状态空间分析设计方法

1、 控制原理（II）王晶信息学院学学 时：时： 4848（包含上机（包含上机4 4学时）学时）自动控制原理自动控制原理 厉玉鸣等主编，化厉玉鸣等主编，化学工业出版社，学工业出版社，20052005年年 自动控制原理（第四版）胡寿松主编，自动控制原理（第四版）胡寿松主编，国防工业出版社，国防工业出版社，20022002年年 自动控制原理自动控制原理 孙亮等主编，北京孙亮等主编，北京工业大学出版社工业大学出版社 19991999年年控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主编，化工出版社（归纳总结，例题分析）编，化工出版社（归纳总结，例题分析）自动控制原理实验指导书，本

2、校自动自动控制原理实验指导书，本校自动 化系编化系编学习方式：学习方式：教教 材：材：参考书：参考书：习题集：习题集：实验指导书：实验指导书：授课、习题、实验、考试授课、习题、实验、考试第第7 7章章 状态空间分析设计方法状态空间分析设计方法线性系统理论的两大分支线性系统理论的两大分支 经典控制论经典控制论现代控制论现代控制论数学基础数学基础拉普拉斯变换拉普拉斯变换线性代数、矩阵分线性代数、矩阵分析析系统模型系统模型传递函数传递函数状态空间表达状态空间表达处理域处理域频域频域时域时域应用对象应用对象SISO系统系统MIMO系统系统本章主要内容本章主要内容现代控制论的重要现代控制论的重要分支：状

3、态空间设计方法分支：状态空间设计方法 系统模型系统模型 状态空间模型的建立、与传递状态空间模型的建立、与传递函数描述之间的相互转化；函数描述之间的相互转化； 系统分析系统分析 状态空间运动分析；能控性和状态空间运动分析；能控性和能观性的基本概念与判据、能控、能观能观性的基本概念与判据、能控、能观标准形及结构分解；标准形及结构分解； 系统综合系统综合 基于状态空间模型的控制系统基于状态空间模型的控制系统设计方法设计方法极点配置和观测器设计。极点配置和观测器设计。第一节第一节 线性系统的状态空间数学模型线性系统的状态空间数学模型 7.1.1 7.1.1 系统状态空间表达的基本概念系统状态空间表达的

4、基本概念 7.1.2 7.1.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 7.1.3 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式由机理分析建立状态空间表达式 7.1.4 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式由微分方程建立状态空间表达式 7.1.5 7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 7.1.6 7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵状态空间表达式与传递函数矩阵7.1.1 7.1.1 系统状态空间表达的基本概念系统状态空间表达的基本概念表示系统在过去、现在和未来时刻的状况表示系统在过去、现在和未来时刻的状况状态状态能够完全描述系统行为的最小一组变量，能

5、够完全描述系统行为的最小一组变量，只要给定了当前时刻的这组变量以及未来只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作用在系统上的输入，那么系统在未时刻作用在系统上的输入，那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定。来任意时刻的行为就可以完全确定。 状态变量状态变量选取的不唯一性以完全表征系统的状态变量为元构成的向以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量量就是状态向量 状态向量状态向量)()()()(21txtxtxtxn以以n n个状态变量为基底所构成的个状态变量为基底所构成的n n维空间就维空间就称为状态空间，状态空间中的一点就代称为状态空间，状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的

6、状态。表系统在某一特定时刻的状态。 状态空间状态空间7.1.2 7.1.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述外部描述外部描述传递函数：不表征系统的传递函数：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量组内部结构和内部变量，只反映外部变量组输入与输出间的因果关系输入与输出间的因果关系内部描述内部描述状态空间，能够完全表征状态空间，能够完全表征系统的一切动力学特征：系统的一切动力学特征：不完全描述完全描述（1 1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化，）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化，通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：（2 2）

7、输出方程：状态和输入的改变决定了输出的变）输出方程：状态和输入的改变决定了输出的变化，通常属于变量之间的相互转换，可用一般的代数化，通常属于变量之间的相互转换，可用一般的代数方程表示：方程表示：)()()(tButAxtx)()()(tDutCxty系统状态空间描述的结构示意图系统状态空间描述的结构示意图 问题：问题：1 什么是状态？什么是状态？2 状态是否唯一？状态是否唯一？1两种描述方式的比较：两种描述方式的比较：例例1考虑传递函数考虑传递函数 11)(ssH系统不稳定，欲使其稳定，可在系统不稳定，欲使其稳定，可在H H（s s）前面）前面串联一个补偿器串联一个补偿器 得：得：11)(ss

8、sHc111111)()(sssssHsHc系统结构图：系统结构图：理论上，零极点对消，系统稳定理论上，零极点对消，系统稳定实际中，系统往往会出现失效或达到饱和实际中，系统往往会出现失效或达到饱和从状态空间的角度分析上述实现中主要变量从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程的演变过程 系统状态方程为系统状态方程为21222112xyvxxuxxvxx求解可得：求解可得： )( 5 . 0) ( ,2) (10202101vexeexetxyvexetxtttttt为卷积运算7.1.3 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式由机理分析建立状态空间表达式 建立状态空间表达式的方法建立状态

9、空间表达式的方法: :一是机理分析，一是机理分析，选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式。空间表达式。例：试列写下面两种简单系统例：试列写下面两种简单系统电路系统和力电路系统和力学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态变量，并建立相应的状态空间表达式。变量，并建立相应的状态空间表达式。 解解：(1)(1)弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器系统，外加拉阻尼器系统，外加拉力力F Fi i为输入，质量单元的位移为输入，质量单元

10、的位移y y为输出，为输出，根据牛顿第二定律可得根据牛顿第二定律可得: :其中合力：其中合力： 整理得：整理得：选定变量：选定变量：得到状态方程：得到状态方程：22ddtymFmafkiFFFFkyFktyfFfddiFkytyftymdddd22121xyxyx ,yyFuiumxmkxmftxxtx1dddd12221212121011010 xxyumxxmfmkxxx(2) RLC(2) RLC电路，设电路，设e ei i为输入，电压为输入，电压e ec c为为输出，根据基本电路定律有：输出，根据基本电路定律有：选择状态变量为选择状态变量为 ，可推导出，可推导出2 2个一阶个一阶微分方

11、程组：微分方程组： 写成状态方程：写成状态方程： 再根据输出再根据输出 ，可得相应的输出方程为：，可得相应的输出方程为： 2110 xxCy112211010RxxxuLLCLxx12211dd11ddxtxuLxLCxLRtxiedtiCRitiL 1ddidtxix21,dtiCeyc 1值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输入和输出确定，那么传递函数就是唯一确定的，入和输出确定，那么传

12、递函数就是唯一确定的，而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而不同，同一个系统可以具有不同的状态空间表不同，同一个系统可以具有不同的状态空间表达式。达式。问题：例如上面例题中提到的问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以电路，如果以作为一组状态变量，作为一组状态变量， 则状态空间表达为则状态空间表达为.?cexix21,代数等价：给定一线性定常系统代数等价：给定一线性定常系统 ，如，如果引入一非奇异变换：果引入一非奇异变换： 其中其中P P是非奇异矩是非奇异矩阵，经过状态变换后，系统可以写成阵，经过状态变换后，系统可以写成 系统的不同的状态空间描述就

13、是同一个系统在系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征不同的坐标系下的表征),(DCBA,Pxx 1PAP xPBu 由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。 1()AP xBux x ()AxBuPAxBuyCxDu1P xDuCxDu那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。27.1.4 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式由微分方

14、程建立状态空间表达式仅限于单输入单输出线性定常系统：仅限于单输入单输出线性定常系统：ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(.引入微分算子引入微分算子 dtdp/，则系统可以写成，则系统可以写成: : .010111ubpubupbyapyaypaypmmnnnuapapapbpbpbynnnmm011101.分情况讨论：分情况讨论：Case1：当当mn时时 则系统方程则系统方程 可以改写为：可以改写为： .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnn引入中间变量：引入中间变量：uapapapynnn0111.1uapapapbpbpbynn

15、nmm011101.选取状态选取状态) 1() 1 (21,nnyxyxyx可以得到系统的状态空间描述：可以得到系统的状态空间描述： xbbyuxaaaxmn0,100100000100110(1)12(2)23(1)1( )(1)(1)1101120 1()(1)101120 1.nnnnnnnnnmmmmxyxxyxxyxxyaya ya yuaxa xa xuyb yb yb yb xb xb x .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnnCase2：当：当mn时时 首先将系统方程有理分式严格真化：首先将系统方程有理分式严格真化：uapapa

16、pabbpabbpabbbynnnnnnnnnn01110011111.)()(.)(按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中间变量间变量 的作用，上式可以写成下面的形式：的作用，上式可以写成下面的形式：yubyabbyabbyabbyuyayayaynnnnnnnnnn)()(.)(.00)1(11)1(110)1(1)1(1)(选择与选择与mnmn情况下相同的状态变量：情况下相同的状态变量：)1()1(21,nnyxyxyxuapapapbpbpbynnnmm011101.ubxabbabbyuxaaaxnnnnnn1100110,10010

17、000010上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式，状态是一样的，得到的状态方程表达态空间形式，状态是一样的，得到的状态方程表达形式也是一样的，唯一不同的就是输出方程中比形式也是一样的，唯一不同的就是输出方程中比m m n n情况多了一项情况多了一项 ：状态方程为：状态方程为：ubxabbabbubyabbyabbyabbynnnnnnnnnnnn110000)1(11)1(11)()(.)(ubn优点：利用控制系统的微分方程系数优点：利用控制系统的微分方程系数 直接列写出系统的状态空间表达式。直接列写出系统的状态空间表达式。 举例：

18、写出下列系统的状态空间表达举例：写出下列系统的状态空间表达解：上述两个系统分属于解：上述两个系统分属于mnm0都有都有x1=x2，这就表，这就表明该电路系统是不完全能控的。明该电路系统是不完全能控的。 例三例三 由由 的联系判断能观性的联系判断能观性yx 0125CA输出输出y(ty(t)=x1(t),)=x1(t),且且x1x1与与x2x2完全解耦，完全解耦，x2x2到到y y的通道被的通道被切断，所以切断，所以x1x1能观测，能观测，x2x2不能观测。不能观测。01215CA输出输出y(ty(t)=x1(t),)=x1(t),注意注意x1x1受受x2x2影响，所以不能简单影响，所以不能简单

19、判定判定x1x1能观测，能观测，x2x2不能观不能观测测。例四例四 两联系通道的作用可能抵消两联系通道的作用可能抵消左图中，输入为电压，两左图中，输入为电压，两个电感流过的电流是状个电感流过的电流是状态变量，输出是电流态变量，输出是电流i。如果外加电压如果外加电压u=0，对任，对任意两个相等的非零初始意两个相等的非零初始状态，都会有电流状态，都会有电流i0，也就是说从输出根本无也就是说从输出根本无法判断系统的初始状态法判断系统的初始状态是什么，说明该电路是是什么，说明该电路是不完全能观的。不完全能观的。 6能控性定义能控性定义 对于线性时变系统对于线性时变系统 如果对于非零初始状态如果对于非零

20、初始状态x x0 0，都存在某一时刻，都存在某一时刻 和一个无约束的容许控制和一个无约束的容许控制 ，使得状态由，使得状态由初始点转移到初始点转移到t1t1时刻的原点，则称此初始状态时刻的原点，则称此初始状态x0 x0是能控是能控的。如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的，的。如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的，那么就称系统是完全能控的。那么就称系统是完全能控的。无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯

21、一的条件，具体的说就是要保满足状态方程解存在且唯一的条件，具体的说就是要保证输入证输入u的每个分量在的每个分量在J上是平方可积的。上是平方可积的。JtBuAxx ,0,11tJt, 0),(1tttu7.3.1 基本概念基本概念1、上述定义中，只要求能够找到这样的控制输入上述定义中，只要求能够找到这样的控制输入u，使得使得t0时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状态空间中的坐标系原点，而对状态转移的轨迹不态空间中的坐标系原点，而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制，这就是说能控性是表征系统作任何要求和限制，这就是说能控性是表征系统状态运动的一个状态运动的一个

22、定性的特性定性的特性2 2、上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态，如、上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态，如果改成由零状态转移到非零状态，就称之为系统果改成由零状态转移到非零状态，就称之为系统状态是能达的。对于线性连续定常系统，其能控状态是能达的。对于线性连续定常系统，其能控性和能达性是等价的，而对于离散系统和时变系性和能达性是等价的，而对于离散系统和时变系统，二者严格来讲是不等价的。统，二者严格来讲是不等价的。 说明说明能观测性定义：能观测性定义： 对给定的零输入方程，对给定的零输入方程，在初始时刻在初始时刻t0存在非零的初始状态存在非零的初始状态x(t0)=x0（未知）。（未知）

23、。如果存在这样一个有限时刻如果存在这样一个有限时刻t10，通过，通过t0,t1段有限段有限时间区间内所测得的输出时间区间内所测得的输出y(t)可以确定出系统的初始可以确定出系统的初始状态状态x(t0)，那么就把，那么就把x0称作是可观测状态。如果状称作是可观测状态。如果状态空间中所有的非零状态都是可观测的，那么就称态空间中所有的非零状态都是可观测的，那么就称系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。0)0( , ,xxCxyJtAxx线性定常系统的能控性判定线性定常系统的能控性判定 1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在

24、这样一个时刻样一个时刻t t1 100，使得格拉姆矩阵，使得格拉姆矩阵 是非奇异的是非奇异的 dteBBetWttATAtcT101), 0(7.3.2能控性与能观测性判据能控性与能观测性判据注意：注意：格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数eAt，而当而当A的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。可以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。 由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：由

25、格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：根据运动分析，系统的状态响应为根据运动分析，系统的状态响应为 对于能控系统总可以找到对于能控系统总可以找到t t1 1时刻及作用在时刻及作用在t0,t1t0,t1上上的容许控制的容许控制u(tu(t) )，使得系统在，使得系统在t t1 1时刻转移到零点，时刻转移到零点，即即tttAAtBuxtx0d)(ee)()(0XxBuxBuxBuxtxttAtttAAttttAAt00)(0)(01 ,d)(e d)(ee d)(ee)(01010111011根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的逆必定存在，根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的逆必定存在，于是就可以这

26、样选取控制输入：于是就可以这样选取控制输入：0101T),(e )(xttWBtucAt解释：解释：无论系统的初始状态无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处，位于状态空间中的何处，都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得在在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为零点。这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵按能控性格拉姆矩阵方式选取方式选取。一般来说，如果系统是能控的，能够把。一般来说，如果系统是能控的，能够把系统由初始状态系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种，转

27、移到原点的输入控制有很多种，这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它的耗能是最小的。最好，它的耗能是最小的。 2秩判据秩判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵称矩阵 为系统的为系统的能控性判别阵能控性判别阵nBABAABBrankn12BABAABBn 123PBH秩判据秩判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩阵线

28、性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值的所有特征值 ，均有下式成立：，均有下式成立：即即 是左互质的。是左互质的。 nii,.,2 , 1 ,复数域或CsnBAsIrankninBAIranki , ,.,2 , 1 , BAsI和74PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量，即对的所有列相正交的非零左特征向量，即对A的任的任一特征值一特征值 使同时满足使同时满足的特征向量的特征向量 i0 ,BATTiT05约当规范型判据约当规范型判据 线性定常系统完全能控的充分必

29、要条件是线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1:Case1:当当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型角线规范型中，矩阵中，矩阵 不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。 uBxxn1100BCase2:A的特征值为的特征值为时，导出的约当规范型时，导出的约当规范型那么矩阵那么矩阵 中对应每个约当块的最后一行行向量是线中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的最性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些行分别是线性无

30、关的。行分别是线性无关的。nikiii12211),(,),(),(且重重重uBBxJJxii1100B举例举例: :给出了约当标准型给出了约当标准型 标准型中一共有三个约当块，系统是完全能控的，标准型中一共有三个约当块，系统是完全能控的，必须保证必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，即是即是b3,b5,b6b3,b5,b6是非零的行向量，对应同一特征根是非零的行向量，对应同一特征根 的这些行的这些行b3,b5b3,b5分别是线性无关的。分别是线性无关的。 ubbbbbbxx654321211111011011例例1： 若若 ，则系统是能控的，则系统

31、是能控的 若若 ，则，则x1,x2,x4不能控，不能控，x3能控能控30134014A40000210B00400000B例例2：给出线性定常系统给出线性定常系统, ,判断其能控性判断其能控性 uxx011050100001解：解：1 1、秩判据、秩判据: :因此系统是完全能控的。因此系统是完全能控的。30505011112rankBAABBrankrankQc2、PBH判据：判据：首先计算出特征值首先计算出特征值 ，分，分别计算别计算 是否都等于是否都等于n， 5, 1BAIranki30550115010015 30550115010015 3015011101000 321rankBAI

32、rankrankBAIrankrankBAIrank线性定常系统的能观测性判定线性定常系统的能观测性判定1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵，使得格拉姆矩阵 是非奇异的。是非奇异的。 和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要和时变系统一样，定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数计算出矩阵指数函数eAt，而当，而当A的维数较大时并不的维数较大时并不容易容易dtCeCetWt

33、AtTtAoT101), 0(2秩判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是线性定常系统完全能观测的充分必要条件是我们称矩阵我们称矩阵QoQo为系统的能观测性判别阵，这个结论完为系统的能观测性判别阵，这个结论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。 nCACACACrankrankQno123PBH秩判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵阵A的所有特征值的所有特征值 ，均有下式成立：，均有下

34、式成立：即即sI-A和和C是右互质的。是右互质的。 nii,.,1 ,复数域或CsnAsICrankninAICranki , ,.,2 , 1 , 4PBH特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是线性定常系统完全能观测的充分必要条件是A不能不能有与有与C的所有行相正交的非零右特征向量，即对的所有行相正交的非零右特征向量，即对A的任一特征值的任一特征值 使同时满足使同时满足 的特征向量的特征向量 。i0 ,CAi05约当规范型判据约当规范型判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是线性定常系统完全能观测的充分必要条件是Case1 当当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对

35、角矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型线规范型中，矩阵中，矩阵 不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。 xccxCyxxnn11100CCase2:A的特征值为的特征值为时，导出的约当规范型时，导出的约当规范型那么由矩阵那么由矩阵 中对应每个约当块的第一列列向量是中对应每个约当块的第一列列向量是线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块线性无关的。换句话说，矩阵中对应每个约当块的第一列列向量中无零列，且对应同一特征根的的第一列列向量中无零列，且对应同一特征根的这些列分别是线性无关的。这些列分别是线性无关的。nikiii12211),(,),(),(且重重重xCCyxJJxii11

36、00iC举例：给出了约当标准型举例：给出了约当标准型 标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观测的，则测的，则C C矩阵中对应每个约当块的第一列非零，矩阵中对应每个约当块的第一列非零，即即c1,c4,c6c1,c4,c6是非零的列向量，对应同一特征根的这是非零的列向量，对应同一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应特征根些列分别是线性无关的，即对应特征根 的列的列c1,c4c1,c4是线性无关的。是线性无关的。xccccccyxx654321211111011011例：给出线性定常系统例：给出线性定常系统试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。

37、试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。xyuxx011011050100001解：秩判据：解：秩判据：系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。30511010112rankCACACrankrankQo5, 1PBHPBH判据：判据：首先计算出特征值首先计算出特征值 ，分别计，分别计算算 是否都等于是否都等于n n， AICranki35501500015011355015000150113150110000011321rankAICrankrankAICrankrankAICrank8给定线性定常系统给定线性定常系统 ：则它的对偶系统则它的对偶系统 为：为： d对偶原理对偶原理 能控性和

38、能观测性无论是从概念上还是从判据的形式能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问题与估计问题之间的对偶性题与估计问题之间的对偶性 对偶系统定义对偶系统定义mpnRyCxyRuRxBuAxx , ,pTmnTTRWzBWRVRzVCzAz , , 给定系统和对偶系统的方块图是对偶的给定系统和对偶系统的方块图是对偶的 对偶系统对偶系统又称为又称为伴随系统伴随系统，可以看出给定系统和对，可以看出给定系统和对偶系统之间的状态维数一致，而给定系统的输入，偶系统之间的状态维数一致，而给定系统的输入，输出维数分别等于

39、对偶系统的输出和输入维数。输出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数。 给定系统的运动是状态点在状态空间中由t0到t的正时向转移，而对偶系统的运动是协状态点在状态空间中由t到t0的反时向转移。 设 和 是给定系统和对偶系统的状态转移矩阵，则必成立 ),(0tt),(0ttd),(),(00ttttTd对偶原理：对偶原理： 给定系统和对偶系统在能控性和能观测性上具有以给定系统和对偶系统在能控性和能观测性上具有以下对应关系：下对应关系： 给定系统的完全能控性等价于对偶系统的完全能观给定系统的完全能控性等价于对偶系统的完全能观测性，给定系统的完全能观测性等价于对偶系统的测性，给定系统的完全能观测性等价

40、于对偶系统的完全能控性。完全能控性。可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进行证明。行证明。 验证：验证：给定系统的能控性判别矩阵对偶系统的能观测性判别矩阵 BAABBQnc1TnnTTTTToBAABBABABBQ11)(二者秩完全相同 给定系统的能观测性判别矩阵对偶系统的能控性判别矩阵 1noCACACQTnTnTTTToCACACCACACQ11)(二者秩完全相同 7.3.3 7.3.3 单输入单输出系统的能控规范型和能观测单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型规范型 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系统，如果单从能控性或是能观

41、测性这两个基本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就可以把系统的状态空间描述在这一线性变换下，转化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式。通常把这种标准形式的状态空间描述称为能控规范型，能观测规范型。 能控性规范型能控性规范型 给定系统给定系统 ，且系统是完全能，且系统是完全能控的，有控的，有特征多项式为特征多项式为 cxybuAxx , :nbAAbbrankn10111)()det(asasassAsInnn定义常数定义常数cbabcAabcAcbabcAabcAcbacAbcbnnnnnnnnn121102312112111011111nnnaaabAbbAP构造变换矩阵构造变换矩阵在

42、变换在变换 下，可以导出系统的能控标准型下，可以导出系统的能控标准型 其中其中xPx111011101,100 ,10000010nccnccPcbPbaaaAPPAxcyubxAxccc,举例：给定系统举例：给定系统特征多项式为：特征多项式为： xyuxx1011103001202116116)()det(213ssssAsI非奇异变换矩阵：非奇异变换矩阵： 以及构造常数以及构造常数 28182882332101132154038161101600113911103101PP，10,n10611220212cbacAbabcAcbacAbcb得到系统的能控性标准型：得到系统的能控性标准型：

43、1610100 ,6116100010ccccbA能观测规范型能观测规范型 对上述给定系统，矩阵对上述给定系统，矩阵A的特征多项式及常数定义不的特征多项式及常数定义不变，利用能观测性与能控性的对偶关系，可以定义变，利用能观测性与能控性的对偶关系，可以定义非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵ccAcAaaaQnnn11111011则利用变换关系则利用变换关系 ，导出系统的能观测规范型：，导出系统的能观测规范型： 其中Qxx xcyubxAxooo,100, ,10000100011101101cQcQbbaaaQAQAonono讨论：讨论：1.能控性规范型和能观测规范型是通过一种简单的，明能控性规范型和

44、能观测规范型是通过一种简单的，明显的方式把系统的状态空间描述与反应系统结构特显的方式把系统的状态空间描述与反应系统结构特性的特征多项式联系起来，这对于讨论系统的综合性的特征多项式联系起来，这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问题给予了很大的方便，如讨论控制及观测器设计问题给予了很大的方便，如讨论极点配置问题上，利用规范型中系统矩阵与特征多极点配置问题上，利用规范型中系统矩阵与特征多项式之间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控项式之间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控规范型，与原始系统加以比较就可以很容易的找到规范型，与原始系统加以比较就可以很容易的找到相应的控制输入相应的控制输入u，其他一些

45、控制问题，如镇定，跟，其他一些控制问题，如镇定，跟踪等都可以转化为适当的极点配置问题，另外观测踪等都可以转化为适当的极点配置问题，另外观测器的设计也是基于能观规范型提出的。器的设计也是基于能观规范型提出的。2.2.代数等价系统的能控性与能观测性保持不变。此外，代数等价系统的能控性与能观测性保持不变。此外，对于完全能控（观测）的两个等价系统来讲，虽然对于完全能控（观测）的两个等价系统来讲，虽然自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观测）规范型完全一样。测）规范型完全一样。 97.3.4 7.3.4 结构分解结构分解 本节从系统动态方程角度来讨论不完

46、全能控或不完本节从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完全能观测系统的结构特性，即把状态方程按照能控全能观测系统的结构特性，即把状态方程按照能控性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。把系性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。把系统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分以及不能控又不能观测四部分。以及不能控又不能观测四部分。 研究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结研

47、究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输出描述之间的本质差别。出描述之间的本质差别。 对线性系统加以结构分解是基于结论：对线性系统加以结构分解是基于结论：两个代数等价两个代数等价系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改变系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完变系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完全能控及不完全能观测程度。全能控及不完全能观测程度。 按能控性分解按能控性分解 不完全能控系统不完全能控系统 ， 在在n个状态中只个状态中只有有k个是能控的

48、，其余个是能控的，其余n-k个状态是不能控的，按能个状态是不能控的，按能控性进行结构分解就是找到这控性进行结构分解就是找到这k个能控的状态，并写个能控的状态，并写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程，出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是采用的方法就是线性非奇异变换。线性非奇异变换。 ),(CBAnkrankQc非奇异变换矩阵的构造非奇异变换矩阵的构造从从 中任意选取中任意选取k个线性无关列，记个线性无关列，记作作 ，此外在从此外在从n维实数空间中任意选取维实数空间中任意选取n-k个线性无关列向量个线性无关列向量 ，并保证这，并保证这n-k个个列向量与原来的列向量

49、与原来的k个列向量都是线性无关的，这样个列向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵：就组成了非奇异变换矩阵： BAABBQnc1kpp1nkpp1nkkppppP11通过非奇异变换通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能控性，就可以把原系统按能控性进行结构分解：进行结构分解： xPx1cccccccccxxCCxCPyuBxxAAABuPxAPPx001211注意：非奇异变换矩阵注意：非奇异变换矩阵P P任意的，所以结构分解后得到任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是值是不同的，唯一确

50、定不变的是 ( (能控部分系统矩能控部分系统矩阵阵) )是是k k维的，（不能控部分系统矩阵）是维的，（不能控部分系统矩阵）是n-kn-k维的。维的。 cAcA在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能控部分和不能控部分。控部分和不能控部分。能控部分的能控部分的k维方程为：维方程为：ccccccccxCyuBxAxAx12n-kn-k维不能控子系统：维不能控子系统： ccccccxCyxAx方块图：举例举例:重新排序：重新排序： xyuxx43217534003130134014243124312431243100753431400003000

51、1301004xxxxyuxxxxxxxx讨论：讨论： 不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的。不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的。 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即)det(*)det(0det)det()det(12ccccAsIAsIAsIAAsIAsIAsI系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。 经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数是一种不完全的描述可见系统的传递函数是一种不完全的描述, ,只能反应只能反应出

52、系统能控部分的特征值。出系统能控部分的特征值。cccccccccccccBAsICBAsIAsICCBAsIAAsICCBAsICsG1111121)(0)(0)(00)()(10按能观测性分解按能观测性分解 ),(CBAnkrankQo 不完全能观测系统不完全能观测系统 ， 在在n个状态中个状态中只有只有k个是能观测的，其余个是能观测的，其余n-k个状态是不能观测的，个状态是不能观测的，按能观测性进行结构分解就是找到这按能观测性进行结构分解就是找到这k个能观测的状个能观测的状态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是应

53、的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变换线性非奇异变换。 非奇异变换矩阵的构造非奇异变换矩阵的构造从从 中任意选取中任意选取k个线性无关行，记作个线性无关行，记作 ， 再从再从n维实数空间中任选维实数空间中任选n-k个线性无关行向量个线性无关行向量 并保证这并保证这n-k个行向量与原来的个行向量与原来的k个行向量都是线性无关个行向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵：的，这样就组成了非奇异变换矩阵： nkqq,11noCACACQTTkTqq1TTnTkTkTqqqqQ11通过非奇异变换通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能观测，就可以把原系统按能观测性进行结构分解：性进行结构分解： Q

54、xx 注意注意：非奇异变换矩阵：非奇异变换矩阵Q Q是任意的，所以结构分解后是任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是的元素值是不同的，唯一确定不变的是 ( (能观测能观测子系统矩阵子系统矩阵) )是是k k维的，维的， （不能观测子系统矩阵）是（不能观测子系统矩阵）是n-kn-k维的。维的。 oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211oAoA在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能在这样的分解规范表达式中，系统被明显的分解成能观测部分和不能观测部分，

55、其中能观测部分的观测部分和不能观测部分，其中能观测部分的k维维方程为：方程为：n-kn-k维不能观测子系统：维不能观测子系统：oooooooxCyuBxAxuBxAxAxooooo21讨论：讨论： 系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没有输出与之对应。有输出与之对应。经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即系统特征值被分成两部分：能观测和不能观测特征值。系统特征值被分成两部分：能观测和不能观测特征值。)det(*)det(0det)det()det(21ooooAsIAsIAsIAAsIAsIAsI 经非

56、奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特征值，是一种不完全的描述。征值，是一种不完全的描述。oooooooooooooBAsICBBAsIAsICBBAsIAAsICBAsICsG1111211)()(0)(000)()(规范分解规范分解 如果系统是不完全能控且不完全能观测的，那么单纯对系统如果系统是不完全能控且不完全能观测的，那么单纯对系统进行一次分解（按能控性或是能观测性）并不可能对整个系进行一次分解（按能控性或是能观测性）并不可能对整个系统的结构有完全的

57、了解，这时必须进行二次分解，在能观测统的结构有完全的了解，这时必须进行二次分解，在能观测性分解的基础上进行能控性分解，这样才可能对系统的结构性分解的基础上进行能控性分解，这样才可能对系统的结构有更好的了解。有更好的了解。 把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解。把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解。 注意：规范分解时必须先按能观测性进行分解，然后再进行注意：规范分解时必须先按能观测性进行分解，然后再进行能控性分解，而不能先对系统按能控性进行分解，然后再分能控性分解，而不能先对系统按能控性进行分解，然后再分别对能控子系统和不能控子系统按能观测性分解，其原因就别对能控子系

58、统和不能控子系统按能观测性分解，其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子系统的输出之和才是整个系统真正的输出，系统的能观测性系统的输出之和才是整个系统真正的输出，系统的能观测性反映的是输出对状态的观测能力，它与子系统的输出和对状反映的是输出对状态的观测能力，它与子系统的输出和对状态的观测能力是不同的，所以分别对能控子系统和不能控子态的观测能力是不同的，所以分别对能控子系统和不能控子系统再按能观测进行结构分解，得到的结果可能是错误的。系统再按能观测进行结构分解，得到的结果可能是错误的。 首先进行能观测性分解得：首先进行能观测

59、性分解得： 能观测和不能观测状态中同时都包括能控和不能控能观测和不能观测状态中同时都包括能控和不能控的两部分，为此要对能观测子系统和不能观测子系的两部分，为此要对能观测子系统和不能观测子系统再按照能控性进行分解：统再按照能控性进行分解：oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxCCxCyuBBxxxxAAAAAAAAAuBxAxxxx 423432311200000000000系统传递函数为系统传递函数为只反应出能控且能观测那部分的特征值，而不能控或只反应出能控且能观测那部

60、分的特征值，而不能控或是不能观测那部分的特征值模态再传递函数中并没是不能观测那部分的特征值模态再传递函数中并没有体现。这些不能控或是不能观测的模态代表了系有体现。这些不能控或是不能观测的模态代表了系统的内部特征，在有关文献中被称为隐藏模态。所统的内部特征，在有关文献中被称为隐藏模态。所以说状态空间描述要比输入输出描述全面，它不光以说状态空间描述要比输入输出描述全面，它不光能够反应出系统的外部特征，同时也可以体现系统能够反应出系统的外部特征，同时也可以体现系统的内部特征。的内部特征。cococoBAsICBAsICsG11)()()(信息传递：信息传递： 不可控，不可观，进：由不可控不可控，不可