汽车振动基础4.

1、第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2.2 固有频率的求法固有频率的求法2.2.2.1 根据固有频率定义来求根据固有频率定义来求mkp 例题例题2.13: 复摆复摆刚体质量为刚体质量为m重心重心C对悬点的转动惯量为对悬点的转动惯量为J0求求:复摆在平衡位置附复摆在平衡位置附近做微振动时的固有频近做微振动时的固有频率和周期率和周期.第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动sinmgsin0mgaJ 解解:用用表示摆在任意瞬表示摆在任意瞬时偏离垂直平衡位置的时偏离垂直平衡位置的角位移。此时重力的切角位移。此时重力的切向分力向分力将产生一恢复力矩将产生一恢复力矩使复摆产生振动

2、使复摆产生振动。由牛顿定律由牛顿定律sinmga因为微振动因为微振动sin则有则有0000JmgamgaJ 根据固有频率定义根据固有频率定义02Jmgap 所以，固有频率为所以，固有频率为0Jmgap 第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动0Jmgap 0212JmgapfmgaJfT021频率为频率为 用实验法测出物体用实验法测出物体的周期的周期T,就可算出刚体就可算出刚体的转动惯量的转动惯量mgaTJ2204 再由移轴原理再由移轴原理,可得可得物体绕质心的转动惯量物体绕质心的转动惯量20maJJc实验法确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验法确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法

3、第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2.2.3 应用能量法来求应用能量法来求 当系统比较复杂当系统比较复杂,用牛顿第二定律用牛顿第二定律或达朗勃原理建立运动微分方程比或达朗勃原理建立运动微分方程比较困难较困难,也就是很难用定义求固有频也就是很难用定义求固有频率。在这种情况下，也可不必建立率。在这种情况下，也可不必建立运动微分方程而直接用能量法得出运动微分方程而直接用能量法得出振系的固有频率振系的固有频率。 设设T1，U1和和T2，U2分别表示振系前分别表示振系前后两个不同时刻的动能和势能，则由能量后两个不同时刻的动能和势能，则由能量守恒定律，有守恒定律，有T1+U1=T2+U2

4、，由于系统，由于系统的运动为简谐振动，则的运动为简谐振动，则U1=0时，时，T1达到达到最大值；当最大值；当T2=0时，时，U2达到最大值；则达到最大值；则T1+0=U2+0。此时。此时T1与与U2都是最大值，都是最大值，所以有所以有Tmax=Umax (2.11)第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 例题例题2.14：如：如图图2.18所示圆轴所示圆轴圆盘扭振系统，圆盘扭振系统，求其振动的固有求其振动的固有频率。频率。解：圆盘的运动为简谐振动解：圆盘的运动为简谐振动ptAsin故知其最大动能和势能分别为故知其最大动能和势能分别为2max2max22max2max21212121A

5、kkUAJpJTtt将两式代入（将两式代入（2.11）即得）即得2222121AkAJpt从而得振系得固有频率为从而得振系得固有频率为JkpJkptt,2第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2.2.3 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 前面的自由振动都没有考虑运动中阻前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出

6、了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。中阻尼的物理本质仍然极难确定。 最常用的一种阻力力学模型是粘性阻最常用的一种阻力力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。的物体，通常就认为受到粘性阻尼。 粘性阻尼与相对速度成正比，即粘性阻尼与相对速度成正比，即cvpdC:粘性阻尼系数，或阻尼系数，单位：粘性阻尼系数，或阻尼系数，单位：N.s/m建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析动力学方程动力学方程0kxxcxm 0 xmkxmcx mkp 2将上

7、式将上式写为写为其中其中mcnmcn2,2第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动图图2.19 单自由度有阻尼振系单自由度有阻尼振系n称为衰减系数称为衰减系数定义定义pn称为相对阻尼系数，是表示阻尼大小的称为相对阻尼系数，是表示阻尼大小的一个无量纲的量一个无量纲的量所以运动微分方程变为所以运动微分方程变为(2.12) 022xpxpx 第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动(2.12) 022xpxpx stex 0222ppss设解的形设解的形式式代入式（代入式（2.12）得方程的特征得方程的特征方程为方程为特征根特征根pps122, 1三种情况：三种情况： 1， =1，

8、1过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼弱阻尼弱阻尼第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动pps122, 1)11()(2221ptshcptchcetxpt22xxxxeechxeeshx第一种情况：过阻尼第一种情况：过阻尼1特征根特征根两个不等的负实根两个不等的负实根振动解振动解C1,c2初始条件决定初始条件决定设初始条件设初始条件00)0(,)0(xxxx则则)111()(220020ptshppxxptchxetxpt第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动ps2, 1ptetccx)(2100)0(,)0(xxxx第二种情况：临界阻尼第二种情况：临界阻尼=1特征根特征根二重根

9、二重根振动解振动解C1,c2初始条件决定初始条件决定设初始条件设初始条件则则)()(000tpxxxetxpt临界阻尼系数临界阻尼系数kmmkmmpcc222ccckmcmpcpn22 即相对阻尼系数等于实际阻尼系数与临即相对阻尼系数等于实际阻尼系数与临界阻尼系数的比值，故又称为阻尼比。界阻尼系数的比值，故又称为阻尼比。第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动ppipips222, 1111 )15. 2)(21)1(2)1(122( tp itp iptptipptipececeececx第三种情况：弱阻尼第三种情况：弱阻尼1此时，特征方程的两个根为共轭复根此时，特征方程的两个根为共

10、轭复根 P的实际意义为有阻尼衰减振动时的固有的实际意义为有阻尼衰减振动时的固有圆频率，它的值比圆频率，它的值比P 小。从而微分方程的小。从而微分方程的解为解为应用欧拉公式将上式展开为应用欧拉公式将上式展开为)15. 2)sincos( tpbtpaexpt式中，式中，a,b为待定系数，它们可由初始条为待定系数，它们可由初始条件确定件确定设初始条件设初始条件00)0(,)0(xxxx代入式（代入式（2.15）可得）可得ppxxbxa/ )(,000所以系统对初始条件的响应为所以系统对初始条件的响应为(2.16) )sincos(000tpppxxtpxexpt经三角变换，上式也可写为经三角变换，

11、上式也可写为(2.17) )sin(tpAexpt第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动00202200022pxxpxarctgpxpxxpxA 式中式中阻尼固有频率阻尼固有频率21pp阻尼自由振动周期阻尼自由振动周期202111122TppTT0：无阻尼自由振动的周期：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动(2.17) )sin(tpAexpt 弱阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动弱阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动图图2.22 弱阻尼弱阻尼 不同阻尼大小下的振动衰减情况不同阻尼

12、大小下的振动衰减情况不同阻尼，振动衰减的快慢不同不同阻尼，振动衰减的快慢不同阻尼大，则振动衰减快阻尼大，则振动衰减快阻尼小，则振动衰减慢阻尼小，则振动衰减慢第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动(2.17) 111)(1nTpTTtpptiieeAeAeAAii减幅系数减幅系数评价阻尼对振幅衰减快慢的影响评价阻尼对振幅衰减快慢的影响定义为相邻两个振幅的比值定义为相邻两个振幅的比值与与t无关，任意两个相邻振幅之比均为无关，任意两个相邻振幅之比均为衰减振动的频率为衰减振动的频率为p21振幅衰减的快慢取决于振幅衰减的快慢取决于p这两个重要的特这两个重要的特征反映在特征方征反映在特征方程的特

13、征根的实程的特征根的实部和虚部部和虚部图图2.22 弱阻尼弱阻尼pips22, 11第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动(2.17) 111)(1nTpTTtpptiieeAeAeAAii11lnlnpTAAii图图2.22 弱阻尼弱阻尼含有指数项，不便于工含有指数项，不便于工程应用程应用实际中常采用对数衰减率实际中常采用对数衰减率实验求解实验求解利用相隔利用相隔j个周期的两个峰值进行求解个周期的两个峰值进行求解jjjjeAAAAAAAA)()(13221112121111ln1222111 pp2 pT 0pTAAjj第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动2121111

14、ln1222111 pp2 pT 0pTAAjj21)2(12图图2.22 弱阻尼弱阻尼2021111121TpTpTepT 第第2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动例题例题2.152.15：质量：质量m=2450kgm=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支撑在四个车轮上，的汽车用四个悬挂弹簧支撑在四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为stst=15cm=15cm。为了能迅速减。为了能迅速减少汽车上下振动，在四个支撑处均安装了减振器。由实验测得两次少汽车上下振动，在四个支撑处均安装了减振器。由实验测得两次振动后振幅减小到振动后振幅减小到10%

15、10%，即，即A1/A3=10A1/A3=10。试求：。试求：（1 1）振动的减幅系数）振动的减幅系数和对数衰减率和对数衰减率（2 2）衰减系数）衰减系数n n和衰减振动的周期和衰减振动的周期T1T1（3 3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数mNmgkste/16000015. 081. 92450解：若只考虑汽车上下振动，则可把四个弹簧视为一个当量弹解：若只考虑汽车上下振动，则可把四个弹簧视为一个当量弹簧，其等效刚度为簧，其等效刚度为把汽车简化为单自由度弹簧质量系统，其固有频率为把汽车简化为单自由度弹簧质量系统，其固有频率为sradmkpe/08. 82450160000续例续例2.15：1）