方差分析与试验设计

1、5.1 单因素方差分析单因素方差分析5.2 两因素方差分析两因素方差分析5.3 正交试验设计正交试验设计5.1 单因素方差分析单因素方差分析 例例1 1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差 。现用现用三种不同来源的材料三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。各试生产了一批电子管。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。2试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？材料

2、批号材料批号寿命测定值（单位：小时）寿命测定值（单位：小时）1231600 1610 1650 1680 1700 1700 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 18201.1.引例引例例例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。果如下表所示。品种品种产量（斤产量（斤/小区）小区）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8

3、34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？类似问题类似问题 高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实行选课制行选课制, 如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？ 假定：张老师的学生平均假定：张老师的学生平均72.5, 李老师的学生平李老师的学生平均成绩均成绩71.8, 王老师的学生平均成绩王老师的学生平均成绩70.9,能否说明三能否说明三位老师的教学

4、水平有差异位老师的教学水平有差异?根据假设检验的原理，即检验根据假设检验的原理，即检验123 ？解决此类问题：解决此类问题：1是重复检验，是重复检验，2是方差分析是方差分析 在实践中在实践中, 影响一个事物的因素往往是很多的影响一个事物的因素往往是很多的, 人们总是要通过试验人们总是要通过试验, 观察各种因素的影响观察各种因素的影响. 例如例如:不不同型号的机器同型号的机器, 不同的原材料、不同的技术人员以不同的原材料、不同的技术人员以及不同的操作方法等等及不同的操作方法等等, 对产品的产量、性能都会对产品的产量、性能都会有影响有影响. 当然当然, 有的因素影响大有的因素影响大, 有的因素影响

5、小有的因素影响小, 有有的因素可以控制的因素可以控制, 有的因素不能控制有的因素不能控制. 如果从多种可如果从多种可控制因素中找出主要因素控制因素中找出主要因素, 通过对主要因素的控制、通过对主要因素的控制、调整调整,提高产品的产量、性能，这是人们所希望的提高产品的产量、性能，这是人们所希望的, 解决这解决这个问题的有效方法之一就是个问题的有效方法之一就是方差分析方差分析. 前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标, 他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平, 一一个因素可采取多个水平个因素可采取多个水平. 统计学

6、上统计学上, 不同的因素不同的因素, 不不同的水平同的水平可以看作是不同的总体可以看作是不同的总体. 通过观察可以得通过观察可以得到试验指标的数据到试验指标的数据, 这些数据可以看成从不同的总这些数据可以看成从不同的总体中得到的样本数值体中得到的样本数值.二、统计分析二、统计分析一一 、总平方和的分解、总平方和的分解单因素试验的方差分析设在试验中，因素设在试验中，因素A有有r个不同水平个不同水平12,rA AA在水平在水平Ai下的试验结果下的试验结果2(,)(1,2, )iiXNir 。其中其中 和和 是未知参数。在水平是未知参数。在水平 下作下作 次独立实验，次独立实验，其结果如表其结果如表

7、5.1所示。所示。i2iAin 数学模型数学模型111121nXXX221222 nXXX331323nXXX1rXrrnX样本均值样本均值 2rX1XrX2X水平水平1A2ArA3A 样样 本本 3X11,1,2, .iniijjiXXirn 表表 5.1012:rH112:,rH 不全相等(1)由于由于 相互独立，且相互独立，且ijX2(,)ijiXN 1,2,;1,2, .ijn ir若记若记则则ijijiX2(0,),ijN且相互独立且相互独立 要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设判断各正态总

8、体的均值是否相等，即检验假设(1,2,;1,2, )ijn ir2(0,) 1,2,1,2,ijiijijijiXNjnjr相互独立其中(2)其中其中 与与 均为未知参数。均为未知参数。式（式（2）称为）称为单因素方差分析的数学模型单因素方差分析的数学模型。i2则则是各水平下总体均值的加权平均，称为是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值总平均值； 代表了第代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，水平下的总体均值与平均值的差异，这个差异称为这个差异称为 的效应的效应，iiA10riiin(4)由式由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的可以得到单因素方差分析的等价数学模型等价数学模型它满

9、足它满足11riiiiinn(3)再令再令1riinn式式(5)表明：样本由表明：样本由总平均值总平均值 因素的因素的水平效应水平效应i 随机误差随机误差ij三部分叠加而成。三部分叠加而成。因而式因而式(5)也称为也称为线性可加模型线性可加模型。(5)21,1,2, ;1,2,(0,)0.ijiijirijiiiXir jnNn 且且相相互互立立, ,方差分析的任务：方差分析的任务：检验线性统计模型检验线性统计模型 (1.1) 中的中的 r个总体个总体2(,)iN i 中中的的各各 的的相相等等性性，即即有有0121:1.2 ,rijHHi j （）至至少少有有一一对对0121:=01.2 :

10、0riHHi （）至至少少 ii 等等价价假假设设：检验此假设的问题就是检验此假设的问题就是方差分析方差分析. iA记记在在水水平平下下的的样样本本看看作作一一组组，记记组组内内平平均均为为11iniijjiXXn 111111, inrrijiiijiriiXXn Xnnnn 其其中中样本总平均样本总平均A1(X1)A2(X2)A3A4(X4)1XX2X4X 41X 414XX 4XX 总离差平方和为总离差平方和为211() inrTijijQXX 全部数据与总平均之间的全部数据与总平均之间的差异差异, ,又叫总变差又叫总变差211()()inrijiiijXXXX 分分解解221111()

11、()iinnrrijiiijijXXXX 11 2()()inrijiiijXXXX 下面证明交叉项为下面证明交叉项为0 0，因为，因为111111()()()()()()0iiinrijiiijnriijiijnriijiiijXXXXXXXXXXXn X1110iiniijijnijiijXXnXn X 总离差平方和分解为总离差平方和分解为EQAQ （组内离差）（组内离差）（组间离差）（组间离差）EAQQ221111()()iinnrrijiiijijXXXX 211() inrTijijQXX 211()inrEijiijQXX 组组内内离离差差 反映反映Ai 水平下的子样均值与样本值之

12、间的差异水平下的子样均值与样本值之间的差异,它它是由随机误差引起的是由随机误差引起的, 叫误差平方和叫误差平方和.总离差平方和的分解为：总离差平方和的分解为： TEAQQQ 22111()() inrrAiiiijiQXXn XX 组组间间离离差差 反映反映 Ai 水平下的子样均值与总平均值之间的差异水平下的子样均值与总平均值之间的差异,叫水平叫水平Ai 效应的平方和效应的平方和211()inrEijiijQXX 22211()1inijiijXXn （） 22221111() ) (1)inrrEijijijiQXXn 22 () EQnr 即即2()()EE Qnr 2 , ,由由分分布布

13、的的可可加加性性 2222 () , (), ().EEEEQnrQnrQQEnrEns 知知：的的自自由由度度为为并并且且有有即即22111221()() =inrrAiiiijiriiiQXXn XXn XnX = =11riiiXn Xn 222211()()()() rriiAiiiiE QEn XnXn E XnE X 1111, .inrrijiijiXXnnn 其其中中所所以以2221111(),().rriiiiiE XnD Xnnnn 22111221()() =inrrAiiiijiriiiQXXn XXn XnX = =222211()()()() rriiAiiiiE

14、QEn XnXn E XnE X221 ()(1).rAiiiE Qrn 22221()() riiiinnnn 2222111(1)2 rrriiiiiiiirnnnn221(1) .riiirn 10riiin 2221(1) riiirnn 122211(),1().riiiriiE XnnD Xnnn 即即221 ()(1).rAiiiE Qrn 22111()() inrrAiiiijiQXXn XX= = TEAQQQ211()inrEijiijQXX 2,()().EE Qnr 221()(1) . rTiiiE Qnn 2( ,)ijXN 则则且且相相互互独独立立. . 211

15、222()(1) jnsijjiTXXQn 012 :rH若若 2()(),EE Qnr 2()(1) . TE Qn AEQQ与与相相互互独独立立. .AETAEQQQQQ与与相相互互独独立立，QA的自由度为的自由度为r-1.-1.2222222(1), (),TAETEQQQQnQnr 022(1) HAQr 222222(1),(),(1).TEAQnQnrQr 012 :0rH 即即：若若 成成立立时时， F取取统统计计量量/(1),/(1). (1,) AEAAQQrQQrFF rnr 22/(1) /()AEQrQnr /(1):/()AAEEQrQFQnrQ F 分布的分位数回顾

16、分布的分位数回顾对于给定的正数对于给定的正数10,称满足条件称满足条件1212(,)(,)( )FnnP FFnny dya的点的点为为分位点。分位点。分布的上分布的上),(21nnF),(21nnF),(21nnF查出查出给定给定(1,)Frnr 的的值值，,AEQQF由由样样本本值值算算出出从从而而算算出出 的的值值，由由于于221()(1).rAiiiE Qrn 0:0 AjHQF 若若不不成成立立, ,偏偏大大, ,导导致致 偏偏大大, ,因因此此00(1,);(1,);FFrnrHFFrnrH 若若，则则拒拒绝绝若若，则则接接受受即认为因素对试验结果无显著影响。即认为因素对试验结果无

17、显著影响。2()(),EE Qnr 方差方差来源来源平方和平方和自由自由度度均方均方F值值因素因素A(组间组间)r-1误差误差E(组内组内)n-r总和总和Tn-11AAQQr EEQQnr AEQFQ 一元方差分析表一元方差分析表(1,). FF rnr21()riAiiQn XX 211()inriEijijQXX211()inrTijijQXX 为了计算的方便为了计算的方便, 常采用下面的简便计算方常采用下面的简便计算方式式, 记记22111121111() , () ,. iiinnrrijijijijinrijijQXPXnnRX , ,. AETQQPQRQ QRP可可以以证证明明：

18、例例2 2设对设对四种玉米品种四种玉米品种进行对比实验，每个品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？平均产量是否有显著影响？(=0.01)品种品种产量（斤产量（斤/小区）小区）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8 34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8解解 分别以分别以 表示不同品种玉米平均表示不同品

19、种玉米平均产量总体的均值，按题意需检验假设产量总体的均值，按题意需检验假设1234, 01234:H11234:,H 不全相等1234nnnn=5,1234nnnnn=20656.4,ijx 221677.50ijx 4r 品种地块产量1A2A4A3A1 32.3 33.3 30.8 29.3 172.1 173.9 168.5 141.9 656.45 36.5 34.5 35.8 28.84 35.0 36.8 32.3 28.03 34.3 36.3 35.3 29.82 34.0 33.0 34.3 26.0521()ijjX521ijjX 5923.682 6048.242 5678

20、.45 4027.122 21677.5029618.41 30241.21 28392.25 20135.61 5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22表表351ijjX521() / 5ijjX2121677.5656.42021725.22QPR，47.72ETAQQQ134.452可得方差分析表可得方差分析表656.421725.22182.17220TQ 2656.421677.520AQ表表5.4方差来源方差来源误差误差E因素因素A总和总和均均 方方自由度自由度平方和平方和显著性显著性F 比比47.72EQ 2.98EQ 15.04F 44.

21、817AQ 182.172TQ 134.452AQ 当当 时时，0.01由由F分布表可查得分布表可查得0.01(3,16)(3,16)5.29FF由于由于0.0115.045.29(3,16),FF故拒绝故拒绝0,H即认为即认为这四个品种对玉米平均产量的影响高度显著。这四个品种对玉米平均产量的影响高度显著。31916由上面讨论，可得未知参数由上面讨论，可得未知参数2,j 的估计的估计2ESns是是 的无偏估计的无偏估计。2.1111jjnnjijjjjjjjE XE Xnn11111jnssijiijijE XE Xnnn.,jjXX三、未知参数的估计三、未知参数的估计如果检验结果为拒绝如果检

22、验结果为拒绝 ，0H即即12,s 不全相等。不全相等。 有时需要对第有时需要对第j个水平及第个水平及第k个水平均个水平均值差值差 作出区间估计。作出区间估计。jk为此，我们可以取为此，我们可以取作为作为 的点估计的点估计，.jkXXjk注意到注意到.()jkjkE XX2.11()()jkjkD XXnn.()(0,1)11jkjkjkXXNnn又又2/ESns是是 的无偏估计，的无偏估计，2而而2/ES2(),ns可以证明可以证明 与与 相互独立。相互独立。.jkXXES.2()1/1/()jkjkjkEXXnnTSns.() ()11()jkjkEjkXXt nsSns nnjk的置信度为

23、的置信度为 的置信区间为的置信区间为1.211()()jkEjkXXtnsSnn例例3 3 求求例例2 2中未知参数中未知参数 的点估计及均的点估计及均值差的置信度为值差的置信度为0.95的区间估计。的区间估计。2J， ，解解 的点估计为的点估计为222.98EESSns= 及及 的无偏估计分别为的无偏估计分别为J45111656.432.8220ijijxn.(1,2,3,4)5jjjTxj.1134.42,5T2234.78,5T333.70,428.38。当0.05 时， /20.025(204)(16)2.1199tt0.02511(16)()EiktSnn12,13,的置信度为的置信

24、度为0.95的置信的置信区间分别为区间分别为22.11992.982.315541(34.4233.702.315,34.4233.702.315)( 1.595,3.035) 34.4228.382.315,34.4228.382.315(3.725,8.355)(34.4234.782.315,34.4234.782.315)( 2.675,1.955) 1213415.2 双因素方差分析双因素方差分析一、一、 双因素非重复试验的方差分析双因素非重复试验的方差分析例例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配

25、方试验一次，测得四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%300%定强如下：定强如下： 氧化锌氧化锌B催化剂催化剂A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？响？此例中有此例中有A，B 二个因素。二个因素。123,A A A1234,B B B B因素因素A 有三种水平：有三种水平：ijAB在每种组合水平在每种组合水平 上上 做一次做一次试验获得了试验值。试验获得了试验值。因素因素B 有四种水平：有四种水平：问因素问因素A,B分

26、别对试验结果有无显著影响？分别对试验结果有无显著影响？因素因素 A 有有r 种水平：种水平：一般情况，一般情况，设有二个因素设有二个因素A，B12,rA AA因素因素 B 有有s 种水平：种水平：12,sB BB1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX11X21X22X2rX12X1X1rX2sX1sXrsX2XsX因素因素B因素因素A在每一种组合水平在每一种组合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,ijXirjs上进行一次试验，结果为上进行一次试验，结果为ijX相互独立。相互独立。假设总体假设总体 服从正态分布服从正态分布 。ijX2(,)ijN 令令ijijijX20,ijN数学模型

27、数学模型ij相互独立相互独立令令111,rsijijrs11,siijjs11rjijir,iijj10,rii10sjj,ijij1,2, ;ir1,2,js10,rii10sij称为因素称为因素A在水平在水平 的效应的效应iiA检验假设检验假设0112:0rHjjB称为因素称为因素B在水平在水平 的效应的效应0212:0sHijijijijijX令平均数11,siijjXXs11,rjijiXXr1,2,ir1,2,js111rsijijXXrs1111rsijijXXXrs总离差平方和总离差平方和211()rsTijijQXX211()()()rsijijijijXXXXXXXX2211

28、()()rsijijsXXrXX211rsijijijXXXX112rsijijiijXXXXXX112rsijijjijXXXXXX112rsijijXXXX总离差平方和总离差平方和2211()()rsTijijQsXXrXX211rsijijijXXXX21() ,rAiiQsXX21()sBjjQrXX211rsEijijijQXXXXTABEQQQQ21()rAiiEQE sXX11siijjXXsii11sijijjs11riiXXr 21riiisE21riiisE22111()2()rrriiiiiiissEsE 221(1)riisr21rAiiiEQsE222(0,)(0,)

29、,(0,)ijijNNNsr221()1iErrs11()()0rriiiiiiEE 2221(0,),() (1)riirsNrrs同理可得2(1)(1)EEQrs221(1),sBjjEQrs221(1)rAiiEQsr令1,1AAQQr1,1BBQQs1(1)(1)EEQQrs2211riAisEQr2211sjBjrEQs2EEQ=当 成立时，01HAEEQEQAEEQEQ当 不成立时，01H0112:0rH0212:0sH 当 成立时，02HBEEQEQ当 不成立时，02HBEEQEQ221,1riAisEQr2211sjBjrEQs2EEQ当 和 都成立时，01H02H0,1,2,

30、 ;1,2, ,ijirjsijijijijX21()sBjjQr211()rsEijijijQ21rAiiiQs21riis当当 和和 都成立时，都成立时，01H02H21()sBjjQr211()rsEijijijQ21rAiiQs211()rsTijABEijQQQQ211()rsTijABEijQQQQ2221111()rsrsijijijijrs2ABEQQQrs222111,rsijijrs 2221rs2222222111111rsijABEijrsQQQ2AQ2BQ2EQ有一个约束条件：10rii2AQ的自由度为：1r 有一个约束条件：10sjj2BQ的自由度为：1s有r+s-

31、1个约束条件：10,rijiji10sijijj2EQ的自由度为：11rs2211 ,AQr2211BQs22111EQrs且且 相互独立。相互独立。,ABEQ Q Q命题命题1 当当H01，H02成立时，成立时，2211 ,TQrs22/(1)/(1)(1)AAEQrFQrs22/(1)/(1)(1)BBEQsFQrs1,(1)(1)AEQF rrsQ1,(1)(1)BEQF srsQ1AAQQr1BBQQs(1)(1)EEQQrs称为均方误差均方误差称为因素因素A引起的均方离差引起的均方离差称为因素因素B引起的均方离差引起的均方离差= 给定显著水平给定显著水平，H01 的拒绝域为的拒绝域为

32、(1,(1)(1)AFF rrs(1,(1)(1)BFF rrsH02 的拒绝域为的拒绝域为来源来源离差平方和离差平方和自由度自由度均方离差均方离差F值值因素因素A因素因素B误误 差差总总 和和21()rAiiQsXX21()sBjjQrXX112rsEijiijjQXXXX211()rsTijijQXX1r 1s11rs1rs1AAQQr1BBQQs(1)(1)EEQQrsAAEQFQBBEQFQ 记记11,rsijijTx21,PTrsIIIIII,.ABETQQPQQPQRQQPQRP2I111() ,rsijijQxs 2II111() ,srijjiQxr 211,rsijijRx例

33、例1 1 在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得测得300%300%定强如下：定强如下： 氧化锌氧化锌B催化剂催化剂A1B2B3B4B1A2A3A323535.538.533.539.536.537.539.5433836问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著问不同促进剂、不同份量氧化剂分别定强有无显著影响？影响？解解3,4,rs,ABF F可利用方差分析表得可利用方差分析表得214.15361122.030.3966.128.396.752.3556.5

34、BF 36.3AF 来源来源因子因子A因子因子B误差误差总和总和离差离差自由度自由度均方离差均方离差值值F查表得查表得 0.05,0.05(2.6)5.14,F5.14,4.76ABFF所以不同催化剂、氧化锌的不同份量对橡胶定强所以不同催化剂、氧化锌的不同份量对橡胶定强都有显著影响。都有显著影响。0.05(3,6)4.76F例例2 2 在一个农业试验中，考虑四种不同的种子品种在一个农业试验中，考虑四种不同的种子品种1234,A A A A和三种不同的施肥方法和三种不同的施肥方法 得到产得到产123,B B B量数据表如下。试分析种子和施肥对产量有无显著影量数据表如下。试分析种子和施肥对产量有无

35、显著影响。（响。（=0.05）农业试验表农业试验表（单位：（单位：kg）1A2A3A4A2B3B1B310317325330292310320370365318318316解解 本题是双因素不考虑交互效应的方差分析问题，本题是双因素不考虑交互效应的方差分析问题，其中其中 。计算出方差分析表中相应的数据：。计算出方差分析表中相应的数据：4,3rs211()1463.50rsEijijijQxxxx21()3824.25rAiiQsxx21()162.50sBjjQrxx/(1)3824.25/35.226/(1)(1)1463.50/6AAEQrFQrs/(1)162.50/20.3331/(1

36、)(1)1463.50/6BBEQsFQrs来源来源离差平方和离差平方和自由度自由度均方离差均方离差F值值因素因素A3824.2531274.755.226因素因素B162.50281.250.3331误误 差差1463.506243.58总总 和和5430.2511方差分析表方差分析表0.053, 64.76,F=不同的种子品种对产量有显著影响不同的种子品种对产量有显著影响 施肥方法对产量没有显著影响施肥方法对产量没有显著影响0.05(2,6)5.14F0.055.2264.763,6AFF0.050.33315.142,6BFF2.重复试验双因素方差分析重复试验双因素方差分析 在非重复实验

37、情形，仅考虑二个因素中各个因在非重复实验情形，仅考虑二个因素中各个因素的单独作用，即仅有因素素的单独作用，即仅有因素A的效应与因素的效应与因素B的效的效应。应。 一般情形，不仅各个因素在起作用，而且因素一般情形，不仅各个因素在起作用，而且因素之间的组合有时会影响试验结果，这种就是交互效之间的组合有时会影响试验结果，这种就是交互效应。应。因素因素 A 有有r 种水平：种水平：设有二个因素设有二个因素A，B12,rA AA因素因素 B 有有s 种水平：种水平：12,sB BB在每一种组合水平在每一种组合水平ijAB,1,2, ,1,2, ,1,2, .ijkXirjskt上进行一次试验，结果为上进

38、行一次试验，结果为假设假设 相互独立。相互独立。ijkX1BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11111211, ,tXXX1X 11121, ,rrr tXXX1 11 21,ssstXXXsX 因素因素B因素因素A21121221, ,tXXX2 12 22,ssstXXX12,rsrsrstXXX假设总体假设总体2,ijijXN 令令ijkijijkX20,ijkN数学模型数学模型ijk相互独立相互独立令令111,rsijijrs11,siijjs11,rjijir,ii,jjijijij10,rii10,sjj10,riji10sijj称为因素因素A在水平在水平 的效应的效应ii

39、AjjB称为因素因素B在水平在水平 的效应的效应ijijAB称为因素因素A,B在组合水平在组合水平 的交互效应的交互效应0112:0rH0212:0sH03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs检验假设检验假设平均数平均数111,stiijkjkXXst111,rtjijkikXXrt 1,2,ir1,2,js1111rstijkijkXXrst1111rsijijXXXrs 11,tijijkkXXt1,2, ,ir1,2,js1B2BsBiX1X2XrXX1A2ArAjX 11X21X22X2rX12X1X 1rX2sX1sXrsX2X sX 因素因素B因素因素A总离差平方和总离差平方和

40、2111()rstTijkijkQXX22112112111()()()rsijijrsijijijrstijkijijkstXXrtXXtXXXXXX ABA BEQQQQ21()rAiiQstXX211()rsA BijijijQtXXXX 21()sBjjQrtXX 因素因素A的离差平方和的离差平方和因素因素B的离差平方和的离差平方和2111rstEijkijijkQXX因素因素A,B交互作用引起的交互作用引起的离差平方和离差平方和误差平方和误差平方和TABA BEQQQQQ221(1)rAiiEQrst221(1)sBjjEQsrt22111 (1)rsA BijijEQrst21EE

41、Qrs t命题命题2 2令令1,1AAQQr1,1BBQQs1,(1)(1)A BA BQQrs11EEQQrs t2211riAistEQr2211sjBjrtEQs2EEQ221111rsijA BijtEQrs=当当 成立时，成立时，01H当当 不成立时，不成立时，01H 当当 成立时，成立时，02HBEEQEQBEEQEQ当当 不成立时，不成立时，02H0112:0rH0212:0sHA BEEQEQA BEEQEQ当当 不成立时，不成立时，03H03:0,1,2, ,1,2,ijHirjs 当当 成立时，成立时，03HAEEQEQAEEQEQ当当 都成立时，都成立时，010203,H

42、HH0,1,2, ;1,2, ,ijijirjsijkijijijkijkX命题命题3 3 当当 都成立时，都成立时，010203,HHH1,1AAEFQQF rrs t1,1BBEFQQF srs t11 ,1A BA BEFQQFrsrs t= 给定显著水平给定显著水平，H01 的拒绝域为的拒绝域为1,1AFFrrs t1,1BFFsrs tH02 的拒绝域为的拒绝域为11 ,1A BFFrsrs tH03 的拒绝域为的拒绝域为例例3 研究树种与地理位置对松树生长的影响，对四研究树种与地理位置对松树生长的影响，对四个地区的三种同龄松树的直径进行测量得到数据表如个地区的三种同龄松树的直径进行

43、测量得到数据表如下所示。下所示。1234,B B B B表示四个不同地区。对每一种水平组合，表示四个不同地区。对每一种水平组合，进行了进行了5次测量，对此试验结果进行方差分析。次测量，对此试验结果进行方差分析。23 15 2613 2125 20 2116 2121 17 1624 2714 11 1920 2428 22 25 16 2630 26 26 20 2823 15 26 13 2117 21 18 26 2323 15 26 13 2115 21 22 14 1223 15 1913 22 18 12 26 22 191A2A3A1B2B3B4B解解 本题是双因素考虑交互效应的方

44、差分析问题，其中本题是双因素考虑交互效应的方差分析问题，其中3,4,5.rst计算出方差分析表中的数据；计算出方差分析表中的数据；2111()926.00rstEijkijijkQxx21()352.53rAiiQstxx21()58.05sBjjQrtxx 211()119.60rsA BijijijQtxxxx /(1)58.05/31.0030/(1)926.00/48BBEQsFQrs t/(1)(1)119.60/61.0333/(1)1463.50/6A BA BEQrsFQrs t5%取，/(1)352.53/29.1369/(1)926.00/48AAEQrFQrs t0.05

45、2,483.23,F0.053,482.84F0.056,482.34F而位置效应及交互效应并不显著。而位置效应及交互效应并不显著。所以在显著水平所以在显著水平 下树种效应是高度显著的，下树种效应是高度显著的，5%0.053,48BFF0.056,48A BFF0.059.13692,48AFF5.3 正交试验设计正交试验设计12,sr rr1 2rrrr4381 如果有s 个因素，各因素分别有种水平，共有在每一种组合水平上都作一次试验，总共要作在每一种组合水平上都作一次试验，总共要作种组合水平1 2rrrr次试验。次试验。例如例如：有4个因素，每个因素有3种水平，总共要作 次试验。问题：问题

46、：在减少试验次数的条件下，检验每个因素对试验结果的作用是否显著？ 如果实验之前如果实验之前, ,不对实验进行合理的设计不对实验进行合理的设计, ,不仅会不仅会造成浪费造成浪费, ,而且即使实验次数进行得较多而且即使实验次数进行得较多, ,结果却不一结果却不一定会令人满意定会令人满意, ,因此合理地安排一定数量的实验因此合理地安排一定数量的实验, ,就可就可获得足够的信息获得足够的信息, ,这是个值得研究的问题这是个值得研究的问题. . 实验设计是数理统计的一个重要的分支实验设计是数理统计的一个重要的分支.实验设计实验设计的种类很多的种类很多,其中正交实验设计是通过事先设计好的其中正交实验设计是

47、通过事先设计好的一套一套”正交表正交表”来安排实验的来安排实验的. 借助正交表可以选出具有代表性的实验借助正交表可以选出具有代表性的实验,以较少以较少的实验次数所取得的数据进行统计分析的实验次数所取得的数据进行统计分析,而能得到满而能得到满意的结果意的结果.-对较多因子进行较少次数的实验对较多因子进行较少次数的实验,希望希望获得较好的检验效果获得较好的检验效果. 本章只介绍如何使用正交表安排实验本章只介绍如何使用正交表安排实验,并进并进行统计分析行统计分析,而不讨论正交表的构造原理而不讨论正交表的构造原理.782L列号试验号12345671234567811112222112211221122

48、221112121212121221211221122112212112L 正交表 8试验次数2水平数 7表中最多可安排的因素数493L列号试验号1234567891234111222333123123123123231312123312231342L常用的正交表有782L15162L31322L493L13273L4164L正交表有如下两个性质:(1) 每列中不同水平出现的次数相等(n/s)(2)任意两列,将同一横行的两个数字看成有序数对 时,每种数对出现的次数相等.(n/s2)rnLS 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选择三个有关因素：反应温度（反应温度（A）、反应时间（）、反应时间

49、（B）、用碱量（）、用碱量（C）每个因素取三种水平，列表如下： 水平水平因素因素123反应温度反应温度(A)反应时间反应时间(B)用碱量用碱量(C)180()C A285()C A390()C A190()B分2120()B分3150()B分15%()C26%()C37%()C对正交表的要求：对正交表的要求：（1）正交表中水平数S与每个因素水平数一致（2）正交表中因子数r大于或等于实际因素数（3）选用试验次数n较少的正交表 493L假设三个因素中的任意二个都没有交互作用。问：问：反应温度、反应时间和用碱量分别对转化率有无显著影响？=选用 将A,B,C三个因素放到表头“列号”的前三列，在表中的组

50、合水平上作试验。，因为试验次数少一些。列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y假定因素A,B,C没有交互作用。设因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B效应效应表示一个因素在某种水平上与总体平均数的偏差。123,b b b123,A A A123,C

51、 C C123,c c c1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYabc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc上的效应分别为上的效应分别为因素C在水平上的效应分别为数学模型数学模型：111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230ccc20,iN约束条件列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3 3 2 1 3 3 1 2 2 2 1

52、2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y检验假设检验假设01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc记1123,AKYYY3789AKYYY111,3AAkK2456AKYYY221,3AAkK3313AAkK分别表示因素A在1,2,3水平上试验值123,AAAkkk的平均数。列号试验号 1 2 3 (A) (B) (C)组合水平试验值1 1 1 3 3 2 1

53、3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 1 111A B C122A B C133A B C212A B C223A B C231A B C313A B C321A B C332A B C12345 67891Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y令1147,BKYYY3369BKYYY2258BKYYY=因素B在1,2,3水平上试验值的平均数分别为111,3BBkK221,3BBkK3313BBkK=因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为111,3CCkK3313CCkK221,3CCkK1168,CKYYY3357CKYYY令2249CKYYY试验号A

54、CB转化率123456789111122233323123123123231312315438534942576264化工产品转化率的试验值化工产品转化率的试验值=试验值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk由转化率试验值,计算得1315438123AK123141,165,144BBBKKK123135,171,144CCCKkk3576264183AK2534942144AK试验值的平均值12341,48,61AAAkkk12347,55,48BBBkkk12345,57,48CCCkkk=因素A的极差为614120因

55、素B的极差为55478因素C的极差为574512=因素A对转化率的影响最大 因素B对转化率的影响最小设因素A在水平 因素B在水平123,a a a123,B B B123,b b b123,A A A123,C C C123,c c c上的效应分别为上的效应分别为因素C在水平上的效应分别为数学模型数学模型：1111131333522357313791329,YabcYabcYabcYabcYabc21222Yabc42124Yabc62316Yabc83218Yabc111112122231333421245223562316731378321891329YabcYabcYabcYabcYab

56、cYabcYabcYabcYabc1230aaa1230bbb1230ccc20,iN约束条件检验假设检验假设01123:0Haaa02123:0Hbbb03123:0Hccc记样本总平均9119iiYY总离差平方和921()TiiQYY12313AAAYkkk12313BBBkkk12313CCCkkk921()TiiQYY321111111() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY622222224() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY923333337() () () (2 )ABCABCiikYkYkYYkkkY2221233 ()()(

57、)AAAkYkYkY2221233 ()()()BBBkYkYkY2221233 ()()()CCCkYkYkYEQTABCEQQQQQ2221233()()() AAAAQkYkYkY2221233()()() BBBBQkYkYkY2221233()()() CCCCQkYkYkY因素A引起的离差平方和因素B引起的离差平方和因素C引起的离差平方和误差平方和AQBQCQEQ记AQ的自由度为 2123()()()0;AAAkYkYkY同理，的自由度为 2，CQBQ910iiYY921TiiQYYAQ有一个约束条件的自由度为 2有一个约束条件TQ的自由度为 8ETABCQQQQQ8 2 2 2

58、= 2的自由度为定理定理2222(3),CABEQQQQ相互独立。（2）当推论推论 当2,2 ,AAEFQQF2,2CCEFQQF2,2BBEFQQF 22(1)2EQ010203,HHH成立时， 2222222 ,2 ,2CABQQQ010203,HHH成立时，给定显著水平，H01的拒绝域为(2,2)AAEFQQFH02的拒绝域为(2,2)BBEFQQFH03的拒绝域为(2,2)CCEFQQF来源来源离差离差自由自由度度均方来源均方来源F值值AQA2BQB2CQC2误差误差QE2总和总和QT8方差分析表方差分析表22AASQ22BBSQ22CCSQ22EESQ22AAEFSS22BBEFSS22CCEFSS 为了考察影响某种化工产品转化率的因素，选择三个有关因素：反应温度（反应温度（A）、反应时间（）、反应时间（B）、用碱量（）、用碱量（C）每个因素取三种水平，列表如下： 水平水平因素因素123反应温度（反应温度（A）反应时间（反应时间（B）用碱量用碱量 （C）180()C A285()C A390()C A190()