新版测试技术2

1、信号分析与实验测试技术信号分析与实验测试技术教材：教材：机械工程测试 信息 信号分析(第二版) 卢文祥、杜润生编，华中科技大学出版社参考教材：参考教材： 1）信号分析与处理， 赵光宙、舒勤编，机械工业出版社 2）工程测试技术基础， 曾光奇、胡均安编，华中科技大学出版社 3）工程测试与信息处理，卢文祥、杜润生编，华中 4）基于MATLAB 6.x的系统分析与设计- 小波分析， 胡昌华、李国华、刘涛、周志杰编，西安电子科技大学出版社 第一章第一章 绪绪 论论1.1 测试、信息、信号测试、信息、信号 测试是人们认识客观事物的方法，测试过程是从客观事物中摄取有关信息的认识过程。测试包括测量和试验。 信

2、息一般可理解为消息、情报、或知识。信息本身不是物质，不具有能量。但信息的传输却依靠能量。 一般说，传输信息的载体称为信号，信息蕴含于信号之中。信号具有能量，它描述了物理量的变化过程。 例如：古代烽火，信号 光，信息 “敌人来进攻了” 无线电通讯，信号 电磁波，信息 新闻、音乐等 噪声是时间和空间的函数，机械零件的表面粗糙度是二元空间变量。力、位移、加速度等是非电信号，电压、电流、电荷、磁通等是电信号。 彩色照片是二维信号，彩色电视信号呢？ 2.1 测试信号分析的基本内容 测试信号中携带着人们所需要的信息，也常常含有人们不感兴趣的其他信息干扰噪声，对测试信号的分析处理，就是对信号的加工变换，其目

3、的是改变信号的形式，便于分析和识别。 信号分析的经典方法有时域分析法和频域分析法。2.2 测试与信号分析技术的发展概况 模拟信号 数字信号 信号处理芯片DSP2.3 测试与信号分析技术在机械工业发展中的作用非平稳随机信号非各态历经信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号一般非周期信号准周期信号非周期信号复杂周期信号简谐信号周期信号确定性信号动态信号动态信号按其变化规律可作如下分类：第二章第二章 信号分析的基础信号分析的基础2.1 信号的分类信号的分类2.1.1 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号 确定性信号可以用数学关系式、图或表来描述的信号。反之，不能用数学关系式、图或表明确描

4、述的信号，称为非确定性信号或随机信号。)()(nTtxtx周期信号：周期信号：( )cos()x tAt如简谐信号： 非谐波的周期信号是复杂复杂周期信号周期信号，如周期方波、周期三角波、周期锯齿波等等。 非周期信号非周期信号往往具有瞬变性，如：不考虑阻尼是什么信号？ 准周期信号准周期信号是指周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成而成的，但各周期信号的频率间不是公倍关系，因此合成信号不满足周期条件。如：tttx002sinsin)(0.600.620.640.660.680.700.660.680.700.720.740.76y(mm)x(mm)0.620.640.660.680.680

5、.700.720.74y(nT)x(nT)204060801001200.000.010.020.031-失 稳2-加一 个 向 下 的 恒 力21Frequency (Hz)Amplitude(mm) 非确定性信号非确定性信号所描述的物理现象是一种随机过程,其幅值、频率和相位变化是不可预知的。例如，汽车行驶时所产生的振动，飞机在大气流中产生的振动，环境噪声等。2.1.2 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 为从能量的观点来研究信号，假设信号是加在1W电阻上的电流，则在时间间隔内电阻所消耗的能量为： 其平均功率为： TTTdttxW)(lim2TTTdttxTP)(21lim2 当区间（t1

6、，t2）为（ ）时，能量为有限值的信号称为能量信号，能量信号，如矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数等信号。能量信号的平均功率为零。 周期信号、随机信号等，在区间（ ）内能量不是有限值，而平均功率P为不等于零的有限值，这种信号称为功率信号功率信号。 有些信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号又是功率信号。,其它010)(1tAtfttAtf)cos()(02其它01)(4/13tttf0121PAW2)(coslim220222APdttAWTTT033PW2.1.3 时限与频限信号时限与频限信号 时域有限信号时域有限信号是在有限时间区间（ t1，t2 ）内定义，而在区间外恒等

7、于零。例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数衰减信号、随机过程等，则称为时域无限信号。 频域有限信号频域有限信号是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（ f1，f2 ），在带宽外恒等于零。例如，正弦信号、sinc(t)函数、限带白噪声等为时域无限、频域有限信号；d 函数、白噪声、理想采样信号等，则为频域无限信号。 时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。而一个在频域上具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。显然，一个信号不能够在时域和频域上都是有限的。dtetyYtj)()(2.1.4 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 在所讨论的时间间隔内，对于任意

8、时间值，除若干个第一类间断点外，都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号连续时间信号或模拟信号。a) 含第一类间断点的信号 b) 锯齿波 c) 矩形脉冲 截断信号图2-2 连续时间信号 连续信号只强调时间坐标的连续，并不强调函数幅值取值的连续，因此，一个时间坐标连续、幅值经过量化（幅值经过近似处理只取有限个离散值）的信号仍然是连续信号，而时间和幅值均为连续取值的信号称为模拟信号。 离散时间信号离散时间信号又称为时域离散信号或时间序列，是在所讨论的时间区间内以不连续的瞬时给出的函数值。均匀分布的离散信号称为时间序列。x(t)n 时间离散、幅值连续的信号称为采样信号；时间离散而幅值量化时，称

9、为数字信号。数字信号是离散信号，而离散信号不一定是数字信号。周期序列：周期序列： x(n)=x(n+N) N是满足关系式的最小正整数。例：求 x(n)=cos(3pn/7-p/8)之周期。解：3147/3220pppN 无论正弦序列是否呈周期性，都称0 为正弦序列的频率。指数序列正弦序列2.1.5 物理可实现信号物理可实现信号 满足条件：t 0和a=128) ; /* 判断A/D转换是否结束 */ /* 第8位为1，表示正在转换中*/ /* 第8位为0，表示转换结束 */ h=inportb(BASE+1); /* 读A/D板的高4位 */ l=inportb(BASE+2); /* 读A/D

10、板的低8位 */ sample_value=(float)(h*256+l)*10/4096-5; /* 转换成电压值 */ return(sample_value); /* 返回采样数据 */ 数据采集：数据采集：#define BASE 0 x310 /* AD board address */ outportb(BASE,1); /* 选择通道号 016 */ for (j=0;j150;j+) wait=wait; /* 等待通道转换结束 */ outportb(BASE+1,0); /* 启动A/D转换 */ x1=sample(); /* 得到采集结果 */ delay(5); /

11、* 延迟一段时间 */ outportb(BASE+1,0); /* 再次启动A/D转换 */ x2=sample(); /* 得到采集结果 */ outportb(BASE,3); /* 选择另一个通道4 */ for (j=0;j150;j+) wait=wait; /* 等待通道转换结束 */ outportb(BASE+1,0); /* 启动A/D转换 */ x3=sample(); /* 得到采集结果 */6-3 快速傅里叶变换 DFT的运算工作量大，例如，采样点N=1000，DFT约需运算200万次。 1965年，美国的库利-图基首先提出了FFT算法，被认为是信号分析技术的划时代的

12、进步。例如，同样是采样点N=1000，FFT仅需运算约1.5万次。0.000.020.040.060.08-1.0-0.50.00.51.0 N=160 N=1280501001502002503000.00.20.40.60.81.0N=128N=160Frequency (Hz)采样频率采样频率 时域分析时采样频率越高，信号的复原性越好，可取采样频率为信号最高频率的10倍。但由于有些信号分析设备的采样点数有一定的限制，采样频率高，所采用的信号记录长度就短，会影响信号的完整性。 进行频域分析时，为了避免混叠，采样频率最小必须大于或等于信号中最高频率的2倍，即（采样定理）。采用抗混频滤波器可以

13、降低采样频率。采样点数采样点数 时域分析时，采样点数越多，越接近原始信号。进行频域分析时，为了FFT算法的方便，采样点数一般取2的幂数，如256、512、1024等。许多数字信号处理设备采样点数为1024点。信号的记录长度信号的记录长度 当采样频率和采样点数N确定之后，分析信号的记录长度（时间）就确定了。每一段样本的长度为 。 )/1 (sfNT 0501001502002503000.00.20.40.60.81.0 x=sin(t+1)+sin(1.2t+2)FFT中的信号分辨率：例：例：已知某信号的最高频率为2kHz，其谱分析时要求最小频率分辨间隔为1Hz，试确定：1）最小记录长度 ；2

14、）最大采样周期T；3）最小样本数N。 minT解：1） 2） 3） sTs1122/2minpppsTm331025. 01022ppp3310412102222ppsmN频率细化分析方法频率细化分析方法)()(00XetxtjFFT运算中的窗口函数运算中的窗口函数对窗函数的基本要求：窗谱的主瓣要窄且高，以提高分辨率；旁瓣要小，正负交替接近相等，以减小泄漏或负谱现象。1) 矩形窗 主瓣比较集中，旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 2） 三角窗（Fejer窗） 与矩形窗相比，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。 1| |(1),| |( )0,

15、| |ttTw tTTtT3）汉宁窗（Hanning窗） 汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。 TtTtTtTtw|, 0|),cos2121(1)(psin( )1 sin()sin()2TWTTTTTpppp4）海明窗（Hamming窗） 海明窗和汉宁窗都是余弦窗，海明窗加权的系数能使旁瓣更小，但旁瓣衰减速度比汉宁窗慢，海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成。 1(0.540.46cos),| |( )0,| |ttTw tTTtTpsin( )1.08sin()sin()0.46TWTTTTTpppp5）高斯窗（Hamming窗） 高斯窗是

16、一种指数窗，常数决定了函数曲线衰减的快慢。高斯窗谱的主瓣较宽，无负旁瓣，第一旁瓣衰减达-55dB,常用来截断一些非周期信号，如指数衰减函数等。21,| |( )0,| |tetTw tTtT第三章 信息论基础知识3-1 信息和信息技术一、信息的定义：1）信息就是信息，不是物质，也不是能量。2）信息就是人和外界互相作用的过程中互相交换的内容的名称。3）能够用来消除不定性的东西。4）信息是事物之间的差异，而不是事物本身。 二、信息的作用 信息的基本性质：1）可以识别2）可以转换3）可以存贮4）可以传输 信息就是消息？信息就是情报？三、信息科学 信息科学研究如何认识信息和利用信息。是一门研究信息现象

17、及其规律的科学，内容包括：1）信息本身的有关规律；2）有关利用信息方面的规律。 信息科学的方法论，包括信息分析综合法、行为功能模拟法和系统整体优化法。 信息科学的主要研究目标是扩展人的信息功能。四、信息技术 凡是可以扩展人的信息功能的技术，都是信息技术。主体内容包括传感技术、通信技术和计算机技术。 3-2 信息论和广义通信系统 信息论是一门应用数理统计方法研究信息传输和信息处理的新兴学科。信息论的三种理解：狭义信息论、一般信息论和广义信息论。 广义通信系统是指所有信息流通的系统。3-3 信息的定量描述-信源模型与信息熵一、信源 对于工程物理系统，信源就是所研究的客观事物，或称为物理过程。信源的

18、输出是随机性的，如果事先已经知道信源的输出，那么就无信息可言。信源的输出常用随机变量或随机矢量来描述，或者说用概率空间来描述信源。 从概率论可知，随机变量可取值于某一离散集合，也可取值于某一连续区间，相应的信源称为离散信源及连续信源离散信源及连续信源。二、离散信源模型)(,),(),(,2121NNxPxPxPxxxPX 为信源的可能输出状态； 为各个状态出现的可能性；各个状态的出现往往是不相容的。,21xx),(),(21xPxP抛硬币的信源模型：,5 . 05 . 0,21xxPX1)(21iixP三、自信息 某事件发生所含有的信息量，应该是该事件发生的先验概率的函数： )()(iixPf

19、xI)(ixI)(ixP1 应满足条件：1） 是先验概率 的单调递减函数。2）当 时， 。3) 当 时， 。4) 两个独立事件的联合信息量，应等于它们各自信息量之和。)(ixI)(ixP1)(ixP0)(ixI)(ixPf0)(ixP)(ixI)(log)(1log)(iiixPxPxI 自信息采用的测度单位取决于所取对数之底。以2为底，则信息量单位为比特；以e为底，则信息量单位为奈特；以10为底，则为哈特。一般都采用以2为底的对数。bitxPxI322. 22 . 0log)(log)(11例题：例题：用超声波探伤器对100个发动机叶片进行裂纹检查，根据先验记载，80%没有裂纹，20%有裂纹

20、。试列出该系统的信源空间。在检测一个零件后，仪器显示出“没有裂纹”或“有裂纹”，两种情况下各获信息量多少？8 . 02 . 0,21xxPX信源模型：bitxPxI322. 08 . 0log)(log)(22四、信息熵 Shannon定义自信息的数学期望为信息熵，即信源的平均信息量：/)(log)()(log)(1事件bitxPxPxPEXHiNiii信息熵表征了信源整体的统计特性，是总体的平均不确定性的量度。信息熵表征了信源整体的统计特性，是总体的平均不确定性的量度。,01. 099. 0)(,21xxxPXi5 . 05 . 0)(,21yyyPYi/08. 001. 0log01. 0

21、99. 0log99. 0)(事件bitXH/15 . 0log5 . 05 . 0log5 . 0)(事件bitYH例题：例题：即将同时举行甲-乙、丙-丁两场足球赛，根据多次交锋记载，甲-乙间胜球比为8：2；丙-丁间胜球比为5：5。试比较两场球赛的不确定性。你将选看哪一场球赛？为什么？信源模型：2 . 08 . 0,乙胜甲胜PX5 . 05 . 0,丁胜丙胜PY7219. 04644. 02575. 02 . 0log2 . 08 . 0log8 . 0)(bitXH15 . 0log5 . 05 . 0log5 . 0)(bitYH五、信息熵的基本性质1）对称性有：,2/16/13/1)(

22、,321xxxxPXi3/12/16/1)(,321yyyyPYi)()(YHXH2）确定性若则 0)()(, 1)(321xPxPxP00log01log1 )(XH3）非负性（不适用于连续信源的熵）4）可加性 独立信源X和Y的联合信源的熵等于它们各自的熵之和。1)(, 1)(),()()(iiyPxPYHXHXYH 因为有可加性，所以熵函数的形式是唯一的，不可能有其他形式存在。 5）极值性 信源各个状态为等概率分布时，熵值最大，并且等于信源输出符号数。nnnnHxPxPxPHnlog/1 ,/1 ,/1 )(,),(),(213-4 连续信源及最大熵定理连续信源及最大熵定理一、连续信源)(

23、)(),()(,xpRxpbaxpX或badxxp1)(或Rdxxp1)(如语音信号、电视信号、位移、温度等。任一小区间的概率为：xxpPii)(iixiiixnnxxpxxpxxpXH)(loglim)(log)(lim)(lim00 xdxxpxpxbaloglim)(log)(0dxxpxpXhba)(log)()(定义连续信源的熵为：无穷大 这不是实际信源的绝对熵，而是具有相对性，有时称为相对熵或差熵。二、最大熵定理1）峰值功率受限条件下信源的最大值)log(1log1)(abdxababXhba其他, 0;,1)(bxaabxp则2）平均功率受限条件下的信源的最大熵 若一个信源输出信

24、号的平均功率有限，则其输出信号幅度的概率密度分布是高斯分布时，信源有最大熵。三、联合信源的熵： 联合信源的熵等于各个基本信源的熵之和。1）均匀分布N维连续信源的熵2）高斯分布N维连续信源的熵 高斯分布连续信源的熵决定于方差 ，其值越大，则信源的熵值越大。3-5 信息与熵的守恒定律信息与熵的守恒定律)(log)(1iiNiabXh22log21)(peXh2constIH由此，信息又称为负熵。例题：例题：某机器的故障率为6%，其原因分为：机械方面的占32%，电气方面的占12%，材料方面的占56%，试考查“是机械故障”这一消息的信息量以及对于预先知道有故障的人得到“是机械故障”这一消息的信息量之差

25、别。信源模型：56. 006. 012. 006. 032. 006. 094. 0)(,4321xxxxxPXi56. 012. 032. 00 . 0)(,4321yyyyyPYi703. 5)32. 006. 0log()(log)(22xPxI644. 1)32. 0log()(log)(22yPyI习题：1）某化工设备，当温度传感器指示的温度变化小于40C时，则系统以60%的概率处于正常状态，当压力传感器指示的压力大于15Pa时，则系统可以保证处于正常状态，问哪一种传感器的信号中含有较多的信息量？2）一帧黑白电视图像由500行和600列的像点所组成，有10种不同的黑白亮度，如各种不同

26、组合的图像出现的概率相等，问出现一种图像时其熵值多大？第四章第四章 信息转换与传输信息转换与传输4-1 信息转换一、信息探测工程与智能传感器皮肤-温度疼痛-伤病如温度计、风向标、指南针等如雷达系统、声纳系统及遥感系统等传感技术的发展：传感技术的发展：1）扩展谱域 视觉和光传感器 听觉和声压传感器 触觉和温度、压力传感器 嗅觉传感器2）智能化 动态测量，如火箭发射、爆破、地震等 远距离、非接触测量，如空间探测、深海、火山、气象等。 特殊环境下测量，超高超低压、超高超低温、放射性腐蚀性环境 微观分析，扫描电镜、X射线衍射仪、光谱仪等视觉器官：0.380.78m听觉器官：2020kHz二、工程中的新

27、型传感器1. 核辐射检测2. 超声波检测3. 声发射检测4. 光纤传感器5. 固态图像传感器三、测试系统的传输特性三、测试系统的传输特性1. 典型测试系统的频率响应典型测试系统的频率响应1）零阶系统（放大镜的放大倍数、弹簧秤的弹簧刚度等） 系统的输入和输出都是不随时间而变化的常量，即：xbya00比值 称为系统的灵敏度，表示了测试装置的传输特性。零阶系统又称为即时系统或无记忆系统，是典型的静态测量装置。2）一阶系统 (热电测温、低通滤波、忽略质量的弹簧阻尼系统等) 系统的输出输入关系可由一阶线性常微分方程描述，即系数比 称为时间常数或动态响应时间。00/abS )()()(001txbtyad

28、ttdya01/aa令 ，则系统方程归一化为：系统的相频、幅频特性为： 1/00abS)()()(txtydttdy2)(11| )(|)( HA)arctan()(对于测量装置而言，时间常数值越小，则装置的响应越快。一阶测试系统的频率响应707. 03）二阶系统（千分表、压电式加速度计、电阻应变式测力仪） 系统可等效为由弹簧、阻尼、质量所组成的二阶系统：其幅频和相频特性如下：)()()()(001222txbtyadttdyadttyda2222)(4)(1 1| )(|)(nnHA2)/(1)/(2arctan)(nn其中：20/aan2012/aaa二阶测试系统 的频率响应例题：1）已知

29、一阶测量系统，其频率响应函数为： 或：试分析当测定信号x(t)=sint+sin3t时，有无波形失真现象，并绘出输入输出波形。解：11)(jH211| )(|Harctan)()()()(HXY45) 1 (;707. 0| ) 1 (|1H6 .71)3(;316. 0| )3(|3H)25. 13sin(316. 0)4/sin(707. 0)(tttyp2、传感器的标定3、传感器选用原则1）灵敏度 2）响应特性3）线性 4）稳定性5）精确度 6）测量方式4-2、信息传输一、Shannon信道容量关系式1、广义信道 信道是载荷着信息的信号所通过的通道，一般可理解为传输信息的媒质或途径。2、

30、传输信息的能量 信息传输需要借助物质和能量。信息的传输量不仅取决于注入能量的绝对值，还取决于该能量与周围环境干扰（背景噪声）的关系，这种干扰将引起信息传输的失真或信息熵的损失，如白天的星星、热闹场所打电话、长距离传输电压信号等。3、Shannon信道容量关系式 信道最大的信息传输率称为信道容量，或称信息传输速度，单位是bit/s，它是表征信道传输信息能力大小的一个统计参量。 Shannon信道容量关系式表示为：nstPPFC1logF为信道宽度；Ps为输入信号的平均功率；Pn为引入信道的干扰噪声的平均功率。)()(nHyHC22log)(yeyHp22log)(nenHp22log)(xexH

31、p222nxy)()(nHyHC22221log21log21nxnynsPP1log21二、信息-能量传输的最佳耦合条件三、三、 信道频率特性与波形失真信道频率特性与波形失真 信号通过系统产生失真现象的基本因素是频率失真、幅值失真和相位失真，对于线性系统，只存在幅值失真和相位失真。)()()(XHY)(| )(|)(eHH理想情况下不发生失真的传输条件是：系统的幅-频特性为常数，相-频特性为线性，即或：其中， 、 均为常数。显然，这是一种不可能实现的系统。四、信道频率特性与信息熵损失 当|H()|1时，系统输出的信息熵与输入的信息熵相等。 )()(00txAty|)|(| )(|0cAH|)

32、|()(0c0A0adHXhYha02| )(|log21)()(五、信噪比最大的信道0)()(tjeXH0222| )(| )(| )(|)(tjeNXXH波形失真最小、信噪比最大的信道：当噪声很小时，H()以几乎不变的平坦特性为最好；当噪声大时，在噪声频谱大的地方，|H()|必须减小；如果是“白”噪声，对于频率为一定的功率谱，|H()|约等于|X()|。4-3 信息传输过程中的干扰噪声1. 噪声源 系统外干扰噪声，系统内干扰噪声2、噪声耦合方式二、噪声模型 及其传输特性1. 噪声模型2、白噪声通过线性系统习题：1）已知一阶测量系统，其频率响应函数为： 或：试分析当测定信号x(t)=sint

33、+sin3t时，有无波形失真现象，并绘出输入输出波形。11)(jH211| )(|Harctan)(2）已知一惯性式速度计的动态参数为：固有频率 ，阻尼率 ，速度的幅频和相频特性分别为：sradn/152 p7 . 0;)/(4)/(1 )/(| )(|22222nnnH2)/(1)/(2arctan)(nn试求当用来测定位移时间历程 时，速度计的输出信号，并在幅频、相频图上表示，同时绘出速度计的幅频与相频曲线。式中：tAtAtx2211sinsin)(sradsrad/1002,/20221pp0.00.20.40.60.81.0-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8Time

34、 (s) 第十章第十章 信号的时频分析信号的时频分析10.1 短时傅里叶变换（STFT）某旋转机械在不平衡和脉冲激励下的时域响应040801201602002400.00.10.20.3频率 ( H z)工频分量某旋转机械不平衡和脉冲激励响应的傅里叶变换结果倍频分量脉冲响应结果？脉冲响应结果？040801201602002400.00.10.20.3频率 ( Hz)短时傅里叶变换结果矩形窗内信号的傅里叶变换结果0.00.20.40.60.81.0-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8Time (s) )()()(tgtxtxidtetgtxGtjR)()(),(被截断的信号：

35、STFT：thht中心：t dtt dttth22| )(| )(|宽度半径：t dtt dttth222| )(| )(| 傅里叶变换的谱分析有它的局限性，其本质是一种全局变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它们无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非稳态信号最根本和最关键的性质，因此这种变换只能适用于稳态信号的分析。 事实上，许多机械常常是在变速和变工况下运行的，例如各种车、船、飞机、起重设备、加工装置都是经常在开、停、升降速的过程中工作的。机器的非稳态信号包含着比稳态信号更丰富的信息，可以反映更多的系统特性。例如，旋转机械的转子过临界转速时的信号就充分体现了转子系统各方面的

36、特性，可以用来识别转子的裂纹故障、系统的临界转速及阻尼等。 对非稳态的时变信号进行分析的方法统称为时频分析法。时频分析法不是仅在时域或频域上对信号进行分析。它是将时域和频域组合成一体，通过时间轴和频率轴两个坐标组成的相平面（亦称时频相平面），得到整体信号在局部时域内的频率组成，或者看出整体信号各个频带在不同时间上的分布和排列情况，它的主要特点体现在对时间和频率的局部化上面。STFT和小波变换都是线性时频分析法。1） STFT窗函数的要求： 紧支集（即为有限长度）的或很快趋于零的函数。满足这个条件的时间局部化的“最优”窗函数是任一高斯函数。2） 短时傅里叶变换的的时间-频率分辨率p41ft理想的

37、时间分辨率：选择d(t)函数作为窗函数。理想的频率分辨率：选择不变窗(t)=1函数作为窗函数。 根据短时傅里叶变换的定义可以知道，如果要求有较高的时间分辨率，那么分析窗就应该尽量窄，也就是说，要将整个信号分解为更多时段的局部信号。相反，较高的频率分辨率要求滤波器的带宽尽可能窄，即所对应时域上的分析窗应尽量宽。这样时间分辨率与频率分辨率之间就产生了相互矛盾，在实际应用中，或者牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或者反过来牺牲频率分辨率来提高时间分辨率，短时傅里叶变换过程中要注意兼顾这两个方面。3） 短时功率谱 对短时傅里叶变换系数取平方，可得到信号的短时功率谱估计。它反映了信号在时频相平面上的

38、功率谱密度分布情况，从中可以看出信号的时变特征。 2)()(| ),(|),(ftSTFTftSTFxx10.2 小波变换 在信号的分解一节中我们已经知道，信号x可以用正交函数集来表示。傅里叶变换就是取谐波函数为正交函数集，然后求x在各个正交函数上的投影系数，这些系数表示相应频率的幅值，即幅值谱。 与傅里叶变换相类似，小波变换的基本思想也是去寻找或构造一族特定的正交函数，然后用这一族称为小波函数的特定函数去表示或逼近一个信号。同样，小波变换研究的也是信号x在各个小波函数上的投影系数。与傅里叶变换不同的是，小波函数的频率分辨率是可变的，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部

39、分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。这样的小波函数是否存在呢？回答是肯定的，科学家已经找到的这些函数又应该满足那些条件呢？ 即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。从而有效地从信号中提取时频信息。 小波变换不同于短时傅里叶变换，它可以通过伸缩和平移运算，对函数或信号进行多尺度细化分析。也就是说，小波函数的频率分辨率是可变的。 设函数 ( 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为 。当满足“容许性”条件时有如下关系： 满足容许条件的小波称为容许小波或基本小波或母小波（Mother Wavelet）。根据这个

40、容许性条件以及为平方可积函数，可以推断出基小波函数必然是个波动(振荡)且快速衰减的短小波形，不可能是周期函数，这就是被称为小波的原因。dCR| )(|2)()(2RLt )(2RL)( abtatba|1)(,小波函数序列：Rba ,；0aa称为伸缩因子，b称为平移因子。2221)(tetp22222)1 (21)()(tettdtdtp小波函数的例子小波函数的例子：设 0)( dtt满足条件：可取为小波母函数。墨西哥帽子222)(e(t)的频谱为：较大的a 分析出来的小波系数对应的是信号中频率较低部分，此时，小波变换的频率分辨率较高。 对于任意的函数 的连续小波变换为)()(2RLtfdta

41、bttfafbaWRbaf )(|,),(2/1,其逆变换为(也就是通过小波变换得到的系数来逼近或重构原函数) dadbabtbaWaCtffRR ),(11)(2 由上面的定义可见，连续小波 之作用与傅里叶变换中的函数 相类似。参数b与 都起着将“窗口”平移的作用，本质不同的是参数a与参数，后者的变化不改变“窗口”g(t)的形状和大小，而前者的变化不仅改变连续小波的频谱特征结构，而且也改变其“窗口”的大小与形状。 小波变换虽然有频率愈高(|a|愈小)其相应的时间(或空间)分辨率愈高(即 的宽度随|a|的减小而减小)的优点。但其在频率域上的分辨率却相应降低，这是小波的弱点，使它只能部分而不是完

42、全克服傅里叶变换的局限性。 )(,tbatjetg)( )(t)(2RL Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成 的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年SMallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析（MultiResolution Analysis）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，即 Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。 在实际运用中，尤其是在计算机上实现，

43、连续小波和连续小波变换必须加以离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的，这一点与以前习惯的时间离散化不同，应引起注意。 )(2RL多分辨分析多分辨分析 例：三层多分辨分析123311DDDADAS00.5f0.51.0f小波包分析小波包分析 例：三层小波包分析00.5f0.51.0f33333333DDDADDDADAADDDAADADAAAAAS小波分析的应用小波分析的应用 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。随着小波理论的日益成熟，小波分析的应用领域也变得越来越广泛。在大型机械的故障诊断方面，小波分析的应用主

44、要包括信噪分离、奇异信号检测、频带分析及数据压缩等方面。1）信噪分离 采用小波分析的方法，相当于同时采用多个滤波器，一并得到不同频段的信息，并同时保留了信息的时间特性。进行信噪分离时，应对所关心的信号所在的频带以及噪声所在的频带有个基本了解。根据噪声的特点，小波分析消噪主要采用两种处理方法。第一种是强制消噪处理方法。该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为零，即把各尺度或某几个尺度的部分全部滤掉，然后再对信号进行重构处理。这种方法比较简单，重构后的信号也比较平滑，但容易丢失原信号中有用的高频分量。第二种是门限消噪处理方法。该方法要根据经验或某种依据设定阈值（门限值），对信号小波分解中的最高频系

45、数用阈值处理，即大于阈值的部分保留，低于阈值的系数变为零。这种处理符合噪声在高频部分均匀密集的特点。这种阈值消噪处理方法在很多实际应用中取得了良好的效果。 信号的消噪过程具体可分三个步骤进行：第一步选择一个小波并确定小波的分解层次N，对信号进行小波分解；第二步分析信号的频率成分，将噪声成分所在的频道的小波变换系数置零，或者对第一层到第N 层的每一层高频系数，选择一个阈值进行软阈值或硬阈值量化处理；第三步利用处理过的小波变换系数进行信号的重构。-0.020.000.020.040.060.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.06-0.020.000.020.040.06

46、0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.06保留低频信号采样频率2720Hz左右工作频率70Hz左右2）奇异信号检测 奇异信号包含了更为丰富的故障信息。对这种信号的消噪，用传统的傅里叶变换分析，显得无能为力，因为傅里叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它只能确定一个函数奇异性的整体性质，而难以确定奇异点在空间的位置及分布情况。小波分析由于能同时在时频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以能在不同的分解层上有效地区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。 带噪声信号带通滤波信号小波变换后信号3）数据压缩 在大型机组的故障诊断系统中，大量的采样数据要记录下来

47、，并传送出去。而且，现代故障诊断系统越来越依赖于蕴涵丰富故障信息的故障暂态信号，这种故障暂态信号是一非平稳信号，记录这一非平稳信号需要较高的采样率，因而数据量大，因此寻求一种高压缩比的数据压缩方法，用于系统故障暂态数据的压缩和记录是非常必要的。 从信号的Mallat分解算法可以看出，信号序列每分解一级，离散逼近和细节系数各自均减半，但总数据量并未减少。小波压缩方法是将信号进行小波分解，大部分信号的能量主要集中在某几个频段上，其它频段的系数就可以被置为零。或者确定一个阈值，将绝对值小于阈值的小波系数变为零。然后将非零系数的位置及其数值记录下来，数据量就大大降低了。 例题：例题：某一给定的信号是由两个独立的满足指数方程的信号连接起来的，请利用小波分析来检测第二类间断点的准确位置。注意：在选择小波的过程中，正则性是一条很重要的规则，在这里选择的是db1小波，这种小波