；输出反馈在技术实现上很方便；输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。测量得到（需要状态观测器重构状态）。优点优点缺点缺点与状态反馈相比较，输出反馈：与状态反馈相比较，输出反馈： （输出反馈只是状态反馈的一种特例

7、，它能（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）则不然。）2022-5-292022-5-291111原受控系统 ： CxyBuAxx ),(0CBA AB uxx n mH C1my 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。 CxyBuxHCAx)(输出反馈系统状态空间描述为：2022-5-292022-5-291212：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。(1)判断系统能控性。如果状态完全能控

8、，按下列步骤继续。：(极点配置定理) 对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是： 状态完全能控。),(0CBA ),(0CBA 矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。BKA 2022-5-292022-5-291313(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：)(det)(BKAIf (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。*112110( )nnnnf（ (4)由 确定反馈矩阵K：21nkkkK )()(* ff ：（1）先判断该系统的能控性 考虑线性定常系统其中：试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极

9、点为-2j4和-10。,xAxBuyCx0100001,0 ,1001561ABC 2022-5-292022-5-291414该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。331616101002 rankBAABBrankQrankc（2）计算闭环系统的特征多项式321kkkK 12332321123000100( ) |000010 0015611001(6)(5)1156fIABKkkkkkkkkk 设状态反馈增益矩阵为：2006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）计算期望的特征多项式2022-5-292022-5-291515由 得2001,605,1461

10、23 kkk8,55,199321 kkk855199 K（4）确定K阵)()(* ff 求得：所以状态反馈矩阵K为： 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响：（1）先判断该系统的能控性由对角线标准型判据可知，特征值为1的状态不能控。(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：100021xxu 2022-5-292022-5-291616)2)(1(201)(det)(221kkkBKAIf 从中可以看出，对于1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。求 将相当繁琐，所以引入能控标准型法。( ) |

11、()|fIABK1、首先将原系统 化为能控标准型 ),(CBA ),(CBA2、求出在能控标准型的状态 下的状态反馈矩阵xK3、求出在原系统的状态 下的状态反馈矩阵x12 cPKK2022-5-292022-5-291717）式式（ 1)(BvxBKAx vBxKBAx )(BPBAPPAxPxcccc122122, 22111122222212()()()2cccccccccxP xPABK xBvPP APP BK P xP BvABKPxBv式（ ）证明：原系统：能控标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：12 cPKK12 cPKK2022-5-292022-5-291818 100

12、,100001000010121210212BPBAPPAcncc 能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。 )()()()(1000010000101322110nnkkkkKBA 能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：K2022-5-292022-5-291919111201( )()()()()nnnnfIABKkkk 能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：*112110( )nnnnf（ 111100 nnaaK 由 ，可以确定能控标准型下的反馈矩阵为：)()(* ff 2022-5-292022-5-292020(1)判断系统能控性

13、。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为能控标准型 的变换阵 ),(CBA若给定状态方程已是能控标准型，那么 ，无需转换 IPc 2即即可可然然后后确确定定只只需需要要求求系系统统不不变变量量2,ciP 1110( )nnnfIA 101001,12121212nnnncbbAbAP 2cP系统不变量：2022-5-292022-5-292121(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：*112110( )nnnnf（ *0*11*1012211)( sssssssGnnnnnnn*i (4)直接写出在能控标准型下的反馈增益矩阵：111100 nnaaK 12

14、 cPKK(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：还可以由期望闭环传递函数得到：能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解 期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量 和调整时间 等）%pMst2022-5-292022-5-292222（2）计算原系统的特征多项式：156|)(23 AIf：（1）可知，系统已经是能控标准型了，故系统能控，此时变换阵IPc 22006014)10)(42)(42()(23* jjf（3）计算期望的特征多项式85519912 cPKK（4）确定K阵所以状态反馈矩阵K为： 855199221100 aaK能控标准型下的状态反馈矩阵为：0100

15、001,01561AB 2022-5-292022-5-292323为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：*112110( )nnnnf（ )A(BAABB1000K11 n其中 是A满足其自身的特征方程，为：*1*110()nnnAAAAI )A( *i 推导过程：略此方法也非常适合于计算机matlab求解2022-5-292022-5-292424 11743771598855199I200A60A14AIAAA)A(23*0*12*23aaa ：（1）确定系统期望的特征多项式系数：2006014)10)(42)(42()(23* jjf14,60,200210 所以：（2）确定)A(

16、0100001,01561AB 2022-5-292022-5-292525（3）所以状态反馈矩阵K为： 85519911743771598855199001016165100117437715988551993161610100100)A(BAAB100K112 B2022-5-292022-5-292626例已知线性定常连续系统的状态空间表达式为 01003210uy xxx设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为1和2，并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。 02rankrankrank226cQBAB系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。 12kkK令2022-

17、5-292022-5-292727则状态反馈闭环系统的特征多项式为 221121( ) |()|(32)22(32)fkkkkIABK期望的特征多项式为 *2( )(1)(2)32f由 ff，求得13K 状态反馈闭环系统的结构图如下： 2022-5-292022-5-292828期望极点选取的原则： 1）n维控制系统有n个期望极点； 2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对； 3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。 4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。2022-5-29202

18、2-5-292929：如果SISO线性定常系统 是能控的，则状态反馈所构成的闭环系统 也是能控的。),(0CbA),(CbbKAk:的能控性判别阵为：),(0CbAbAAbbQnc10的能控性判别阵为：),(CbbKAkbbKAbbKAbQnck1)()(0ckcQQ可见，的第一列同的第一列。一、二列的线性组合为的第二列0)( :cckQbKbAbbbKAQ标标量量能控性不发生变化。的秩可知，状态反馈后由初等变换不改变矩阵初等变换得到列向量的线性组合。的每一列都是依次类推，ckccckQQQQ002022-5-292022-5-293030：对SISO系统，引入状态反馈后，不改变系统原有的闭环

19、零点。所以经过极点的任意配置，可能会出现零极点相约，由于可控性不变，故可能破坏可观测性。01110122111)()( ssssssbAsICsGnnnnnnn能控标准型，受控系统传递函数：状态反馈后，闭环系统传递函数： )()()()()(1021110122111kskskssssbKbAsICsGnnnnnnnn 2022-5-292022-5-293131BBKAsICsGk1)()( CxyBvxBKAx)(0)( BKAI 状态反馈闭环系统：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈系统的特征方程为：闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：BBHCAsICsGH1)()(

20、 ()xABHC xBvyCx0)( BHCAI 2022-5-292022-5-293232：闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：BHCAsICsGH1)()( 0)( HCAI CxyBvxHCAx)(：系统状态完全能控。：反馈阵k的求法2022-5-292022-5-293333(4)由 确定反馈矩阵K：21nkkkK )()(* ff (2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：)(det)(BKAIf (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征多项式。*112110( )nnnnf（ (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。2022-5-292

21、022-5-293434(4)写出能控标准型下的反馈增益矩阵：111100 nnaaK 12 cPKK(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(3)写出期望的特征多项式：*112110( )nnnnf（ (2)确定将原系统化为能控标准型 的变换阵 ),(CBA2cP2022-5-292022-5-293535可以保持原系统的能控性，但可能破坏原系统的能观测性。 )A(BAABB1000K11 n其中 是A满足其自身的特征方程，为：*1*110()nnnAAAAI )A( 为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：*112110( )nnn

22、nf（ *i 2）和3）方法非常适合于计算机matlab求解2022-5-292022-5-293636第二节第二节 系统的镇定问题系统的镇定问题1. 系统镇定的概念2. 状态反馈与系统的镇定2022-5-292022-5-293737镇定：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。可以采用状态反馈实现镇定，则称系统是状态反馈能镇定的。如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态反馈能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。1( ,)A B C原系统：2022-5-292022-5-293838 22121110AAAARRAcc 011

23、BBRBc 22211211110AkBAkBAKBA将原系统按照能控性分解，得到系统2( ,)A B C对系统 引入状态反馈后，系统矩阵变为2闭环系统特征多项式为：22211111222211211111)(0)()()(AsIkBAsIAsIkBAkBAsIKBAsI 能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定要求渐近稳定2022-5-292022-5-293939：如果线性定常系统是状态完全能控的，则不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反馈能镇定的。（一定存在状态反馈阵K，使闭环系统的极点得到任意配置） 不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反馈使它镇定：可控系统是一定可镇定的，可镇定系

24、统不一定是可控的2022-5-292022-5-294040系统的状态方程为 （2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因此该系统是状态反馈能镇定的。 ：（1）系统的特征值为1，2和5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。 5, 22, 22321 jj（1）该系统是否是渐近稳定的？（2）该系统是否是状态反馈能镇定的？（3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为100102010050XAXbuXu 2022-5-292022-5-294141（3）不能控部分的极点为5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控部分进行极点配置

25、。设 ，对能控部分进行极点配置。 21,kkK 21212121212001kkkkkkkkBKAA 212122121212212122321321kkkkkkkkkkkkkkAIf 8422222 jjf期望的特征多项式为：2022-5-292022-5-294242 ff 822432121kkkk131 k202 k由 得：解得：所以反馈阵为： 2013 K2022-5-292022-5-294343系统的状态方程和输出方程如下 ：（1）系统特征方程为：（1）讨论系统的稳定性。（2）加状态反馈可否使系统渐近稳定？uXX 010110 Xy10 01112 AIf特征值为 ，系统不是渐近

26、稳定的。jj 21, （2）系统能控，加入状态反馈可以任意配置极点。设反馈阵为 ，加状态反馈后的系统矩阵为 21,kkK 2022-5-292022-5-294444 01121kkbKA系统的特征多项式为： 21210fkk通过k1和k2的调整可使系统的特征值都位于左半S平面，使系统渐近稳定。4545第三节第三节 全维状态观测器设计全维状态观测器设计 具有实际应用价值的是下图所示状态观测器。具有实际应用价值的是下图所示状态观测器。它和开环状态它和开环状态观测器的差别在于增加了反馈校正通道。被控系统的输出与观观测器的差别在于增加了反馈校正通道。被控系统的输出与观测器的输出进行比较，其差值作为校

27、正信号。测器的输出进行比较，其差值作为校正信号。 yKbuxcKAxcKyKbuxAyyKbuxAxeeeee)() (4646) )()(xxcKAcxKbuxcKAbuAxxxeeexxx令 ()exAK c x则)()(0)(txetxtcKAe其解为可知，当选取可知，当选取 ，使得，使得 所有特征值具有负实部则有：所有特征值具有负实部则有： 若观测器和系统的初始状态相同，观测器的状态与系统实若观测器和系统的初始状态相同，观测器的状态与系统实际状态完全相同；际状态完全相同； 若观测器初始状态与系统初始状态不相等，观测器状态以若观测器初始状态与系统初始状态不相等，观测器状态以指数收敛到系统

28、的实际状态，指数收敛到系统的实际状态， 即即 。因此，这。因此，这种观测器称为种观测器称为渐近状态观测器。渐近状态观测器。eKcKAe0)(limtxt47476.3.1 全维状态观测器设计定理：线性（连续或者离散）定常系统存在状态观测器，并且定理：线性（连续或者离散）定常系统存在状态观测器，并且能够任意配置极点的充分必要条件是能够任意配置极点的充分必要条件是 此定理也适用于此定理也适用于MIMO系统。系统。)(*f)()(*ffeK确定)(det)(cKAIfe48486.3.1 全维状态观测器设计 102102,10,3210cbAnrankcAcrank22002解：解： 判断系统的能观

29、性判断系统的能观性所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。494921eeeKKK设设112221012 02 2323eeeeeKKA KcKK 则则1221211221( ) det()det2 23(2)(3) 2 2(3 2)(2 62)eeeeeeeeKfIA KcKKKKKK 系统特征方程如下：系统特征方程如下：10020)10()(22*f状态观测器的期望特征方程为状态观测器的期望特征方程为50501002622023211eeeKKK)()(*ff令令则则5 . 81eK5 .232eK解得解得5 .235 . 8eK即即uy2x

30、图8.10 状态观测器结构图2-3-2y 2 x2-3-223.58.51x1 x5151小结就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反就是将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端是将系统的输出量乘以相应的系数反馈到输入端,与参与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。考输入相加，其和作为被控系统的控制信号。线性（连续或者离散）定常系统存在线性（连续或者离散）定常系统存在状态观测器，并且能够任状态观测器，并且能够任意配置极点的充分必要条

31、件是系统完全能观测。意配置极点的充分必要条件是系统完全能观测。)()()()(txtKtrtu多变量线性系统在任何形如多变量线性系统在任何形如 的状态反馈下，的状态反馈下，状态反馈闭环系统完全能控的充要条件是被控对象完全能控状态反馈闭环系统完全能控的充要条件是被控对象完全能控。 线性（连续或离散）多变量系统能任意配置极点线性（连续或离散）多变量系统能任意配置极点的充分必要条件是的充分必要条件是,该系统状态完全能控。该系统状态完全能控。2022-5-292022-5-295252第四节第四节 带有观测器的带有观测器的状态反馈系统状态反馈系统1. 带有观测器的状态反馈系统的构成2. 带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性2022-5-292022-5-295353状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成。用观测器的估计状态实现反馈。 是x重构状态，阶数小于等于x阶数。系统阶数为 与x阶数和x x B x CAyB xCAy eK xx uK v全维状态观测器加入状态反馈2022-5-292022-5-295454带有全维状态观测器的状态反馈系统等价结构图：B x CAyB xCCKAe y eK xx uK v2022-5-292022-5-295555CxyBuAxx ,加入反馈控制规律