第02章 受迫振动

1、第二章第二章 受迫振动受迫振动2.1 线性系统的受迫振动2.2 几个简化的实际例子2.3 任意周期激励的响应2.4 非线性系统的受迫振动2.5 线性系统的瞬态响应第二章 受迫振动系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动，系统的受迫振动状态称为响应。激励既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是间接作用因素，如温度、电磁场、位移等变化。按激励随时间的变化形式，可分为周期、瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬态激励下，系统响应的求解方法和规律。2.1 线性系统的受迫振动1. 简谐激励的受迫振动简谐激励力写成复数形式为tieFtF0)(阻尼系统受迫振动方程为tieFkxxcxm0 这是一个线性常系数非齐次

2、常微分方程，激励项显含时间变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加法，即方程的全解齐次通解非齐次特解。齐次通解上一章已求出，为)sin(1tAexdt(2.1)图2.1F(t)非齐次特解用试凑法，设特解为 ，代入（2.1），得 tiXex2icmkHFHX201)(,)(H()是激励频率 的复变函数，称为系统的频率响应函数，简称频响函数。 H()写成指数形式为21222tan)()(1| )(|)(mkcecmkeHHii于是特解为)(2220)(2)()(|titiecmkFeXx(2.2)(2.4)(2.3)方程（2.1）的全解为为)(|)sin()(tidteXtAetx(2

3、.5)上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持续振动，称为稳态响应。待定常数A、由初始条件确定。系统的最后振动状态只剩下稳态响应，下面研究稳态响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相同，振幅| X |和相位差 是激励频率的函数，由（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式0022222220020002222222240000111022220|()()()(2)(1/)(2) /(1)(2)22tantantan1FFkXmkmckXXsscskms为频率比。为系统的静态位移，其中000skFX定义振幅放大因子 b 为|)(0XXs b，则可得2122212t

4、an)2()1 (1)(sssssb幅频特性相频特性幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。(2.6)(2.7)ss相角放大率b图2.2 幅频特性曲线和相频特性曲线由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近，放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共振频率的准确值由db /ds = 0 导出2021m当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的高度为2121bm时，因此当当2/2);0(1, 2/2bbbm幅频曲线已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定，定

5、量关系由系统品质因数Q 描述：(2.8)(2.9)b211sQ(2.10)12bQ2/Q图2.3显然，对小阻尼系统，可得bb000121222222121122111221)6 . 2(2212/, 3 . 2,QssssQQm因此所以式解出对应的频率比为由时，当参见图(2.11)(2.12) 称为系统的带宽。 (2.11)、(2.12)式表明，品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度，即Q越大，则共振峰越高、越陡削。当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1）的解为)cos(|)cossin()cos(|)sin()cos(|cos)sin(|)cossin()sin(|)sin

6、()sin(|sin2020tXtCtBextXtAextXxtFtXtCtBextXtAextXxtFddtdtddtdt或全解稳态响应激励或全解稳态响应激励(2.13)(2.14)2100222020012tan,)2()1 (,1,sskFXssXXCBAd而由初始条件确定，、或、其中上式中各个参数重写如下：2. 受迫振动的过渡过程系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为tsXtCtBxsin1)cossin(2000代入初始条件000:(0),

7、(0)txxxx，得)sin(sin1cossin02000000tstsXtxtxx上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。(2.16)(2.15)t图2.4在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下：令s = 1+2e，上述条件下（2.16）式变为ttXttXttXtstsXx000000020cos)(cos)sin2()sin(sin4)sin(sin1eee因此，x可看成是

8、振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变）的周期振动，时间历程曲线如图2.5。(2.17)图2.5e210kF当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从（2.15）式看，系统的稳态解为2020211,sin11skFtskFx振幅但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下形式)sin(022ttXx代入无阻尼受迫振动方程)sin(sin)/(0200000tXtmFxx 得2,90sin)cos(2sin)sin()sin()cos(20020200002020002020202002XX

9、tXtXtXttXttXtX所以即由此得无阻尼受迫振动方程的特解为ttXttXx0000002cos2)2sin(2(2.18)可见共振振幅tX200随时间线性增长，如图2.6。tX200图2.6tF sin0mc1k2.2E图图0sinFt211 11210()0()sinkxxk xcxmxkxxFt ) 1 ()2(1221 21200() ()sincoscmxkk mxk cxk k xkk Ftc Ft) 3(tiez12i tz e)()(0211HFkkz)(02HFcz ieHcmckimkkkkH)()(1)(32221212221212arctan()/()kmck kk

10、km)(2)(1titiezezx1200()( ) sin()( ) cos()xkkF HtcF HtoBRlm例2.2图xym),(yxlROB 解：用Lagrange方程建立系统动力学程，取广义坐标 ，本题为完整非定常系统。)cos(coslRx)sin(sinlRy转子每转一周简谐激振 n 次，为消减扭振采用一单铰接于圆盘的B点，OB = R，摆长为 l，摆锤质量为m。不考虑初值影响时求扭振振幅与单摆振幅的 例2.2 离心摆激振器的力学模型如图所示。转子以角速度 转动，由于激振扭距的作用，转子产生扭转振动sinmt 比，并讨论用单摆减震。（提示：转子转速较高时，重力与质量力相比很小，

11、对于摆的影响可以忽略不计。）2222222)(cos)(2lRlRyxv2201122TImv0TTdtd0sin)()(2RllRldtd线性化线性化 )1 (2lRlRttmmsin,cos2 m)sin()(sinlRx)cos()(coslRy22222222sin(1)()()()(1)mmmmmtRlRlRRn llnRRl nl， 其 中稳态解为：稳态解为：而而2200 mRn lRnln讨论：当时， ，即完全消除了振动。因此若恒定，则可选取设计吸振器。tlRlRmsin)1 (22 所以 例例2.3 汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中m

12、 , c , k 和和 l 已知。拖车的质量为已知。拖车的质量为m，以匀速，以匀速v在不平的路面上行驶，在不平的路面上行驶，路面形状设由路面形状设由给出，给出，x = v t，拖车对与汽车的连接点，拖车对与汽车的连接点O的转动的转动 惯量为惯量为J，轮，轮质量不计，质量不计，yo 远小于远小于 l 因而认为因而认为O点无垂直位移。求拖车振点无垂直位移。求拖车振幅达到最大值时拖车的速度。幅达到最大值时拖车的速度。02(1 cos)xyyblmvOkc例2.3图O0F)(ylk)(ylcmmg为为弹弹簧簧静静平平衡衡力力mgF 0解：以解：以O点为动矩心，应用相对点为动矩心，应用相对运动动量矩定理

13、得：运动动量矩定理得：()()Jkly lcly lJclklklyclyy 即代 入得22000222cossincly vvvJclklklyklyttbbb)2cos()2sin(0tbvBtbvAlyx稳稳态态解解为为0222222222() ,(),1(),arctan()()vAHBHklybclHklJklJcl 其 中 222220max24223224223 22222 22( )0,22024822 ( 11)zzABHlyckdzzdc Jk Jk jk Jk Jc Jk lc Jkc lckJ因次振幅为得必要条件为得181421812) 181(282,42 ,1202

14、02022222202220220bvbvkJlcckJclJkl）式，令）式，令由（由（2.2 几个简化的实际例子 1. 惯性测振仪惯性测振仪如图2.7所示。被测物体的振动（基础振动）使测振仪中的弹簧质量振子振动，用记录仪将振子的相对运动记录下来，就可给出被测物体的振动。振子相对位移 x 的振动方程为)(220022,)(tititiftiffXexeBxxxeBxBexxckxxxm稳态响应为方程化成标准形式为则设 (2.20)xf (t)图2.7(2.19)其中 210222212tan,)2()1 (sssssBsX图2.8所示为放大率X/B、相角与频率比的曲线。作为动态测量仪器，一般

15、要求放大率和相角（相位差）近似为常值。由图可见， 0.7的几条曲线在高频率比区域基本上能满足这一要求， 实际上，此时式（2.21）在高频率比区域近似为(2.21)1802tan2tan, 111215 . 222425 . 2sssssssBXss式（2.20）近似为)(tiBex 频率比 s频率比 s相角 放大率 X/B图2.8 测振仪的幅频和相频特性曲线s2因此，按高频率比设计的测振仪测出的是振动位移。 0.7时，式（2.21）在低频率比区域近似为300tan,1115 . 020222425 . 0sssssBXss式（2.20）近似为tiaeBx20015,220202averaaBB

16、BBX为被测加速度幅值所以因此，按低频率比设计的测振仪测出的是振动加速度。鉴于上述原因，一般测振仪的阻尼比取值 0.7。2. 振动的隔离前面已经看到，弹性、阻尼元件能改变振动系统的振动特性，因此可以对系统附加弹性、阻尼元件来改变振动的传递特性，即隔振。在振动设备与地基之间采取隔振措施，使传到地基的振动力减小，称为主动隔振；反之，使振动地基传到设备的振动减小，称为被动隔振。图2.9为隔振模型。tieFkxxcxm0 （1）对主动隔振，假设设备上产生简谐振动力为F(t) = F0ei t，如果不隔振，振动力1:1传到地基，隔振后，系统的振动方程为2220)2()1 (sskFX幅频特性为图2.9传

17、到地基的力为2222012222022111)(1)2()1 ()2(1)2()1 ()2(1)()(sssFFsssFckXFFFXekcikxxcFmmmti隔振系数为的幅值（2）对被动隔振，假设地面的位移振动为y(t) = Yei t，如果不隔振，振动力1:1传到设备，隔振后，系统的振动方程为tieYikYxckxxmyxcyxkxm)()()( 即2222)()2()1 ()2(1sssYXXexti得隔振系数为特解为可见，主、被动隔振的隔振系数表达式是相同的，但前者是力的传递系数，后者是位移地传递系数。隔振系数的幅频、相频曲线如图2.10。由图可见，设计隔振系统时，要选取弹性元件使频

18、率比大于2.5或 3，再按共振峰的削减要求选取阻尼元件。频率比 s隔振系数 相角 频率比 s图2.103. 转子的临界转速图2.11为简化的柔轴偏心转子。其质心运动微分方程为。为柔轴中点的挠曲刚度krkrcrm0)( (2.22)图2.11在小阻尼条件下，当s = 1时，系统共振、振幅达到最大。使系统达到共振的转速称为转子的临界转速。当s 时，b1 = 1 ， 1 = ，这时转子的质心与轴线上O点重合，这种现象称为自动定心现象。21122221112tan,)2()1 (sssssAbtitierrremkrrcrm22002|2| 化成标准形式为因为式中各矢量是xy平面内的平面矢量，故可用复

19、数代替tieriyxr|,方程（2.22）变为复微分方程(2.23)与测振仪的方程形式完全相同，设特解为 r = A1exp( t-1)，由（2.21）式，振幅放大因子和相角为2.3 任意周期激励的响应1. 谐波分析法当激励F(t)为周期函数时，可将其展成Fourier级数：/2)(, 2, 1, 0,)(1)(2/2/TtFTndtetFTFeFtFTTtinnntinn的角频率和周期，为、其中Fn称为F(t) 的离散频谱， Fn n的图形称为频谱图。(2.24)对实周期函数F(t)，将其展成实Fourier级数往往更方便：, 2, 1, 0;sin)(2cos)(2,)(2)sincos(

20、2)(2/2/2/2/2/2/010ntdtntFTbtdtntFTadttFTatnbtnaatFTTnTTnTTnnn其中实际上，以上所有积分中的积分区间只要任意取一个周期即可。另外， F(t)如果是偶函数，F(t)可展成余弦级数； F(t)如果是奇函数，F(t)可展成正弦级数。(2.25)F(t)激励下的线性系统的振动方程可写为ntinneFxckxxm 根据线性系统的叠加原理，方程（2.26)的解为(2.26)021222)(,12tan,)2()1 (nssssskFAeAxnnnnnnnnntninn其中(2.27)以上将周期函数展成Fourier级数的分析方法称为谐波分析法。 例

21、例2.4 如图所示的系统如图所示的系统 ，在凸轮的作用下受到图，在凸轮的作用下受到图2.12b所示的锯齿波纹形支承运动的激励。已知所示的锯齿波纹形支承运动的激励。已知m, c, k1 , k2 , 和和 a，求稳态响应。，求稳态响应。c1km2ksxtOa)(txs/a/3)(a)(b例2.4图c1km2ksxtOa)(txs/a/3)(a)(b例2.4图解：系统动力学方程为解：系统动力学方程为natdtTntTaTtdtTntxTbtnbtxtxtxkxkkxcxmntTsnnnsss2)1(2sin242sin)(2sin)(2)()(12001221：为为周周期期的的奇奇性性周周期期函函

22、数数的的以以为为 2222222111)() 1()sin(21) 3()2(ncmnkkztnzkaxnnnnn其中其中为为）式并求解，得稳态解）式并求解，得稳态解式代入（式代入（、2221arctanmnkkcnn2.4 非线性系统的受迫振动1. 谐波平衡法设非线性系统受到任意周期激励的激励，动力学方程为的周期激励为角频率)()(),(tFtFxxfxm (2.28)设F(t)是均值为零的偶函数，因此可展成余弦级数2/2/1, 2, 1, 0;cos)(2cos)(TTnnnntdtntFTFtnFtF方程（2.28）写成1cos),(nntnFxxfxm (2.29)对于非线性系统，叠加

23、原理不适用，因此对方程（2.29）只能根据具体情况，求其近似解析解（半解析解）或数值解。假定对方程（2.29）存在周期解或拟周期解（近似周期解），并设解的均值为零，那么可将解假设成Fourier级数1)cos()(nnntnatx（2.30）代入方程（2.29），函数),(xxf将成为t 的以2 / 为周期的周期函数，可展成Fourier级数，再令方程两边同阶谐波的系数相等，可定出an和n。非线性振动方程的这种解法称为谐波平衡法。一般只确定解的前一、二阶谐波项。谐波平衡法是一种正交级数解法，式（2.30）也可以假设成其它正交级数，但一般不易找到合适的正交级数。谐波平衡法的缺点是事先不知道解的展

24、式中要取多少项，对某些问题，项数取得不够，精度会很差。2. 用谐波平衡法求解Duffing方程的受迫振动简谐激励的欠阻尼Duffing方程的标准形式为tBxxxxecos)(2203200 方程右端为一个周期函数，方程的解应使得左端的结果也应该是一个相同的周期函数；考察左端的四项可知，如果将方程的解假设成一个与右端频率相同的周期函数，那么方程的左端的结果为相同频率的周期函数，但该周期函数的形状与右端的一般不会相同。因此可以预计，将方程（2.31）的解假设成一个与右端频率相同的周期偶函数，是一个正确的开端，接下来的任务是使方程两边的周期函数的形状尽量接近相同。根据上述分析，用一个不含常数项、基频

25、为 的Fourier 级数去逼近方程（2.31）的解是合适的，至少是值得一试的。我们取一阶谐波作为近似解，设(2.31)tAtAx,cos)cos(代入（2.31），得tDCtDCAAAAAAAAeeeesin)cossin(cos)sincos(3cos4sin2cos43)(4/ )3coscos3()cossin2cos(cos)cossin2cos(3200320220320200233202002左端ADAACe03202202,43)(其中(2.32)两式平方和，得40222BDC代入C、D的表达式，得解得,cos,sin20222022BDCCBDCD(2.33)40220232

26、0220)2(43)(eBAAA令方程（2.31）两边一阶谐波的系数相等，得0cossinsincos20DCBDC两边同除以402A，得为频率比0222222,)2()431 (esABsAs(2.34)由（2.34）解出幅频特性方程为)431 (4)(24312222222eeAABAs相频特性方程由（2.33）得2432112tanAsse(2.35)(2.36)为了由（2.35）式画出幅频特性曲线，分析如下：（1）明确 s、A 0；（2）曲线222431eAs(2.37)称为脊骨曲线，它将幅频特性曲线分为左、右两个分支：（3）当A的某个值使得（2.35）式中的根式为零时，s 的两个值相

27、等，幅频曲线的两个分支在脊骨曲线上某点汇交，这时 A达到边界值Ac ，由下式确定)431 (4)(2431)431 (4)(243122222222222221eeeeAABAsAABAs（2.38）0)431 (4)(2222eccAAB求解，得因此，画幅频特性曲线的步骤如下：（1）画出脊骨曲线；（2）由（2.39）式求出A c，并在脊骨曲线上标出A c的位置；（3）从A = A c值出发，在A 值的变化范围内，由（2.38）式画出幅频曲线的两个分支。幅频特性曲线的示意图如图2.12。212122222222,3)2(3)1 (2)1 (203)2(3)1 (2)1 (20cccccccAA

28、AAAABAAABA，令时，时，eeeeee(2.39)Ac分支2脊骨曲线As分支1e 0e 0AAc2Ac1s图2.12 (a) 硬弹簧Duffing振子的幅频特性曲线 (b) 软弹簧Duffing振子的幅频特性曲线(a)(b)3.振幅跳跃现象如图2.13，当激励频率从低到高缓慢变化时，振幅的值沿着分支1变化，一直到幅频曲线的顶点，然后振幅突变，跳到分支2上继续变化，整个路径如绿色箭头所指；当激励频率从高到低缓慢变化时，整个路径如橙色箭头所指。因此，分支2上的CD段曲线是不能实现的。分支1分支2As图2.13 振幅跳跃现象CD如果将相频特性曲线画出，会发现相位的变化将与幅值同步跳跃。由于跳跃

29、现象是系统运动状态在某一参数临界值上的突变，因此是一种动态分岔现象。只有非线性系统才有这种现象。 例例2.5 （P53题题2.13)用谐波平衡法确定单自由度非线性用谐波平衡法确定单自由度非线性受迫振动系统受迫振动系统的幅频曲线方程。的幅频曲线方程。0cos1amxcxkxFtx cos1xAx解：仅就为小量时的情况求解，此时当时，可认为的均值近似为零，因此假设2()cossincos1coskmAcAFtA(2)(1)cos()cos ,xAtAt代人方程，得略去均值，近似可设12coscos21cosbbAdAdb202201cos1coscos, b上式左边为右边推演如下：dAAAdAco

30、s111cos1cos1cos202020201122cos122cos112AAAAdAAAdAAcos)111(2cos1)111(2221AAAAAbAcBtFAcAAmkAB22221cossincos)111 (2令令3则由（ ）式有2代入（ ）式得（3）22221(1)cossincos1A kmc AFtAA1212cossinsincos0BBFBB2122221212sin,cosB FB FBBBB=解得22212BBF=进而有222222221(1)() 1AkmcFAA即 例例2.6 当当e e 充分小时，为确定非线性受迫振动系统充分小时，为确定非线性受迫振动系统幅值为

31、幅值为 a 的共振解，可用线性受迫振动系统的共振解，可用线性受迫振动系统等效代替谐波原非线性系统。这一方法称为等效代替谐波原非线性系统。这一方法称为等效线性化法等效线性化法。分别用谐波平衡，能量平衡和误差平方累计最小三种方法，分别用谐波平衡，能量平衡和误差平方累计最小三种方法，证明证明0( , )sinmxf x xFte0sineemxc xk xFt2020( cos,sin)sin( cos,sin)coseecf aadakf aadae e 1（）用谐解：波平衡法证明cos)cos(atax设设共共振振解解为为（1）xkxcxxfee),(e因因为为（2）)sincos(cossin

32、2)1 (eaafakacee）式式得得式式代代入入（)cossin(110ebab（3）daafasin)sin,cos(1201其其中中daafbcos)sin,cos(1201式式中中谐谐波波平平衡衡得得)3(eeeedaafabakdaafaaaceecos)sin,cos(sin)sin,cos(201201(2) 用能量平衡法证明e22202sin)sin,cos(sinoedaaafdca）式式，得得式式代代入入（4) 1 (e2,),(1)(100TdtxxxfTdtxxkxcTtTee（4）edaafacesin)sin,cos(20即即相相等等，可可算算出出）式式换换成成平

33、平均均无无功功功功率率将将（,4ek 按能量平衡原则，令非线性力与线性力在一个周期内的平均功率相等，有001( ) (/ 4)1 ( ( ), ( ) (/ 4)Teetc x tk x t x tTdtTf x tx tx tTdtTe（ ）(5)）式式得得式式代代入入（将将5) 1 (edaafakecos)sin,cos(20得得edaaafdake)2sin()sin,cos()2sin(cos20202一一周周期期内内方方差差的的积积分分为为(3) 用误差平方累计最小方法证明0, 0eekJcJJ取取最最小小值值，必必须须有有为为使使dtxxfxkxcJeTe20),(e0),(0)

34、,(00 xdtxxfxkxcdtxxxfxkxcTeeTeeee即即证证明明的的结结论论。代代入入以以上上二二式式可可得得说说要要) 1 ( 例2.7 单自由度系统的动力学方程为其中 f ( x ) 分别由图 a、b 和 c 给出。用谐波平衡法求振幅为 A 时自由振动固有频率的近似值。( )0 xf x例2.7图aak1f ( x )xo(a)f ( x )xaak1o(b)xf ( x )k11k21o(c)a a 解：图a、b为图 c 的两种特殊情况，因此，我们对图c 的一般情况进行求解。 设系统的一阶近似解为0cos()cosxAtAb(1)0tb。其中根据谐波平衡法的思想，将（1）式

35、代入系统动力学方程，得20cos(cos )0Af A(2)显然，f 为 的偶函数，同时由 f ( x ) 的特征，得( cos()( cos ),(cos )( cos )f Af AfAf A 因此，f 为 的以2 为周期、零均值的周期偶函数，由此可将 f 展成 的余弦级数。设12(cos )coscos2f Abb(3)其中101(cos )cos2(cos )cosbf Adf Ad 由式（1），得22dxdAx 将此代入式（4）并利用（1）式作变量代换，得122220222202( )4( )4( )( )AAAaAax f xx f xbdxdxAA AxAxx f xx f xd

36、xdxAAxAx (5)(4)211222200222210022222110002221100222111( )()(sin)22(sin)22sin22aaaaaaaaak xx f xIdxdxAxAxkx AxAx dxxAxkx AxAxAxAxkAxAk ak AaAaA 下面计算（4）式中的两个积分：1222222212222222222212212222222122212()( )()()sin22()sin242AAaaAAaaAAAaaak akxa xx f xIdxdxAxAxk ak a xk xdxdxAxAxk xk Axk ak aAxAxAk ak Ak Aa

37、k ak aAaAaA 将 I1、 I2 代入（4）式，得1122112224()2()(1sin)bIIAkkaaaA kAAA(6)将 （6）式代入（3）式、再代入（2）式，令各界谐波动系数等于零，得221120222()(1sin)kkaaakAAA 注：在上述结果中，令 k1 = k、 k2 = 0，即得对应于图a 的结果；令 k1 = 0、 k2 = k，即得对应于图b 的结果。2.5 线性系统的瞬态响应Duhamel积分法线性系统在任意激励下的响应称为瞬态响应或暂态响应。本节介绍两种求瞬态响应的方法。如图2.14，任意激励可以分割成一 系列作用时间为dt 的矩形激励的连续作用，如果

38、激励为力，那么每个矩形激励就是一个冲量，对于其它类型的激励，统称为脉冲。理论上脉冲的作用时间趋近于零，因此任意激励可以认为是无穷多个脉冲的连续作用。因为线性系统的响应可以用叠加原理，因此各个脉冲的响应叠加起来，就得到系统的瞬态响应。为此先求系统的脉冲响应。)(tkxxcxm (2.40)式中 (t)为单位脉冲函数，也称Dirac- 函数。在数学上这是一个广义函数，其定义为dttF(t)图2.140;|, 0|,21)(eeeettt其函数形状如图2.15，根据定义， 函数有如下基本性质)0()()(, 1)(lim0fdtttfdtteee第二个性质称为选择特性。从力学意义上讲，单位脉冲就是

39、t = 0 时刻，在无穷小时间内作用一个无穷大的力，总的作用效果为一个单位冲量。设系统原来处于静止，在脉冲作用的瞬间，系统的加速度为无穷大，但由于脉冲的幅值与作用时间乘积的极限值为有限值，因此加速度与脉冲作用时间乘积（即系统的e e 12e(t)to图2.15(2.41)(2.42)速度）的极限值也必须为有限值，即在脉冲作用完的瞬间，系统的速度为有限值，进而系统的位移为零，即脉冲作用前后两个瞬间系统的位置不变。根据以上分析，可以来求解方程（2.40）。设系统原来处于静止，我们计算脉冲作用完成的瞬间，系统的状态。方程两边同乘dt，再在区间（-e ， e ）上对t积分并取极限，得1)0(12)(2

40、)()(lim)(0 xmkxxcxmdttkxdtdtxcdtxm eeeeeeeeeeeeee因此，脉冲作用完成的瞬间，系统状态为mxx1)0(, 0)0(2.43)以此作为初始条件，系统将作自由振动，也就是脉冲作用后系统的响应，称为脉冲响应，记为h(t)temthdtdsin1)(当脉冲作用时刻为t = t ，即 (t - t)，则系统的脉冲响应为ttttttemthdtd),(sin1)()(当方程（2.40）右端为任意时变函数F(t)时，即)(tFkxxcxm (2.46)F(t)可写成tNnntnFdtFdtFtFNntttttttttttttt,)()(lim)()()()()(

41、100(2.44)(2.45)应用式（2.45）和叠加原理，方程（2.46）的解为tNndthFnthnFtx010)()()()(lim)(ttttttt(2.47)方程（2.47）中的积分称为Duhamel积分。2. Fourier变换法 )(tFkxxcxm (2.46)重写方程（2.46）如下：方程的求解思想是借用Fourier级数展开的方法，将任意激励函数F(t)展成谐波函数之和，再应用叠加原理。因此将函数F(t)看成周期T 为无穷大的周期函数，于是其频率为 = 2 / T 0。复域上的Fourier级数为 2/2/, 2, 1, 0,)(1)(TTtinnntinnndtetFTF

42、eFtF其中当T 、 = 2 / T 0时，n 将在频率轴 上连续排列，即n = 。于是式（2.50）的右端变成2/2/)(TTtinndtetFFT(2.48)(2.49)(2.49)式可写成(2.50)这个积分一般是有意义的，其结果为 的函数，记为 ()，因此整个（2.50）式是有意义的，可写成dtetFti)(dtetFti)()(由此可将式（2.48）变成deeTFeTFTeFtFtintinnntinnntinn)(2121221)(方程（2.51）、（2.52）称为Fourier变换对，前者为正变换，后者为逆变换。 ()称为时变函数F(t)的连续频谱（或频谱），其含义是：函数F(t

43、)可表示成无穷多个谐波ei t的叠加，每个谐波的幅值为 ()/2 。现在方程（2.46）变为detFdtetFtiti)(21)()()(以上结果归纳为(2.51)(2.52)deHdttxti)()(21),(21)(dtekxxcxmti)(21 在零初始条件下，对应于谐波激励 的响应为tie)(21icmkHeHtti21)(,)()(21),(2.53)将所有这样的谐波响应叠加就得到方程（2.53）的零初值解，这等价于将上式关于 积分，因此有(2.54)实际上，（2.54）式也可直接用Fourier变换得到。设x(t)的Fourier变换为X ()，即deXtxdtetxXtiti)(

44、21)(,)()(上式对t求导数，得)(Fourier)()(Fourier)()(21)()(21)(22XtxXitxdeXtxdeXitxtiti变换为的变换为的因此， 于是，对方程（2.46）作Fourier变换，得deHdeXtxXHkicmXXkicmtiti)()(21)(21)()()()()()()()()()(22作逆变换，得对(2.55)最后来分析脉冲函数和脉冲响应的Fourier变换。有dedetdtettititi21)(21)(, 1)()()(tkxxcxm (2.56)脉冲激励下的动力学方程重写于下：对方程作Fourier变换，得)(1)(1)()()(22Hi

45、cmkXXkicm因此，X ()的逆变换是系统的脉冲响应 h(t) ，也就是脉冲响应 h(t) 与频响函数 H ()构成Fourier变换对。 例2.8 利用Duhamel积分确定简谐激励在 t 0 时开始作用于图示系统的零初值响应。0( )sinF tFt)(tFmck例 2.8图为为解解：系系统统的的动动力力学学方方程程( )1( )sintddh th tetm系统脉冲函数为初初始始条条件件为为零零tFtFtFkxxcxmsin)(),(0 Duhamel由积分得tttdFthtxt)()()(0)( ,sin)(sin0)(ttttttydtemFdttdo作作变变换换dtemFdtd

46、o)(sinsin0)cos(sin21tItImFdodeIdtcossin01)(2)(2)(2)cos()()sin()(2)cos()()sin(22222222ddddddddddddtttttedeIdtsinsin02)(2)(2)(2)cos()sin()()(2)cos()sin()(22222222ddddddddddtttttecos)(sin)(2)(4210ttIttIemFtxtd）式式得得代代入入（)sin(4)(12222200tmF( )tx t 响应，显然当时趋于稳态解。上式中第二项恰好为系统在正弦激励力下的稳态 2.9hmmkh例一无阻尼质量弹簧系统置于箱中，箱子从高 处自由落下，如图所示