第十三讲三重积分和线面积分

1、第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一）一、考试要求1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4、掌握计算两类曲线积分的方法。5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。7、了解散度与旋度的概念，并会计算。8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量

2、与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。二、内容提要1、 三重积分的概念 2、两类曲线积分 1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即 2) 可加性 2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 2) 可加性 注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系 (1) 是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。 (2) 3、两类曲面

3、积分 1）、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与曲面的侧面选择无关，即 ，其中为曲面的另一侧 2)可加性 , 其中 2）对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即 2) 可加性 ， 其中 3）、 两类曲面积分之间的联系 =其中为曲面在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。 4、场论初步 1）、方向导数 设三元函数在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为，则 2 ）梯度(gradu) 设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad 注：沿梯度方向的方向导数为 3）、 散度(

4、div) 设 , 则 div 4）、 旋度(rot) 设 , 则 rot 5）、 流量设有向量场，F沿定向曲面S的流通量为 =。5、重积分的应用* 1） 曲面的面积 ，S= 2） 质量 （其中为密度函数，下同） 3） 重心 ， 4） 转动惯量 5） 引力：空间立体对位于点处的单位质点引力 ，其中三、重要公式与结论1、三重积分的对称性质 1）对称性 若关于xoy(z=0)平面对称，而是中对应于的部分，则关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果. 2） 轮换对称性若为：，（或则 2、格林公式 设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则 其中L是D的边界曲线且取正向。 注

5、： P,Q及其一阶偏导数要求连续， L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。 3、高斯公式 设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，则 其中是闭域W的边界曲面的外侧。 注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续， 应取外侧。 4、斯托克斯公式 设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面的边界曲线，则 =其中曲线L的方向与曲面所取侧的法线方向满足右手法则。 5、平面曲线积分与路径无关的四个等价条件 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则 1) 2)

6、 3) L为任一简单分段光滑封闭曲线Û 4) 存在函数u(x,y)，(x,y)ÎD, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 且 6、第一类积分的对称性 （1）第一类曲线积分具有对称性：1） 设L关于x=0对称，则 L1是L的右半部分2） 设L关于y=0对称，则 L1是L的上半部分3） 轮换对称性：若x与y互换，L不变，则 （2）第一类曲面积分具有对称性：设关于x=0对称，则 1是的部分类似地有关于y=0,z=0的对称性情形轮换对称性：若x，y，z互换，不变，则四、典型题型与例题题型一、三重积分的计算例1、化为三次积分，其中W为及 所围成的闭区域 例2、计算 ，其中为三个坐标面

7、及平面所围成的闭区域. 例3*、计算, 其中W为平面曲线 绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。 例4 计算, 其中W是由圆柱面,旋转抛物面所围成的区域。 例5、计算 ，其中 W 是 与 所围的立体.例6、计算 ，其中W 是由 和 所围空间闭区域。 例7*、 设密度为1的立体由不等式表示，试求绕直线x=y=z的转动惯量.分析 点到直线的距离为 解 质点m对直线L的转动惯量为，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方所求转动惯量为=例8、 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求题型二、 对弧长的曲线积分的计算方法 重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线

8、、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！ 例9、计算 例10*、 设曲线G是球面与平面x+y+z=1的交线，试求积分. 解 例11、 计算例12、已知连续函数，求，其中为与的交线。题型三、对坐标的曲线积分的计算方法 例13、 计算 例14、计算其中L是以(1,0)为中心，半径为R(>0,R¹1)的正向圆周。 比较*（07-1）：设曲线过第二象限点M和第四象限N，是L上从M到N的一段弧，则下列积分小于0的是 B A ， B ， C ， D 例15、（04数1）计算其中L为正向圆周在第一象限的部分。 例16、 计算其中L为自点A(-1,0)

9、沿至B(2,3)的弧段。 例17、 (格林公式)计算I=其中:1) C为圆周 ,且取正向2) C为椭周 ,且取正向例18、 （逆问题) 已知曲线积分，其中是非负可导函数且, L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出及A. 例19*、(逆问题)设x>0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x>0)内任意闭曲线C有 1）求f(x); 2)计算 其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧 解 1）由题设，得 由 解得 2）因积分与路径无关， 选取沿路径 例20*、 已知，试确定使方程 成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件的特解.解 ， ，由 ，即 .令，则 ，即

10、对应齐次方程组的通解为 设特解为 ，即有 由 ，得 故 例21*、(空间曲线积分)计算空间曲线积分 其中L为与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去，曲线L是逆时针方向。 题型四、对面积的曲面积分的计算 例22例23 计算曲面积分，其中为球面：. 例24*、 设有曲面,它的面密度为,求它的质量.解 ,为在第一卦限部分，则 于是=,令 得 =注: 注意的取值! 题型五、对坐标的曲面积分的计算方法 例25、计算，其中为下半球面的上侧，a为大于0的常数。 例26、计算，其中是锥面被平面z=1和z=2所截出部分的外侧。 例27 计算，其中1) 是球面：外侧，2) 是不含原点在其内部的光滑闭曲:外侧，3)

11、 是含原点在其内部的光滑闭曲面: 外侧例28* 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ,都有 其中函数f(x)在(0,+¥)内具有连续的一阶导数，且求f(x).解 由题设和高斯公式得 ，其中为S围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧。由S的任意性，知 . 即，这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为由于 故必有，即C+1=0，从而C= -1. 因此有 例29、计算 , :被三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三角形上侧符合右手规则.题型六、场论初步例30 过曲面上点处的指向外侧的法向量为,求函数在点P0处沿方向的方向导数.解 F(x,y,z)= , 外法线方向余为又 例31* 确定常数，使在右半平面x>0上的向量为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).【分析】