理论物理导论热统答案

1、第七篇第一章统计理论基础1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。1.解：假设我们考察的系统是 n mol的理想气体,由于理想气体状态方程为:故定压膨胀系数:而等压压缩系数：1 ,0二/ RiPU二林 Rf 检 RT=L11 .nRTnRTnRT1VP2声，PVP成 TqPP综上有理想气体(n mol)：1a=T2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数 常数，试求此气体的状态方程。a= KrPV ,一7,R,其中洛k,a都是2.解：根据题意:)V 8TnRPV i .sr. 1 a& =()F =1V dP P V把体积V看成是T,p数并微分有：dvdvdV =("),盯+

2、 (匕)丁"二 a硒-kVdP dTpdPT丹衣“J (3E=风灯(_+_跖?产PV P V= dT-dP-adPP P=F亚= nRdT- VdP- aPdP=> Ed，+ 用尸= nRdT-aPdPdPV)= nRdT-aPdP两边同时积分有:由极限情况下：故：得到：PVnRT-aPC2>.,/匚一0=015P7 = nRT-aP23. 一弹性棒的热力学状态可用它的长度 L,应力描述f和温度T关系却为其状 态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：df-aAYdnAYdL/L其中工为棒横截面积，a为线膨胀系数，y为杨氏模量v坨、I,况、y

3、-(r)T r ,q二一()#3.证明：杨氏模量的定义:A淡T与类比线胀系数：L Q对长度I积分有:n上4二-皿T+dZAY Jj4yAYn" = -aL*一dT+二L上= -aAYdT + AY L证毕4.对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程:/（p）=4证明：（a） - -、P7=RT-（b）状态方程：T4.证明：（a）由：SV dV四=（方）严+（而）/尸二名+4-琰功dPP T2八AT（Dn/嗤三刑B MQ（T, P）又由：加、R a（）p = I-8T ? P T2(2)/=*/岑4+以产）（2）式两边对P求导（T 一定时）：歙=与+。+4尸）此式与歙=爷+

4、°""）比较可知：Rf （P）=卢（因。口（产）与t无关n也与p无关）/（产）二审将.'尸带入（i）式有：，二竺-2 +空+C（T, P）PTP二丝+qX p）-PT0印= 2RT型”依P） T当Pt。时,P7二RT,故PG（l P"R7PV = PT- T5 .试给出半径为的维球体积:匕二市小q+ 1）5.证明：在半径为1的以维球区域内积分为:2 ?”"+；*.心”W4工A J界 -8=（ "（H）=总上/父一/Qn-1以另一种方式求上述积分有:片工命9鹤牝=-端也T=j±T由两式可知：S / Xj=/r -+i1

5、2 t;（i）= cx = cK=/rK?证毕6,利用附录给出的斯特林公式：lnM=NlnM-N（N>1Q）证明上题中的系数Q满足下式:%。）6.证明：第一部分:只要将上题中解答过程的（3）式中的n换成3V即得。故关键是证明第二部分即有（1）式成立，故待证命题成立证毕第二章统计热力学基础1 .单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能量比占据 间隙点时高。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数 N o（a） 考虑有丹个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的嫡（b） 设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？（c） 若F=晶体的温度时300K,处于间隙点的原子

6、所占的比例是多少？ 解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量 号,则占据格点时能量 %£ 现有卅个原子占据间隙点故有（加一用）个占据格点。此宏观态对应的微观态数愣二。*）故嫡:S® = 的 姑 Q =0 1.£（）2加=温口（：）, 词,"一切I=2上/Ml口改一 Tn国-（N-"）ln（M阀力（b）按（a）中晶体达到平衡总能量：U 二编+(N-Q(0 + e)根据:"=令榕T du=7=容竹二管）呼dscts£ 1国三工(d)由一郎二1 6x10* J7 二 300K = 1.38xlO-3J/代入（b）式求得:-=

7、1N2 .考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由n个长度为a链环沿着工轴，但可以重 叠（如图），链条两个端点的距离为 工，系统是孤立的，链环各种方位有相同的能量，证明工加!时可以得到胡克定律。证明：我们从端点。开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“ 十”， 指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为 4 ,所有指向左方的链环数 为IL 则总链环数为：»=»,+» + 且几何关系： =（烈+月_）0na + xna-x=冷,=，检=*+2- 2a两端链条间隔为I的这样一个宏观态（即一定2使X一定）对应的微观态数故嫡s k£ In Q=上3（月山烈

8、一科+1口舛+一用n用一）. .1 .1 . X. 1 , 工一 1 ,工、1=B 网口 -Jin -(« +一) 一三 5 一 -) 3 £再- -)1 2 a 2 a 2 a A a故张力:f急噜怙萱2 ak T 1 + -二组In也为1天用胃当加时，即曲I时有张力近似地为:斤=里,2£ =笛彳2a na na=kxk =(na为比例常数)此即为胡克定律。证毕:20.证明下列平衡判据(a)在S,7不变情形下，平衡态的U最小.(b)在$内不变情形下，平衡态的 月最小。证明：(a)对于封闭系统，由热力学第一定律dU = dQ+豳 = dQ-d%热力学第二定律dQ&

9、lt;TdsdU<Tds-dW=Tds-pdV-dWds = 0*=0 ndUWO表明S,7不变时，系统进行的方向是沿着 U减小的方向，直到达到平衡时 U最 小.(b)热力学第一定律可以得到dU<Tds-dW = Tds-pdV-dW(唯是非膨胀功)nda=d(U+ pV)dUpdV+VdP 三独+磔-崂当S4不变时，即dS=。，吻=Q且无非膨胀功/踪二0 ,有:H最小。证毕."T图上的斜率比液，气两相平dH<0故系统沿着月减小方向进行，直到达到平衡时22 .在三相点附近，固，气二相的平衡曲线在 衡曲线的斜率陡，试从物理上说明。答：由克劳修斯一一克拉拍龙方程：dp

10、_4冲而一._ .期)可以知道，再三相点时为一定，故平衡曲线的斜率主要起决于其物理意义在于：以 夕相变到。相过程中，单位摩尔体积改变所吸收的潜热。所以周一气二相的平衡曲线在p-7图上的斜率比液-气两相平衡曲线的斜率陡, 说明从周到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热大于从液到气二相单位 摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热。物理实质在于：固相到液相，液相再到气相 可以等价于周相到气相，故%* > K气而周到液的改变一般不大，故近似地/圆_,=>就一加气显然这样j/®_ /气)*)_ /得到解释。23 . (a)用自由能判据，而不是用自由始判据证明麦克斯威等面积法则。 (b)用热

11、力学第二定律证明等面积法则。23.证明：假设幺段表示实际气体气一液平衡相变过程，按照自由能判据，由dF = -SdT=pdT可知在工点与3点，有相同的温度，故：dF-pdV对（1）式两遍从幺->£求积分：自由能是状态量，与积分过程无关。（2）式右边按A7OTB积分与按A O7B积分所得值完全相同按照一重积分几何意义有:此即等面积法则。（2）若按热力学第二定律:dQ<TdSJ T考虑在a.b两点4M，鼠 “均为态函数的值， 由（1）式:将（2）是按两种不同方式积分（路径）积分，一种沿A4O4 B 一种ATJON -B证毕第三章统计系综1.将方各近独立的频率U为的谐振子组成的

12、系统，每个谐振子的能量为/ 1,£= n + -jftv(a)求当系统的能量为£二即W2+My时的微观态数和嫡 (b)求当系统达到平衡时，此系统能量与温度的关系，并和§解：(a)假定N个独立的谐振子对应的量子数分别为”而根据题意M = ni+n2 +% =则系统的微观态数即相当于将 /个东西分配到M个不相同(可以区别)的容器 中的方法种数，(可等于0相当于容器可以是空的.故：s =篇 InC= /rBln(M +由斯特劳林近似公式：=kM + JV-l)ln(M + N-1) -MlnM - WliiN考虑面可近似的取：爆(M + MhW + Wln 财-MnN(

13、2)根据温度T定义：7 =(而)即=1 OsLa? 8m8M dE= kB ln(M +JV,dE由（2）式所以总能量:E= Mhv- + Mhu2=/?v( +2)6如1Nhv与§,由于这里是M个谐振子。故应该说此结果与用正则分布所得的结果完全 一致2 .设有川个独立可识别粒子组成的系统每个离子有两个可能状态，一个能量为0的状态，一个能量为£的状态，求系统的配分函数，内能和热容量，并证明当 温度很高与？ >> £时。0c 7 当温度很低上/ << *时，）。解：根据题意，配分函数2满足可分解性，先求出单个可识别粒子的配分函数:4=本即+0

14、-肉=1+"腐故系统的配分函数：Z=Z"Q +产产一可求系统的内能：耶31n(l+系统的热容量二 / 立方（3）q+它4ykBT »f<=>-L«l由（3）式讨论极限温度下情况 当温度很高时。即端 时;由（3）式k3T «O »1当温度很低，即与7 时Cy = HillA->W=hm里ex3 .一块晶体包含N个原子，原子的自旋磁矩为 A),被置于均匀磁场/中，这些 原子可取三个取向：平行、垂直、和反平行磁场，求(a)晶体的配分函数(b)晶体的磁矩(c)高温弱场和低温强场的磁矩(d)求原子磁矩平行、反平行和垂直于外场几

15、率，并由此求磁矩(不考虑磁矩间相互作用)解(a )将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数 z=(zf=(£短户=刚日+建+/转产 /=(-掰营+1+自融口严工=%笈=儿7Z+F + 打(2)= (2chx+Tf(b)从热力学方程dU=侬+京d而>dlf = dJ-H-M)=Tds-MdH= sdT -WdH可导出晶体磁矩：4SlnZ二3洌ii(2c加+1产dH5产吟1)3 dH_ 2N+hx吊2cAx + l(c)高温弱场时，即晶体磁矩M按M =式子求极限凶吊0+工1+工)=4加工l+1+x+l-x2*H3 kBT当低温强场时M = 此时(d)设原子的磁矩平行、反平行

16、和垂直于 H的几率分别记为p = L-陷=上 +42chx +1E = e =. *Z12t?Ax + lp = Jig-/扁=!+ZIchx +1故原子磁矩<m >=工阿与i二只4-R及 + 0_&-1)从2(?fcc + l8H故:<M >= N<m>+1+/_ 2 Nhx2chx +14,绝对温度为的固体，每单位体积中有 1%个带负电荷杂质离子，这些离子代替了固体中的若干正常原子，整个固体呈中性。因为每个具有的离子，在其邻近都有一个电荷为g正离子，正离子小，因而能够自由的在晶体中移动，在无外场下，它以相等的几率位于静止的负离子周围等距离的位置上

17、如果沿着X方向，加月，是求极化强度。即单体体积内沿着 工方向的平均偶磁极矩？解：每种情况正离子在负离子周围形成电偶极矩大小解：电偶极子在E中能量可能值Q)由此单个偶极子配分函数4 = 2产=294，/。力> = 25 + 吟=4 那(2)故Z = 4叫所以极化强度3F*SlnZ &c dE1 dZ &:Z dE6.假定系统由叫个相同的独立结点对组成（线性聚合体中可能有两种情况） 每 一结合对包括阿A结点和B结点，A,B结点最多只能分别被一个分子战友。A结点上吸附一个分子时，其能量一，B结点上吸附一个分子时，其能量-近.A,B 结点上都吸附一个分子时，还有相互作用能 J ,

18、不同结点对的分子间没有相互 作用，求吸附率：J 211一.'"解：将每个结点看成是一个开放系统，现求子巨配分函数4：_ N g炉。-户均 + Z 风* + Z/说一两*二十目知*癖* +/内4间产。一3二1+俨"）+洌心川+洲圻产，尸）（ i）由（1）式可知个独立结点总巨配分函数:72 = Z=户(+,)产("+5)向 2-1 +电+色+营吸附平均粒子数：;二讥+q）仇+&&）做2*-%-）_ M冒十鱼 炉+色A用）-1+,-（+"）+.产沁为）+已网2*二安7）目仇"+'）点阴孱与）点磁- J-J）"

19、丁一葛一一砺寸的4）户（2以一分 %一%）1 I g-I g+ 电7.固体表面由 斑个相同的近独立的结点组成，每个结点可吸附 S个分子S= .m,当结点吸附S个分子时,结点能量为：-陶用 叫鱼”分别代表 吸附0个分子，1个分子， 和m个分子的结点数，显然有： 甲比二叫£玷=切£5-0（1）N为吸附的总分子数，求系统的配分函数，巨配分函数， 巨吸附率，通过此题你 对正则系统和巨正则函数的应用有何体会。10.为了计算石墨的比热采取以下简化模型。石墨具有高度各向异性的品格层。每个碳原子作三维简谐振动。在平行于层的方向回复力很大。因此在 x,y方向 （层的平面内）本征频率均等于比M

20、l,很大。有她* 3。%.另一方面，垂直于 层的恢复里很小，因此在£方向本征频率叫很小，有尿j,3QQh .按此模型， 石墨在300K的摩尔热容量是多少？解：设1阴石墨中含有c原子数M,则由于相邻原子间有很强的相互作用，每 个原子只能在格点（平衡位置）附近捉微振动，每个原子有三个自由度。在简谐近似下，可以简正坐标变换，使3%个耦合线性谐振字转化成个独立的线性谐振子，由题意知：3Ml个谐振子中有犯个频率小./个频率为小2J系统总的配分函数31n Z u 儿期光崛 hw, hw,二2+ 2叼J +N1 + 为 a 2 A(/1 -1) A 2* a叫-1)根据热容量定义：帆30%第八篇理

21、想气体第一章波尔兹曼气体1 .表面活性物质的分子在液面上二维面 由运动可看成一种二维的理想气体 (a)试由M -B分布导出二维理想气体的分子速率分布并求平均速率，最可几率和均方差速率(b)试计算二维理想气体的内能 U，嫡S,压强P和热容量Cs, Cs的下标s为二维理想气体的面积。解：按照二维m -b分布理想气体的质心在Llr+dr，pLI p + dp范围内的分子数 dN(r, p)简并度故有:dN(r, p)=2mNe-：(Ne22d rd ph2*2-碌 u(r) ,内)d2rd2ph2"2一：(另'u(r) ,内)d2rd2p.22pmu(r)d2rd2ph2h2-e

22、.内内=12(2m u(r) djrdjh24NeT2 P2md2pe2md2p eu(r) 2d r现在我们只考虑分子速率分布，故将(1)式两边同时对d2r积分有Ne2mdN (p);dPxdPye 2mdpx.e2 dpyN -px2 py2)e2二 mkBT2m dpxdpy进一步将Px = mVx, Py = mVy带入上式有dN(v)=mN2 二 kBTm"T，22、(Px -Py )dvxdvy在球坐标系中将dvxdvy换成，vdude并在(0，2n)范围内对日求积分dN(v)=Nmm 2vObT2二 KbTvdvd1Nmem 2,v22KbTvdvKbT(2)式即二维理

23、想气体分子速率分布我们再求出分布函数f(v)=2KbTKbTA,求平均速率m 2v dvB,最可几速率:0 vf (v)dv =eKbT2KbTKbTQO0e2KbT 2 .B v dv =KbT4"2KbT 3()2m4KbTKbTmvpC,方均根速率一 m 2 -v 2KbT3 .e v dv=0 v2f(v)dvKbT 0m 1(2Kb2KbT 2m2 KbTm(b)假设我们考虑的是单原子理想气体分子系统。则气体分子只有平动，其配分函数即平动配分函数，先在 R空间中求每个分子配分函数 乙1-2-(Px2 Py)Z1 = dxdydpxdpye m hh20 odxdy. ；dp

24、xe2-；-px2m晦 _Pdpye 2mPy2=与(2二mKBT)=生哗耳|川川|1|川|(1) hh故系统配分函数z NZ 二,N!(2二 m(TS 2)n=-1111111111(1111111111(2)N!再求ln Z = N ln(2 二 mKBTS) - 2N ln h - ln N!故压强p = KbTKbT：:ln Z:S£= PS = NKbT|川III川|川川1川(3)内能U 二 KbT” :T= KbT2，= nKbTHIIIIIIHIWIHIIH(4)S = KB(lnZU)=KBNln(2： mKBTS)-2Nlnh-lnN! N|IIHIHIIIIIIH

25、H (5)热容量FUCs = (-)s = nKbIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIH(6):I以上(3) (4) (5) (6)即为要求热力学量。2.在容器中储存有K种惰性单原子气体组成的混合系统，系统的温度为T。体1有个N1分子，气体2有N2个分子，气体K有Nk个分子 (a)通过计算系统的配分函数求系统的状态方程(b)系统的总压强于第i种气体的分压P (即第i种气体在相同温度下占有整个体积时的压强)的关系如何?解：假定所有这K种惰性单原子气体组成的系统是理想气体系统且服从 M - B分布，多种不同的气体之间是近独立的，非定域的(a)故第i种气体分子的配分函数3i 2

26、 mikBT 2Z =V(-2-)h总的配分函数：7 i NiZiZ1Ni!V(32 EkB”NiNi!所以我们有系统总的配分函数：32 kBT、21N1 N2 I 皿，NkV (, 2) hNi!N2!lHHlNk!由式（1）求2二 kJ 3InZ =（Ni 町 |川 H Nk）lnV（ 畀）2 h33 3N11nmi N21nm2 I I - Nk In mk -222 ln N1! Tn N4 -1川- In Nk!故有:1nZp - kgT：V_ 1=kBTN - N = Ni N2 I川| NkV系统状态方程为：pV = kBTN（b）第种i气体压强1nZip = kBT：V1: N

27、ikBT-V1p = kBTN 与V相比可知p 二Np N二p 八 pi4,考虑一个质量为m固有频率为s的经典谐振子，试求它的配分函数和由N个这样的谐振子组成的系统的内能和定容热容量CV解：一个质量为m,固有频率为旧的经典谐振子能量p 1 2Ekr2m 2px pypz122 2=n 1k（x y z ）2m 2直接在N空间里求其配分函数:1- -k(X2 y2 Z2)- - (Px2 Py2 Pz2)Zi 3 e 2LedxdydzdPxdPydPzh1 :P Px2二 - Py2二 -1 Pz2= e 2m dPx e 2m dPv e2m dPz h3xyz1 ：m-x2: -1 :m-

28、，y2二 -1 -m- z2e 2 dx e 2 dy. e 2 dz _oO_oO_oO33="(2"叱尸(2"2/=(2 JbT)3(k = m )2h故总共N个这样谐振子组成的系统的配分函数r .N ?kBT、3NZ = Z1=()h -2- KbT=ln Z =3N ln h系统的内能:= kBT2dnZ. T2 1= 3NkBT2 ,= 3NkBT定容热容量:Cv = (-)vt=3NkB此结果恰恰使固体比热的经典模型的结论，它是量子解释在h .2二 kBT ： ： 1情况下的近似气体盛在长为L的5. N个单原子分子组成的理想气体，每个分子的质量为m立方

29、盒中，盒子的上下底与地面平行，重力加速度为g(a)每个分子的平均的动量是多少？ (b)每个分子的平均的势能是多少?(c)气体平均的总动量是多少?(d)当 如挈1及>>1时气体的热容量Cv解：(a)按麦克斯威速率分布dN(v) =N *4二(2二K b T3)'ei2KbT2mv2 .v dv可得分布函数:f (v) =dN(v)/(dv* N)3 m v m 22 kbt二4二()2e B2二 KbT每个分子得平均动能：12 E = o -mv * f (v)dv2vv4dv3 m二1/ / m 、万-2kbtm4"()2e B0 22二 KbT= 3KbT/2(

30、b)同样由于粒子数按高度分布函数：f(Z)=mgKbT_mg Z "KbTe可得每个分子平均势能是L=0mgZ* f(Z)dZmg= KbT(c)先求某一个分子得配分函数,px py pz mgZ 2mmgZ* mg e可 dZ.0KbT,、2二(mg)mg _L e-KBT ZdZKbT-1I (p 2 -p 2 -p 2)/ 2m I mgZx y zdxdydzdpxdpydpz故气体总能量:mgFZdz(2二 mKBT/In乙=2 二 mKBTh23)2L2 mgKbTmg LKbT 、(1-e B )3, 27：mKBT ln(2h2kbt )2ln L InB-mgln(

31、1mg L-e-KBT )U =KBT2 InZ=nkbt.:T1nzimgL_mg L2 5= NKbT (- 2TKbTKbT e1 -eKbTjmg-LNmgLe 修5NKBT -2旦1 - e KbT当 mgL/T1 11 时此时CvNKbTNmgLmg LKTt .e B -1NKBT -NmgL* KbTmgLNKbT当 mgL/KbT -1 时5U = ； NKBT - NmgL*0这时按：:uCv =(7T)v5NKb有气体得比热为：2t，3 NKb 5NKb综上有两种不同极限下， 取值分别2, 26 .二氧化碳是线性三原子分子，具有四种不同振动方式得特区温 。振=hv/ Kb

32、分别是3360K, 1890K, 954K和954( 试计算在 T =312K时的热容量验值3.53R比较解：由C/振=R(。振C振C振)2e/(e -1)2G振对于特区温度1=3360K ,对热容量贡献c振Cv 1 = R(336031233603360)2e，/(弃 -1)2振 _同理。 = 1890K ,954 K,954 K时。分别对热容量的贡献为_振Cv 218901890“市Ye31""12 一 1)2C振_ C振 _ 口/Cv 3 - Cv 4 - R(954312954954荻/e312 -i)2故有:人振 八振 *八振 义振 4c 振Cv-Cv1Cv2Cv

33、3Cv4=3.4675R7 .极端相对论下粒子能量与动量关系 a = PC。求由这种粒子组成的M -B理想气体的热容量及状态方程，并与非相对论下结果比较。解：我们假设粒子系统粒子数 n先求一个粒子数的配分函数 Z1Zi = e3.31一d rd ph3pc d rd ph31一 pc 3T3,卞 e d p d rh3- pc 2e p dp8 二 VKb3T3,3 3h c所以总配分函数即故状态方程：内能Z = Z1N / N !3_1 (8二VKb TIn Z =N In3.8 二 VKb T3-)NP =KBT lnZFT1=KbTNVpV NKbT-ln N!U =KbT2、lnZFT

34、= KbT2N*3/ T= 3NKbTCv =(；:U)v =3NKb由此可见；状态方程与非相对论情况下单粒子理想气体系统一样，但热容量却 是非相对论情况下两倍10.假设爱因斯坦晶体中每个原子只作一维振动，蒸汽为理想气体。(a)证明当爱因斯坦晶体与蒸汽达到平衡时，蒸汽的压强为 P其中4为晶体中一个谐振子的配分函数， 4为蒸汽分子的配分函数。(b)设谐振子的能量为葬加a二012,3)每个原子结合在晶格格点上时，起能 量比在蒸汽中低品，求蒸汽压与温度的关系(c)国证明高温极限时上人和低温极限协加下，蒸汽压定律分别为dT T(a)证明：(A)由于爱因斯坦晶体与蒸汽达到平衡 设晶体原数n,蒸汽原子数4

35、-城In Z广-&7M +芍Tin可(D(B)以上是用正则系综做出的结果，下面用巨正则系综处卜面的关键还是求证7善由(4) (5)两式不难求出：瓦=qM 二 zj又：片叫(6)式父形为：考虑至用对故产，二17工叫中(7)Z(8)式代入(3)式既可得结论。(b)求蒸气压与温度的关系：且工/故4 一户44(5) 尸 J?y6(6)旦=1 +用vZ yr/= $ V-国加.，刖/' 2m%丁、31标/町 f，2nwabB7,>2 -质)式中k理工 二叱唔君网丝干(c)先将(b)中所求P表达式对温度7求导:这是一般的表达式(1)在高温极限下：即上/定如时玄二丝区J(2)在低温极限

36、下，&7如,同理求近似:曳尸其中11 .试用气体分子在重力场中按高度分布规律。讨论中学教材中有关大气压强的 问题。(a)根据统计理论，压强是由分子无规则运动碰撞产生的，而初中教材中说 “大气压强是由大气的重量产生的”两者是否有矛盾呢？给出你的结论。(b)初中教材中介绍，利用天平量储有干燥空气的烧瓶。可求得空气的质量。 有人指出，烧瓶的空气分子飞舞在空中，不象黄豆那样沉积在烧瓶的底 部？为什么能称得空气分子的重量呢？给出你对这一问题的论证。证明：(a)先求出分子质心按高度的分布：由教材知：疝=丁丁卜一期&加假设大气为理想气体，装在截面为 S的无限容器中，故可得到分数密度：鼠公_d

37、N得一觎空用J = =e脸 s kr记”为2=0是的分子数密度：考虑到,-网上黑-T ；融中=丝假加呼=叫S ,很显然地，P(2)是与大气重量(mg)紧密联系在一起的。如果不是因为大气有重 量。则=隼 做'=° ,并且上述大气压强表达式很好地反映了 P(z)随高度 的增大而减少的趋势：所以说在承重范围内，说大气压强是有空气的重量产生 的是正确的也是便于学生理解的。而统计理论中认为压强产生的机制的表述是 从微观上说的。其实，分子无规则运动碰撞也正是气体的重量。纬度等因素的 联系着，缺少这些因素，也就不可能产生压强，综上，两不矛盾。(b)由于Z二。时，即烧瓶底部处p(o)二哪/

38、s故气体对烧瓶底部压力F = P=Ng.这恰好是气体的总重量12 .氮原子能够被金属表面吸附，将氯原子从金属表面移到无穷远处要做一定量的功，在而为金属表面的上氮原子的运动是完全自由的。没有相互作用，如果这样的金属表面与压强为 p的氮气在温度为T处于平衡证明金属表面单位面/X1 例""电积上吸附的平均氮原子数是1(2加滋广)广建 证明：正则系综：记金属表面上氮原子配分函数 4,氨气2口，表面面积s，朋I*J 1【帆儿根据(1)(2)(3)口 2八 g力.2加成旦 In 上 层_ ( 27Mkk h* >N= N§ = V又因为：®nZj r尸【叫)r

39、y+ In £ - In 网34口/-MM-掷¥ k理.如)J 1 “S (2jtmW即是单位面积上吸附的平均氮原子数13.被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体: 用正则分布证明二维气体得状态方成为：X7纪产考虑分子间的相互作用，试物式1+B/S)色仁一 1)2.证明：按正则分布求_,T5nZ_l一廿一Zx小卡又Tirdr,S为液体面积。丝+纣sas-1)r -+fudrdr2uJ九（也”时耳=$八七）2孙0热 二87（%）2松山*-7 n+ra产口 =n-rs；A =（其中2 )4搜""+/=心"（）2圻心二对1+州:卜所办I 公/=普=

40、1+（：/2m打力L4Z（ 2V 0=1 口静=141 +元门卜）为田由于V 1，、(2)不0/卜）2加拆=（2）式上面可理解为全部分子作用之和则表示每个分子平均分得的空间面积, 对于稀薄气体,7NSC一N故（2）式右边远远小于1IV r 恸 * 、=f0/W2r（3）式代入（1）式可得到:座：灯FL)比较可知14.有某种气体，其两分子间相互作用克表示为方形势阱:oor <a花)=，一的 a<r <b0r>b-试计算其第二维里系数。解：第二维里系数表达式为：B 二一2冗尸否=(一 1),沙-9讶1尸_ 祈nJ：卡奢= 2tvN- 2然取 _ 1) 袅 层 A <?

41、=2不耿产-l)y+ 2疝M y15 (题未知)15. (a)证明：dG=-湿T+Fdp+udN由自由燎判对于反应物与生成物共同组成的系统 N=0,依=-劭7+磔据：平衡时应由6G二。,即：6(7= 527；+52+ 坦飒州 飒飒=% 5N+ % 5Ml H卜内 6M = 0婀=。=£冷阿o =。 ii“稣是常因子，故有(a)分布:证明：系统处于气相，且可视为气体，按巨正Ndin 4口弓二勺二口4（丁尸）v证毕（b）解：要求温度平衡常数，由（b）中定义易知需求 各组分的配分函数电子的V. =1原子的 电子配分函数:k2原子配分函数:而H原子配分函数:；2卜+ 1I 22mn 常p2初

42、巧产（d）同中求法:故:第九篇第一章涨落理论1.对于与外源有能量和体积交换，但无物质交换的系统，证明以下各式并从中 寻找规律侬砌=十%#如啖一吟术A噌= 为7（赤）FW侬叫=知潦）kdP3%=。此孙=0ATOD电%八）二-城为以二针二）”uVas血）Q=上/（*）m二-上/*）声证明：根据题意 讯二Q独立偏差量为2选择片A0为两个独立偏差量aw*qdgpA ThS - AFA V 二（行）v承也4 + CG 总门即一（布;）k即（宓 T）/ + （一 三;）二匕） ofovoToE由麦氏关系：A" Am心自*琰-*MA艰将代入式得到e（3rM"）与高斯分布比较有a)（c）3PdP:A尸=（而）+（行）了对。的出 uluvy dP y 0 dPo dP dP33 =（布）3（5奸乐）3（咻+ 2（方）中（而）丁"A"f% <-2t?i.01其中用到(d)S ="A%+飘网即二（AS）3二（第小的3 + （当"0% cT涉（ASQi）=（万）标37焉+ （妻）治力刀分OLOV=第德够啰小吟）3（-3蜷L打 3s 涉3P,T啰、二kb（三力加(e)更&