第十章 动量定理

1、10-1 10-1 动量和冲量动量和冲量10-2 10-2 动量定理动量定理10-3 10-3 质心运动定理质心运动定理动量动量矩动能冲量力矩功为什么射击时有后坐力？ 一、动量一、动量 1.1.质点的动量：质点的动量：mv动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 iiCiiCrmrMMrmr 或则设,kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , , 2.2.质点系的动量：质点系的动量：ddd()dd()diiiii icCPmrmtm rtmrtm xCxCyCyCzCzCPmvmxPmvmyPmvmzC或者将公式

2、将公式对时间求导，有对时间求导，有)(iiCrmrMciiPmvmviCiPmvxi CixiCiyi CiyiCizi CiziCiPmvm xPmvm yPmvm z3.刚体系统的动量刚体系统的动量： C Cv已知已知:圆盘质量为圆盘质量为M,半径为半径为r,图示瞬时三种情图示瞬时三种情况下圆盘的况下圆盘的 ，求各自的动量。，求各自的动量。P245 C CrMMvpC0pvCrMMvpC例题.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一质量为m长度为 l的均质杆AB,当AB 杆与铅垂线的夹角为 时,滑块A 的速度为v, 杆AB的角速度为,求该瞬时系统的动量.ABCv 解:取系统为研究对象.

3、PAx = M v PAy = 0设 杆AB质心 C 的速度为vC由 vc = ve + vrcos21lvvcxsin21lvcycos21lmmvPABxsin21lmPABycos21lmvmMPxsin21lmPyABCv vcvcxvcyABAPPPve = vlvr21例题. 水平面上放一均质三棱柱 A,在此三棱柱上又放一均质三棱柱B. 两三棱柱的横截面都是直角三角形,且质量分别为M和m.设各接触面都是光滑的,在图示瞬时, 三棱柱A的速度为v, 三棱柱B相对于A的速度为u, 求该瞬时系统的动量.ABAB解:取系统为研究对象vuPAx = - M vPAy = 0PBx = - m

4、v + m u cosPBy = - m u sinPx = - (M + m) v + m u cosPy = - m u sinBAPPP2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量：冲量冲量：F21()IF ttdIFdt21ttIFdt1力是常矢量：F二冲量二冲量 3合力的冲量合力的冲量：221121tttttitIRdtFdtF dtI注意注意：力的冲量是矢量，计算冲量要考虑方向性。：力的冲量是矢量，计算冲量要考虑方向性。冲量是过程量。冲量是过程量。 一质点的动量定理一质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( ()d mvFdtdI2121ttmvmvF dtI微分形式微

5、分形式：积分形式积分形式：即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.即在某一时间间隔内即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量点的力在此段时间内的冲量.1t2t1v2v在在 内内, 速度由速度由 , 有有投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2121txxxxtmvmvIF dt2121tyyyytmvmvIF dt2121tzzzztmvmvIF dt质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量,若，则常量.0F0 xFvmxmv。或 0)( 0)(

6、; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二质点系的动量定理二质点系的动量定理()eid PFdt( )eiF( ) iiF外力外力: , 内力内力: ( )( )d()ddeii iiimvFtFt质点质点:( )( )d()ddeii iiimvFtFt 质点系质点系:1.质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式:( )( )dddeeiipFtI 即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和的矢量和; ;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和系的外力的矢量和. .)(d

7、dexxFtp)(ddeyyFtp)(ddezzFtp动量定理微分形式的投影式动量定理微分形式的投影式( )ddeipFt 或或2.质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式即在某一时间间隔内即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时间质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和内作用于质点系外力冲量的矢量和. 动量定理积分形式的投影式动量定理积分形式的投影式)(12exxxIpp)(12eyyyIpp)(12ezzzIpp( )211neiippI1t2t1p2p在在 内内, 动量动量 有有3 3质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律若若 = 0, 则则 = 恒

8、矢量恒矢量pxp若若 , 则则 = 恒量恒量0)(exxFtpdd( )ddeipFt 小兔子向前走时，船会怎么样？ 动量守恒定律 利用动量守恒原理，火箭的运动 例例 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。0)(axmvvM解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exFxP 水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrxrvravvvv设大三角块速度 ，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三

9、角块运动分析运动分析， mmMSSmmMvvrxrx例题 小车重P1= 2kN, 车上有一人，重P2=0.7kN,车与人以共同速度V0在光滑直线轨道上匀速行驶.如人以相对于车的水平速度u向左方跳出,如图示。求小车增加的速度。 uV0 解解: 取小车、取小车、 和人组成的系统为研究对象，和人组成的系统为研究对象， 画出受力图。画出受力图。N1N2P1uV0P2即：Px = Px0 0 xy因为0eixF所以 Px = c (恒量)根据质点系的动量定理：Px = Px0 N1N2P1uV0P20212211x0)(P vmmvmvmvmxxixixxixivmvmvm2211xP 根据质点系动量守

10、恒定律：Px = Px0 得，得，021)(vmm )( 1211uvmvm解得：21201mmumvvsmPPuPmmumvvv/52. 0 212212010 xy)( 1211uvmvmV1例题例题 重为G3的直角三棱体置于光滑地面上， 其一倾角为；重量分别为G1、G2的物块A、B，用一跨过滑轮C的绳相接，放在三棱体的斜面上。不计滑轮、绳的质量及绳的伸长，且开始时都处于静止。试求当物块B相对于三棱体以速度u运动时，三棱体的速度。ABuCABuC解解: 取小车取小车, 和人组成的系统为研究对象，和人组成的系统为研究对象， 画出受力图。画出受力图。NG1G2即：Px = Px0=0 0 xy

11、因为0eixF所以 Px = c (恒量)根据质点系的动量定理：G3vxxixivmvmvm2211xP vmvumvum321 )sin()cos( 0 解得:)GG)/(GsinGcos(32121Guv将 代入到质点系动量定理，得CMP)()(ddddeiCFvmttP若质点系质量不变，则 或)(eiCFam)(eiCFrm 1. 投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzmmaFymmaFxMma 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMmaFdtdvmma)(eixCiiCixiFxmam )(eiyCiiCiyiFym

12、am )(eizCiiCiziFzmam 2. 刚体系统：刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有 或)(eiCiiFam)(eiCiiFrm )(eiCFam)(eiCFrm C思考题：思考题：图示矩形板开始静止，手受一微小干扰倒地，图示矩形板开始静止，手受一微小干扰倒地，问：倒地过程，矩形板作何运动？其质心作何运动？问：倒地过程，矩形板作何运动？其质心作何运动？例题水平面上放一均质三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均质三棱柱 B 两三棱柱的横截面都是直角三角形,且质量分别为M 和m,设各接触面都是光滑的,求当三棱柱B 从图示位置沿 A 由静止滑下至水平面时,三棱柱A 所移动的距离s.AB

13、ba 主矢的水平分量为零,水平方向的动量守恒.Px = Pxo = 0 设系统初终位置时质心的x 坐标分别为xc0 和xc1则有 xco = xc1 = cmMMxmxxMmc000mMsxMsbaxmxMmc001mMbams解:取系统为研究对象.ABba解解: 取整个电动机作为质点系研究，分析受力， 受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例例 P247/253 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动

14、时，基础作用在电动机底座上的约束反力。teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmgmNtemNyxsin ,cos222122可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e2321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP例例 P256 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m

15、，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。 0)(exF 0iixm船的位移x，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2/)sin(sin2113211211lxPlxPxP)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值，表明计算结果为

16、负值，表明船的位移水平向左。船的位移水平向左。0 iixP 0iixm例题例题 小车重小车重P1= 2kN， 车上有一人，重车上有一人，重P2=0.7kN，开，开始时车与人均处于静止。如人在车上由始时车与人均处于静止。如人在车上由A朝朝B走过距离走过距离AB=L，求小车水平移动的距离，求小车水平移动的距离b。 （不计车与轨道之（不计车与轨道之间的摩擦）间的摩擦）ABAB解解: 取小车，取小车， 和人组成的系统为研究对象，画出受力图。和人组成的系统为研究对象，画出受力图。N1N2P1P2所以Xc = c (恒量)，即：质心在该轴上的位置不变。开始时系统静止，即：0dtdxvccx0 xy因为则a

17、cx =0, vcx = c (恒量)0eixF根据质心运动守恒定律：Xc = c (恒量)AB0 xyP1CX1XC0X2y2122110mmxmxmXC212211mmxmxmxC0ABxCX/CbLP1b212211212211)()(mmlbxmbxmmmxmxmXCbxx11blxx22X/1X/22122110mmxmxmXC212211212211)()(mmlbxmbxmmmxmxmXC因为因为Xc = c (恒量恒量)，所以，所以X/c= Xc0212211mmxmxm即：212211)()(mmlbxmbxm将上式化简得：将上式化简得：mPPlPmmlmb52. 02122

18、12O CA CanCaGFOxFOy例：杆重例：杆重G，长为，长为L，已知图示瞬时的，已知图示瞬时的 、 ，求求该瞬时该瞬时O点的约束反力。点的约束反力。解：解： 求反力，必用质心运动定理求反力，必用质心运动定理 FaMCxCxFMa 2La2nC 2LaC Ox2F2LgG g2GLF2Ox 解：解： 求反力，必用质心运动定理求反力，必用质心运动定理 FaMCyCyFMa 2La2nC 2LaC 2LgG g2GLGFOy GFOy O CA CanCaGFOxFOy例：杆重例：杆重G，长为，长为L，已知图示瞬时的，已知图示瞬时的 、 ，求求该瞬时该瞬时O点的约束反力。点的约束反力。 C CanCaGFOxFOy例：盘重例：盘重G，半径为，半径为R，已知图示瞬时的，已知图示瞬时的 、 、 ，求该瞬时求该瞬时O点的约束反力。点的约束反力。解：解： 求反力，必用质心运动定理求反力，必用质心运动定理 FaMCxCxFMa Ra2nC RaC sinGFRgGOx2 g2GLF2Ox 例题例题 均质杆均质杆AD 和