第二章 流体静力学.

1、流体力学流体力学（电子教案）（电子教案） 主讲主讲 闫化锦闫化锦 普通高等教育普通高等教育“十五十五”规划教规划教材材开开 始始第二章第二章 流体静力流体静力学学 2-1 平衡流体上的作用力平衡流体上的作用力 2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式 2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体 2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量 2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力 2-6 液体的相对平衡液体的相对平衡 一、教学目标 1）了解流体静压强的概念、特性、分布规律 2）掌握两种计算基准、量度单位；液柱测压计 3）理解流体平衡微分方程的推导及应用二、教学重、难点 重

2、点：等压面的概念，流体静压强的计算、分布规律、测量及应用。难点：绝对压强和相对压强，作用在平面上的流体压力的计算，流体的平衡微分方程和相对平衡。第二章第二章 流体静力流体静力学学流体静力学：研究平衡流体的力学规律及其应用。它的一切原理适用于实际流体。 2-1 流体静力学流体静力学平衡（静止）绝对平衡 流体整体对于地球无相对运动。 相对平衡 流体整体对于地球有相对运动，但流体质点间无相对运动。平衡：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。平衡流体内不显示粘性，所以不存在切应力 。一、质量力质量力： 与流体的质量有关，作用在某一体积流体的所有质点上的力称为质量力（它主要包括重力与惯性

3、力）dFm单位质量力：单位质量流体所受到的质量力（am）。2-1 流体静力学流体静力学fx 、fy、fz 单位质量力在直角坐标系中质量力在直角坐标系中 x、y、 z 轴上的投影。轴上的投影。 am 单位质量力（数值等于流体加速度）。)(kfjfifmamdFzyxmm（1）2-1 流体静力学流体静力学二、表面力(外力)表面力 :与流体表面面积有关，且分布作用在流体表面上的力称为表面力。如左图所示，表面力按其作用方向可分沿表面内法线方向的压力和沿表面切方向的摩擦力。又因流体处于平衡状态，则作用在平衡流体上的表面力只有沿表面内法线方向的压力，即称之为流体静压力。流体静压强：平衡流体上作用在单位面积

4、上的力。 p2-1 流体静力学流体静力学三、平衡流体的静压强AFp平均静压强：点静压强：dAdFAFpAlim0即流体单位面积上所受的力总是沿作用面的内法线方向。2-1 流体静力学流体静力学由上式得出微元表面上流体的静压力：npdAFnpdApdAdFA式中 -n 说明流体静压力的方向是沿受压面的内法线方向； pdA 说明流体静压力的大小是用微元面积乘以面上任何一点的流体静压强。 注意：流体的静压力是矢量，它的大小方向与受压面有关而静压强是标量，只有大小无方向，其大小有该点所处的空间位置决定。（2）（3）证明平衡流体的静压强是标量 ，即p=p(x, y, z )。 OABC的体积为：2-1 流

5、体静力学流体静力学dxdydzdV61以微元四面体为研究对象，受力分析则微元流体的质量力为：)(61kfjfifdxdydzdFzyxm微元四面体所受的表面力：2-1 流体静力学流体静力学kdxdyppjdxdzppidydzppkdxdypdxdypjdxdzpdxdzpidydzpdydzpdFnznynxnznynx21)(21)(21)()2121()2121()2121(2-1 流体静力学流体静力学由于流体处于平衡状态，则 dFm+dF=0,即：021)(6021)(6021)(6dxdyppdxdydzfdxdzppdxdydzfdydzppdxdydzfnzxnyynxx每式的第

6、一项与第二项相比为高阶无穷小，即可得：px = py = pz = pn 所以 p = p(x,y,z)2：静止流体的点压强值与 无关2-1 流体静力学流体静力学问题 1：下列属于质量力的是（ ）A）压力 B）惯性力 C）粘性切应力 D) 表面张力A）位置 B）方向 C）流体种类 D) 加速度3：静止流体所受到的表面应力是（ ）A）只有拉应力 B）只有应力 C）只有压应力 D) 以上都是CBB 一、欧拉平衡方程式2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式 平衡规律：在静止条件下，流体受到的静压力与质量力相平衡（推导过程如下）。ACEBD从平衡流体中取出一微小正平行六面体微团，AB=dx、

7、AC =dy、AD=dz。已知A点的密度为、压强为p，则微元体质量：Mdxdydz以微元体为研究对象，受力分析得：xyzo2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式流体的质量力为：)()(kfjfifdxdydzkfjfifdmdFzyxzyxm流体的表面力为：kdxdyppjdxdzppidydzppnpdAdFDACABA)()()(2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式根据多远连续函数的泰勒展开式可得：nnnBdxxpndxxpdxxppzyxxp)(!121),(20省去连续函数的二阶以上的无穷小量，可得：dxxpppB2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式同

8、理可得C点与D点的静压强，即：dzzpppdyypppdxxpppDCBdzzpppdyypppdxxpppDACABA2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式因为流体保持平衡，它在任何方向的合力为零，故其平衡条件是：dFm+dF=0，即010101zpfypfxpfzyx左式我们通常称为欧拉平衡方程式，它的物理意义是处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。（4）二、质量力的势函数2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式将平衡微分方程的三个表达式(4)分别乘以dx、dy、dz 然后相加得： dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx 静压强的

9、全微分静压强的全微分即： dzfdyfdxfdpzyx （5）此式称为欧拉平衡方程式的综合形式，也叫做压强微分式。 将上式两边积分，等式左端得到一点上的压强p。故而右端也将是一个全微分函数的标量，这样才能保证积分结果的唯一性。因此等式右端必然有一个坐标函数W=W(x,y,z)的全微分负值与质量力在坐标轴上的投影相等，即：将上式代入（5）式得：2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式dzzWfdyyWfdxxWfzyx, 上式中的坐标函数W(x,y,z)为质量力的势函数，即符合上式关系的质量力则称为有势的质量力。也就是说只有在有势的质量力作用下流体才能平衡。2-2 流体平衡的微分方程式流

10、体平衡的微分方程式dWdzzWdyyWdxxWdzfdyfdxfdpzyx)()(（6） 因此在所有空间上的任一点都存在质量力，所以我们把这个空间叫质量力场或势力场。 例题： 试求重力场中平衡流体的质量力势函数，并说明其物理意义。 若基准面z=0处的势函数值为零，则两边积分得重力场中平衡流体的力势函数为：2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式 解： 设单位质量的流体在坐标系中受到的质量分力为fx=fz=0，fz=-g，即gdzdzfdyfdxfdzzWdyyWdxxWdWzyx)(（7） 上式的物理意义是单位质量流体在基准面以上高度为z时所具有的位置势能。三、等压面微分方程式2-2

11、流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式gzW（8） 1. 定义：流体中压强相等各点所组成的平面或曲面叫作等压面，即：0)(0dzfdyfdxfdpcpzyx（9）2. 等压面的性质2-2 流体平衡的微分方程式流体平衡的微分方程式 等压面就是等势面。因为dp =0所以dW=0，即W=C(质量力势函数等于常数的面叫作等势面)。 作用在平衡流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 等压面不能相交（一个点不能有两个压强值） 绝对平衡流体的等压面是水平面（XY0，Zg 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面 在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体是不可压缩的重力流体，也就是作用在流体上

12、的质量力只有重力的液体。一、不可压缩流体的静压强基本公式2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体 对于如图所示容器中的流体，单位质量 流体所受质量力在各坐标方向上的分量为：XY0，Zg 代入公式得：gdzdWdzfdyfdxfdpzyx)(（10）将上式两边积分，整理得： 这就是重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本公式。如图所示，若 1、2 两点是2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体cgpz（11）流体中的任意两点，则上式可写成：gpzgpz2211（12）2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体二、静压强基本公式的物理意义 对静止流体中的 A、B 两点（教材图2-6所

13、示）列静压强基本公式可得：gphhzgpzpp0)(（13）gp 单位重力流体的压强势能（压强水头） 物理意义：重力作用下，静止流体中任意点处单位重力流体的位置势能与压强势能之和（总势能）为一常数。 z 单位重力流体对某一基准面的位置势能(位置水头)。 若已知平衡液体自由表面上的边界条件：z=z0 p=p0，则静压强基本公式中的积分常数C：这就是不可压缩流体的静压强分布规律。2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体三、静压强分布规律 cgpzgpzc00即：ghpzzgppgpzgpz00000)(（14）2-3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体对公式的几点说明：1、任意一点的静压强由

14、两部分组成：液面压强 p0 和液重产生的压强 gh；2、任意点处的压强都包含了液面压强（帕斯卡原理）；3、h p , 呈直线规律分布；4、距液面深度相同各点处的压强均相等。等压面为一簇水平面。5、静压强分布规律也可用静压强分布图表示。一、静压强的计算标准2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量若不可压缩平衡流体的自由液面与大气连通，则ghppghppa0（15） 绝对压强 以绝对零值（绝对真空）为计算标准（计算起点），所表示的压强。 计示压强（相对压强、表压强） 以当地大气压为计算标准，比当地大气压大多少的压强（p= gh）。 真空度以当地大气压为计算基准，小于大气压的部分。注 意：计算时

15、若无特殊说明，均采用相对压 强 计 算。 2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量三者之间的关系如下图所示：当ppa时绝对压强= 大气压强 + 计示压强计示压强= 绝对压强 大气压强当ppa时绝对压强= 大气压强 真空度真空度 = 大气压强 绝对压强多适用于理论计算。2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量二、静压强的计量单位1、应力单位：Pa (N/m2), KPa, MPa（法定计量单位） 国外：bar (巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯) 1 psi = 6.89 KPa2、液柱高单位 ：m H2O , mm Hg 等，多用于实验室计算。用不同介质的液柱高表示压

16、强时的换算关系：1212hh （16）1atm=760mmHg= 1.01325 bar=1.01325 105pa2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量3、大气压单位 ：标准大气压（atm）是根据北纬45度海平面上150C时测定的数值。详见教材表2-1.三、压强的测量金属式压强表 、真空表 金属式（液压传动）压力传感器 电测式（远距离测量）基于以静压强基本公式 液柱式（实验室） 分类：1、测压管2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量ghp2、U形测压计212211ppghppghppa)(12hhgppa绝对压强：)(12hhgp相对压强：（18）（17）2-4 静压强的计算与测

17、量静压强的计算与测量3、差压计ghppghpghp212211倒U形管式液柱差压计的公式：（19）ghghghpghpp)()()(2010（20）4、微压计由原始条件知，上下变动的液体体积应相等，即2-4 静压强的计算与测量静压强的计算与测量)()(,21212211hhgppphhgppppppaa（21）lDdhldhD21212)(44（22）将（22）式代入（21）式，则待测的相对压强为待测的绝对压强为)(sin2ddglppa（22）)(sin2ddglppa（23）若dp2p3 C）p1p2p3 D ) p2p1 lC ， 二者之间的距离为2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对

18、壁面的作用力ccccmDlAlIAlIl（29）AlIcc（30） 工程中常用的几何平面图形的惯性矩、形心坐标及图形面积详见教材表2-2。2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力三、柱面上的流体静压力 如图教材（2-18）所示，由公式（25）可得：2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力FzycygVFAghF（31） 即合力大小和方向分别为：FFFFFyzytan,22 在实际工程中常需计算高压下油管或桶形容器的抗张强度，如图教材（2-19）所示，由上式（31）可得：则在壁厚为的两侧断面产生的应力为2-5 平衡流体对

19、壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力pDlpAFFyyx（32）22pDlFx即，管子不会破裂的条件是： B）= C） D) 以上都可能2-5 平衡流体对壁面的作用力平衡流体对壁面的作用力一、容器作匀速直线运动2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡 除了重力场中的流体平衡问题以外，还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题：液体质点彼此之间固然没有相对运动，但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动。如果我们把运动坐标取在容器或机件上，则对于这种所谓的非惯性坐标系来说，液体就成为相对平衡了。 相对平衡流体所受的质量力有重力和惯性力，工程上常见的流体的相对平衡有两种： 1、作匀加速直线运

20、动容器中的液体； 2、作等角速旋转运动容器中的液体。对右图受力分析得所以单位质量力为2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡相对平衡的液体受的质量力为重力和运动方向相反的惯性力gakfjfifazyxmgafaffzyxsincos0（34）1、等压面整理得，即2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡将上式代入等压面的方程得0)sin(coszydgadatansincosgaaddyz（35） 上式说明等压面（或自由表面）是与水平面成倾角的一族平行平面，这族平面必然与单位质量力的方向相互垂直（等压面的性质）。作不定积分，得当y=0，z=0时，自由表面的压强为p0，可得积分常数即2-7 液体的相对平衡

21、液体的相对平衡2、静压强分布规律将（34）式代入压强微分式得)sin(coszydgadadpCgazayp)sin(cos)sin(cos0gazaypp（35）上式就是流体静压强在不同点（y,z）上的分布规律。当=0时，即容器沿水平基面作匀加速运动的情况静压强分布规律为：2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡等压面方程为：gagaasincostan)tan()()sin(cos000zygpgzaypgazaypp（36） 由右图可知（ytan-z）代表任何一点在倾斜自由液面下的铅直淹没深度，统称H表示，即2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡gHpp0（37） 上式说明与重力场中的静压强分

22、布规律一样，区别只是H的意义不同，它代表任意点在倾斜液面下的 深度，这种深度不仅与点的坐标有关，还与加速度的大小、方向有关。2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡当=900时，即容器沿铅直方向作匀加速运动的情况等压面方程为：0sincostangaa（38）静压强分布规律为：)1 ()()()sin(cos0000gaghpaghpgazpgazaypp（39） 上式说明：当容器向下加速运动时，am=g-ag，液体处于失重状态，此时的液重从gh降低为gh（1-a/g）。 因而液体中的任一点的静压强均因液柱失重而有所降低。这里我们称k1（k1=1-a/gg，液体处于超重重状态， 因而液体中的任一点

23、的静压强均因液柱超重而增大。这里我们称k2（k2=1+a/g1）为超重系数。则ghkpp20（41） 建坐标系如右图所示，并进行受力分析，其质量力有：重力：W=mg二、容器作等角速度回转运动rwgkfjfifazyxm2gfywrwfxwrwfzyx2222sincos离心惯性力：F=mw2r所以，单位质量力为：2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡 上式说明等压面是绕 z 轴的一族回转抛物面，当 r = 0 时，z = 0，可得积分常数 C = 0，故自由表面方程为：作不定积分得1、等压面将上式代入等压面的方程得022zyxgdydwxdw2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡Cgzrwgzyw

24、xw222222222（42） 上式中：z 称为 超高（自由表面上任一点的 z坐标，即自由表面上的点比抛物面顶点所高出的铅直距离）；u = wr 是该点的圆周速度。 用R和vc表示容器的内半径与圆周速度，则液面的最大超高为：2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡 ) 2 2z( 0222222gugrwhgzrw或（43） ) 2 2222gvgRwHc（44）在XOY坐标平面以上的回转抛物体内的液体体积为 上式说明,圆柱形容器中的旋转抛物体的体积恰好是高度为最大超高的圆柱形体积之半。2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡HRRwgdrrgwrdrgrwrdrzVRRR2420320220214222（45）作不定积分，则2-7 液体的相对平衡液体的相对平衡2、静压强分布规律将（45）式代入压强微分式得)(22zyxgdydwxdwdpCgzrwCgzywxwp)2()22(222222（46） 上式中的积分常数可以根据实际问题的不同边界条件来确定，下面讨论