第二章 信号分析及信道

1、( )()0, 1, 2,.,f tf tnT nt T 为为 的周期。的周期。非周期信号非周期信号：不具有重复性的信号。：不具有重复性的信号。( )f t2. 信号是否具有重复性：周期信号和非周期信号信号是否具有重复性：周期信号和非周期信号 周期信号周期信号：固定的时间间隔重复变化的信号。即，：固定的时间间隔重复变化的信号。即，/22/21lim( )TTTPft dtT2( )Eft dt ( )f t2|( )|f t可用信号的频谱函数来表示。频谱函可用信号的频谱函数来表示。频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位。在频域上分析

2、信号称为频域分析。和相位。在频域上分析信号称为频域分析。时间特性主要指信号随时间变化快慢、时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性。在时域上分析信号称为时域分析。幅度变化的特性。在时域上分析信号称为时域分析。 ( )f x1 ()()2f xf x（ 为基波角频率）0001( )cossin2nnnaf tantbnt02 /T/20/22( )cosTnTaf tntdtT/ 20/ 21( )2TTaft d tT/20/22( )sinTnTbf tntdtT.(t)的均值（直流分量）. (t)的第n次余弦波的振幅. (t)的第n次正弦波的振幅000cossincos()nnnn

3、antbntcnt2200arctannnnnnnbcabcaa其中:，0001( )cossin2nnnaf tantbnt根据：根据：001( )cos()2nnncf tcntcos2jxjxeex0( )jntnnf tF e001( )cos()2nnncf tcnt0/2/21( )(0, 1, 2, 3,.)TjntnTFf t edt nT 000*;=()22nnjjnnnnnnFcaccFeFeFF(复振幅)的共轭0( )jntnnf tF e000*;=()22nnjjnnnnnnFcaccFeFeFF(复振幅)的共轭注：（1）一般，Fn是一个复数，它与频率之间的关系图形

4、称为信号的幅度频谱幅度频谱：Fn确定周期信号(t)的第n次谐波分量的幅度。 （2）离散谱：离散谱：不连续，仅存在于 0 的整数倍处。把非周期信号看作T的周期信号。这样周期信号的频谱分析可以推广到非周期信号。 当周期T时，T(t)= (t), t -,+ ， 即：非周期信号(t):构造的周期信号T(t)：lim( )( )TTftf t当 ，有0( )()jntTnnftF et 0/20/212( );TjntnTTFf t edtTT0000/2/2221(1(2)TjntjntTjnTTTntjnTTnftftftededt eTt e令 满足狄利克雷（Dirichlet）条件 ，则可展开

5、傅里叶级数：( )Tft式中，（分量间隔） （2-8）（2-9）将（2-9）代入（2-8）中，得到0,Tdn 1( )lim( )( )2jtjtTTf tftf t edt ed 称（2-11）为傅里叶正变换，（2-12）为傅里叶反变换。两式称为的傅里叶变换对， 表示为：( )( )i tFf t edt（2-11）1( )( )2j tf tFed（2-12）令( )()f tF1( ) ( )( ) ( )Ff f tf tfF可简记为：那么，1( )lim( )( )2j tj tTTf tftf t edt ed( )( )i tFf t edt( )f t dt 1( )( )2j

6、 tf tFed正变换：反变换： 12( )( )aftbft12( )( )aFbF2()f( )F t()f at1(/ )|Faa()ft()F0()f tt0( )jtf t e( )nnd f tdt()( )nnjt f t( )tfd12( )( )()Rf t ftdt0( )j tFe0()F()( )njF( )nnd Fd1( )(0) ( )FFj *12( )( )FF12( )( )f t f t( )cos( )cf tt12( )*( )f tf t12( )( )FF( )f t121( )*( )2FF1 ()()2ccFFsgn( ) ( )jF常用信号的

7、傅里叶变换：矩形脉冲，指数函数，冲激脉冲，正负号函数，阶跃函数，复指数函数，常数，余弦函数，正弦函数，周期信号0( )00,0tttt(t)的表达式是什么？设 (t) 是周期为T的周期信号，把它展开成指数傅里叶级数，得到：0( )jntnnf tF e02,T0/2/21( )TjntnTFf t edtT式中，00 ( )jntjntnnnnf f tfF eF f e002()jnten 0( )2()nnff tFn （2-16）可见：周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率周期信号的傅里叶变换由一系列位于各谐波频率 n0上的冲激函数组成，各冲激函数的强度为上的冲激函数组成，各冲激函数

8、的强度为 2Fn 。小结：引入冲激函数之后，对周期信号也能进行傅里叶变换，从而对周期信号和非周期信号可以统一处理，这给信号的频域分析带来了很大的方便。1212( )*( )( )()f tf tff td1221( )*( )( )*( )f tf tf tf t1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tftf tf tftf t121212( )*( )( )*( )( )*( )d f tf tf tf tf tf tdt1212( )*( )( )( )f tf t

9、FF12121( )( )( )*( )2f t f tFF( )( ) ()Rf t f tdt 功率信号的自相关函数：/2/21( )lim( ) ()TTTRf t f tdtT 自相关函数反映了一个信号与其延迟自相关函数反映了一个信号与其延迟 秒后的信号之间秒后的信号之间相关的程度。相关的程度。当当 =0，能量信号的自相关函数，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量；等于信号的能量； 而功率信号的自相关函数而功率信号的自相关函数R(0),等于信号的平均功率。等于信号的平均功率。1212( )( )()Rf t f tdt /21212/21( )lim( )()TTTRf t f

10、tdtT 互相关函数反映了一个信号与另一个延迟 秒后的信号间相关的程度。互相关函数和两个信号的前后次序有关，即有2112( )()RR1212( )( )()Rf t f tdt 2121( )( )()Rf t f tdt令t1=t+，得21112112( )( )()()Rf tf tdtR即：2112( )()RR证明：2( )Eft dt221( )( )( )21( )( )21( )()21|( )|2jtjtEft dtf tFeddtFf t edt dFFdFd21|( )|2EFd( )fE2( ) |( )|fEF1( )2fEEd 能量信号能量信号(t) 的自相关函数和

11、能量谱密度是一对傅的自相关函数和能量谱密度是一对傅里叶变换里叶变换，即( )( )ffRE( )( ) ()Rf t f tdt ( ) () ( )()()jjjF RRededf tdtf t f tdtf ted1111*2( )( )()()( )()()()j tj tj tj tj tf tdtf t edf t eedf t edf t etF jF jFjFdtj令t1=t+，则 =t1-t ，d =d t1证明：/22/21lim( )TTTPft dtT2/22/211|( )|lim( )lim2TTTTTFPft dtdTT( )TF是 的截短函数 的频谱函数( )f

12、t( )Tf t( )fP( )( )ffRP2|( )|( )limfTFPT1( )2fPPd功率信号功率信号 (t) 的自相关函数和功率谱密度是的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换一对傅里叶变换，即随机过程有两个基本属性：随机过程有两个基本属性：(t)是时间是时间t的函数；的函数；（2） 在任意时刻在任意时刻t1上，观察到的全体样本却是不确定的，上，观察到的全体样本却是不确定的，是一个随机变量。是一个随机变量。12( ) ( ),( ),( ),( )iNtn t n tn tnt12( ) ( ), ( ), ()Mtttt1E ( )( , )txf x t dxE ( )( )

13、ta t如果t2t1,并令t2=t1+，则 是t2与 t1之间的时间间隔，则相关函数12可表示为11+ 。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及时间间隔 ，即：相关函数是 t1和 的函数。10/2(1)2cos(2)|(0) 2cos(2)|(/ 2) 2cos(2)|1tEEtPP 在t=1时， 在t1=0,t2=1时， 12120,1220/2(0,1)2cos(2) 2cos(2)|2cos2cos(2)(0) 4cos|(/ 2) 4cos|2ttREttEPP 解：/2/21(1)lim( ) ( )TTTax t dtEtT/2/21(2)( )lim( ) ()( )TTTRx t

14、 x tdtRT（2-68） 其中其中: )2)(exp(21)(22xxf均值，均值， 2方差方差xf(x)1)(dxxf21)(dxxf21)(dxxf,12)2exp(21)(2xxf正态分布函数F(x)：xdzzxF)2)(exp(21)(22Q(x)称为概率积分函数：21( )exp()22xzQ xdzdzexerfxz022)(dzexerfxerfcxz22)(1)(21( )xerfc xexx时：xxerfc222)(x时：122)(xxerf11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa当当有线信道狭义信道（具体媒质的不同）无线信道调制信道广义信

15、道（功能不同）编码信道（1）调制信道）调制信道 模拟信道的质量用信号在传输过程中发生的模拟信道的质量用信号在传输过程中发生的失真失真及及输出信噪比输出信噪比来衡量。来衡量。 数字信道的输入和输出均为比特流，其特性用数字信道的输入和输出均为比特流，其特性用误码率误码率衡量衡量。调制信道传输的是模拟信号编码信道传输的是数字信号收、发转换器：放大，频率变换，电电磁波的转换。 图2.6调制信道与编码信道（2）编码信道）编码信道R()0 tn20P()20n物理意义：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的，只有当=0时例外。R()0P()20nf0-f0-1/2f01/2f0-fcfcff0f

16、Ps(f)s(t)频率近似为fc缓慢变化的包络a(t)ffc( )a t( ) t( )( )cos( )( )0cta ttta t（2-78） cos()sincos( )sin()( )ccttttttt cossinccsstttttttt为同相分量为正交分量 cos()sin()ccscttttt将式 （2-78）展开，得到：2. 用同相分量和正交分量表示( )( )cos( )cta ttt( )cos()cs tAt( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt )()(21exp202222AzIAzzzf0z包络的概率密度函数为：22( )cos( ) sin(

17、 )csz tAn tAn tsin( )( )arctancos( )scAn ttAn t式中：式中： CC信道的容量信道的容量 S S信号的平均功率信号的平均功率(W)(W)； N N加性高斯白噪声的平均功率加性高斯白噪声的平均功率(W)(W) ； B B信道带宽信道带宽(Hz)(Hz)。这就是著名的香农信道容量公式。这就是著名的香农信道容量公式。（2-116） 在有干扰的信道中，由于信道频带受限和噪声的存在，使信道在有干扰的信道中，由于信道频带受限和噪声的存在，使信道传输信息的最大能力受到限制。传输信息的最大能力受到限制。信息论中的鼻祖香农信息论中的鼻祖香农( (shannon)sha

18、nnon)把把信道传输信息的最大极限速率定义为信道容量信道传输信息的最大极限速率定义为信道容量，并已严格的证明了：并已严格的证明了：在信道中存在白色高斯噪声时，信道的容量在信道中存在白色高斯噪声时，信道的容量C C可用下式表示：可用下式表示： 2log (1)(bit / s)SCBNBB信道带宽信道带宽( (Hz)Hz)； S S信号功率信号功率( (W)W)；n n0 0噪声噪声单边功率谱密度单边功率谱密度( (W/Hz)W/Hz)； N = n N = n0 0B B 为噪声功率为噪声功率( (W)W)。 由于噪声由于噪声N N与信道带宽与信道带宽B B有关，若设有关，若设单位频带内单位频带内的噪声功率的噪声功率为为n n0 0，则噪声功率，则噪声功率N = nN = n0 0B B 。香农公式的另一种形式为。香农公式的另一种形式为（2-117）20log (1)(bit / s)SCBn B由式（由式（2-117）可见，一