第四册向量学案

1、1向量的概念一、学习目标1、理解向量的概念、相等向量、零向量的概念、向量的几何表示。2、会用字母表示向量,能读写已知图中的向量. 二、学习过程（二）自主学习 阅读教材，思考下列问题：1、我们已经学习了很多物理量，其中位移、速度、力这些量有什么共同特点，路程、质量、密度这些量有什么共同特点，你能由此总结出向量的概念吗？2、向量的二要素是什么？我们一般怎样表示一个向量？长度怎么表示？3、如何理解以下几个概念：相等向量、向量的基线、共线向量（平行向量）、零向量、位置向量。三、典型例题例1、判断下列命题是否正确：若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上.（ ）若0，则0.（ ）若与是平行向

2、量，则.（ ）共线的两个向量，若起点不同，则终点一定不同. （ ）例2、O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出与、相等的向量.FEDCBA四、课堂练习1、下列说法正确的是（ ） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小。B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小。C、向量的大小与方向有关。D、向量的模可以比较大小。2、下列说法中正确的是（ ） A、若，则 B、若=，则=C、若=，则/ D、若，则与不是共线向量3、下列说法：两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；若且，则；当且仅当时，四边形ABCD是平行四边形. 正确的个数为

3、（） A、0个B、1个C、2个D、3个4、设P、Q是线段AB的两个三等分点，以A、P、Q、B四个点中的两个点为起点和终点，则不同的有向线段最多可得（）A、3条B、6条C、9条D、12条5、四边形ABCD中，且，则四边形ABCD的形状是.6、若D、E、F分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为 .7、若A地位于B地东5km处，C地位于A地北5km处，则C地对于B地的位移是.2向量的加法、减法一、学习目标1. 会用向量加法法则作两个向量以及多个向量的和向量,知道向量加法满足哪些运算律；2.会用向量的减法运算求两个向量的差向量，并理解其几何意义；3.知道向量的相反向量的定义二、

4、自主学习（一）、阅读课本P80-83，思考并回答下列问题：向量的加法法则有哪几种？（二）阅读课本P8485，思考并回答下列问题：问题3向量的减法和向量的加法有什么联系？怎样做出两个向量的差向量？问题4什么是相反向量？（三）典型例题：例1、(1)如图2，求+= (2)在ABC中+= （3）= （4）= 例2、已知平行四边形ABCD，分别表示向量.三、课堂练习1.如上图平行四边形ABCD,填空: (1) += (2) (3) (4) 2. (1)(2)= (3) = (4) = 3.在ABC中，,则等于 _.4. 在四边形ABCD中，则（ ）A.一定为矩形 B.一定为菱形 C.一定为正方形 D.

5、一定为平行四边形5.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ） A= B C D6.已知D,E,F分别是ABC边AB,BC,CA上的中点，则等式： ；其中正确的题号是_7. 对于非零向量，下列5个命题正确的个数是（ ）（1）若，共线，则；（2）若，不共线，则；（3）若，则，同向；（4）若，则，不共线.（5）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. ，则的取值范围是_.9. 在平行四边形ABCD中，若，则.3数乘向量一、学习目标:1.理解数乘向量的定义及其几何意义;2.掌握数乘向量的运算律,掌握向量之间的线性运算.二、学习过程：1.化简（1）; (2) 2. 阅读课本8687页，回答下面的

6、问题：(1)数乘向量的大小和方向是如何规定的?(2)数乘向量的几何意义是什么?请画图说明之.(3)数乘向量满足哪些运算律?请你用数学语言写出来.三、典型例题:例1.计算下列各式: 例2.设是未知向量,解方程: .OABB1A1例3如图,已知,请说明向量与的关系.四、课堂达标练习： 1.化简下列各式: 2.求未知向量: 3.在中，设D是边BC的中点，求证：（1） (2)4线性运算习题课例1、 化简下列各式：（1）=（2）=（3）=例2、点在的边上，且，设，求（用表示）例3、设是不共线的两个非零向量，若，求证：三点共线。课堂练习1、设为外接圆的圆心，则是（ ）A. 相等向量 B. 平行向量 C.

7、模相等的向量 D. 起点相同的向量2、在四边形中，则四边形的形状是（ ）A . 矩形 B . 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形3、若中，为的中点，则的值是（ ）A 1 B. 2 C. 3 D. 44、点关于坐标原点对称，是坐标平面上的点，且，则有（ ）AP、B、Q三点共线BA、P、Q三点共线CP、O、Q三点共线DA、B、Q三点共线5、的三个顶点及所在平面内一点，满足，则点P及ABC的关系是（ ）AP在内部BP在外部CP在AB边所在直线上DP在的AC边的三等分点上DCBA6、是两个不共线的向量，若三点共线，则 。7、在四边形中，点是对角线交点，若 则四边形的形状是 8、点分别是ABC三边的中

8、点，求证； 若交于点，求证。5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、 学习目标：1、 掌握平行向量基本定理，并理解两个向量共线的条件及单位向量的含义2、 掌握轴上向量的坐标公式，数轴上两点间的距离公式，并会运用两个公式解决实际问题二、 学习过程：阅读课本90-92页，回答下列问题：问题一：向量平行包含的情况？问题二：由能推出？由能推出？问题三：的单位向量怎样表示？与共线的单位向量怎么表示？问题四：轴上向量的坐标是如何规定的？如何进行运算？三、 例题解析：例1：已知：在中， ，求证：，并且例2：设两个非零向量与不共线，且，,，则证明三点A、B、D共线。例3：已知数轴上两点的坐标为，根据下列各题中

9、的已知条件，求点的坐标 （1），；（2），四、课堂达标练习：1、判断对错：（1）由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行。（ ）（2）单位向量都相等。 （ ）（3）向量和向量平行，则它们的基线平行。 （ ）（4）相等向量一定共线，不相等向量一定不共线。 （ ）（5）非零向量且 , 则。（ ）2、非零向量，不共线，且，则求实数的值为 3、在四边形ABCD中，2，则四边形ABCD是()A平行四边形B菱形 C梯形 D矩形4、已知数轴上三点的坐标分别为，求= ，= ，= 5、把下列向量表示为数乘向量的形式（1），；（2），；（3），；（4），6、如图对于平行四边形，点是的中点，点在上，且，求证：三点

10、共线6平面向量基本定理一、学习目标：1.学习平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；2.能够在具体问题中适当地选取基底，解决平面向量的分解问题及三点共线问题。二、学习过程：阅读课本96页到98页，完成下列问题。1. 平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个 的向量，那么该平面内的 任一向量，存在 的一对实数，使= 。（1）如何证明？（2）什么叫基底？平面的一组基底中可以有零向量可吗？（3）应用：P98练习A 1.已知基底，实数x,y满足等式：，则x=_；y=_.2.（1）A、B是直线上任意两点，O是外一点，则对于上任一点P， =t (tR)用，表示. （2）设

11、不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且 ，求证：A、B、P三点共线. 结论：A、B是直线上任意两点，O是外一点，则对于上任一点P，存在唯一的实数，使= ,叫做直线的向量参数方程式，其中实数叫做参变量，简称参数。令，点M是AB的中点，则 这是线段AB的中点的向量表达式。应用：令公式中分别等于2，-2,3，作出相应点P1，P2, P3,P4,P5在直线上的位置.AB三、典型例题：例1.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E， (1)(2)O是任意一点，求证：+=4.例2. 设非零向量不共线，则若，求证：(1)A、B、D三点共线; （2）试确定实数k的值，使共线.四、课堂练习： 课本P

12、98练习A 5. P99练习B 1.2.37向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、 学习目标：1、让学生知道向量的坐标形成过程，并且会求向量的坐标；2、 记住两个向量加、减、数乘的坐标运算法则；3、 会用向量的坐标运算法则解决具体问题，进一步体会数形结合思想。二、 学习过程：（一）复习回顾：如左图所示，是一组基底，试用基底表示以下向量= = = = （二）阅读教材99页和100页例1上面内容，回答下列问题：1、什么是正交基底？什么是正交分解？直角坐标系xoy的基底满足什么条件？2、向量在基底，下的坐标是如何定义的？在上图中，以点O为原点建立直角坐标系，且每个小正方形的边长均为1，试写出向量、的

13、坐标。= = = = 3、向量的坐标和向量在坐标系中的位置有关系吗？5、符号（x,y）在直角坐标系中有哪两重意义？如何区分？6、若=（，），=（,）则+= -= = 写出上面运算法则的推导过程？7、已知点A（，），B（，）则的坐标是什么？ AB中点坐标公式是什么？并写出推导过程？（三）应用：例1：在直角坐标系xoy中，向量、长度分别为2、3、4，其方向相对于x轴正向的转角分别为、，求向量、的坐标分别是什么？例2：在直角坐标系xoy中，已知点A（3,2）,点B（2,4）求向量的长度和方向。例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A（-1,3），B（-2,1），C（2,2），求顶点D的坐标。例4：已

14、知点A（-2,1），B（4,5）求线段AB中点M和三等分点P、Q（点P靠近点A，点Q靠近点B）的坐标。8用平面向量坐标表示向量共线条件一、学习目标：1、运用平面向量坐标表示向量共线的条件2、利用共线条件证明三点共线及写出过定点与已知向量平行的直线方程。二、学习过程：1、阅读课本103104页,思考下列问题：（1）两个向量平行的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个向量平行的条件？2、自主学习：（1）平行向量基本定理：_（2）设=(x1, y1) =(x2, y2) 三、典型例题例1、设，且，则_例2、已知平面向量 ， ，且，求例3、已知，求证:、三点共线四、课堂达标练习1、已知=+5，=2+8，

15、=3（），则（ ）A. A、B、D三点共线B . A、B、C三点共线C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线2、 已知=(1，1）,，若与平行，则实数x的值是（）A. -2 B. 0 C. 1 D.23、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D点的坐标是（ ）A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)4、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=的实数的值为（ ）A.1 B.-2 C.0 D.25、已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为（ ）A.

16、-2 B.9 C.-9 D.136、若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为_.7、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=_,y=_.8、已知ABCD中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O为对角线的交点)为_.9、已知实数x、y满足等式，求x、y10、已知点A（-1,1），B（0，-2），C（3,0），D（2,3）求证四边形ABCD是平行四边形。11、已知三点A、B、C的坐标分别为（-1,0），（3，-1），（1,2）且,求证：9向量的分解与向量的坐标运算习题课一、知识回顾： 1、平面向量基本定理和直线的向量参数方程式是什么？2、如何把向量进行

17、正交分解及向量的直角坐标运算公式？3、两个向量平行的条件是什么？二、例题解析例1、设是不共线的两个非零向量，且.若向量，试用将表示出来.例2、（1）已知且，求点及的坐标.（2）已知是坐标原点，点在第一象限，,求向量的坐标.例3、平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，求点的轨迹方程.2、在正六边形ABCDEF中，() A、 B、 C、 D、3、已知是所在平面内的一点，若，其中，则点一定在 （ ）A、的内部B、边所在直线上C、边所在直线上D、边所在直线上4、已知且，则x等于（ ）A、3 B、-3 C、 D、5、给定一个基底且，如果，求x=_,y=_.6、已知三点的坐标分别为，并且

18、，求证:.7、设两个非零向量与不共线，（1）若，。求证：三点共线；（2）试确定实数，使和共线.10向量数量积的物理背景与定义 1、 学习目标：1. 记住向量的夹角、向量在轴上的正射影及向量的数量积定义；2. 会求向量在轴上的正射影的数量，会利用定义求向量的数量积和两向量的夹角；会证明向量的数量积的性质。二、学习过程：阅读课本107-109页，回答下列问题：问题1： 两个非零向量，夹角的范围为 。 问题2：已知向量和轴，作出向量在轴上的正射影，并证明 。问题3：= _，由定义回答下列问题：（1）的结果是向量还是实数？（2）当，同向时， = ，此时 = 。（3）当，反向时，= ，此时 = 。（4）

19、当时，= ，此时 = 。（5）试写出向量内积的五个性质。四、课堂练习：1、已知向量、，实数，则下列各式中计算结果为向量的有 。 () 2.判断下列各题正确与否，并说明理由。（1）若，则对任意向量，有； （ ）（2）若，则对任意向量，有0；（ ）（3）若，0，则； （ ）（4）若0，则，中至少有一个为零； （ ）（5）对任意向量，有； （ ）（6）|； （ ）3.若，则向量的夹角范围为 （ ）A. B. C. D.4. 已知则在轴上的正射影的数量为_。5. 设|=12，|=9，=54，则与的夹角= 。6. 在中，|=3, |=4, C=30，则=_。7. 在中，=, =，且0，则是 三角形。8.

20、 在中，已知|=|=4，且=8，则这个三角形的形状为_。9.在中，三边长均为1，且=，=，=,则 .11向量数量积的运算律 一、学习目标：1、能熟练运用数量积的运算律；2、能运用数量积的运算律进行运算；3、会运用数量积判断两个平面向量的垂直关系。二、学习过程：（一）知识回顾：1、数乘向量的定义与几何意义是什么？2、平面向量数量积是如何定义的，如何求两个向量的数量积及夹角？3、向量在轴上的正射影的含义是什么？（二）阅读课本 ，思考向量数量积是否满足以下运算律：问题1：交换律： =？你能用数量积的定义证明吗？ 问题2：数乘结合律：=()=，请写出证明过程。问题3： 是否恒成立？为什么？问题4：若，

21、则是否成立？为什么？（三）经典例题：例1：求证：（1） （2） （3）例2：求证菱形的两条对角线互相垂直。（四）课堂练习：1、设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的个数是（ ）；A、0 B、1 C、2 D、4、设是任意三个非零向量且互不共线，有以下命题：=；不与垂直；。其中为真命题的是 （ ） A、 B、 C、 D、若向量垂直于向量和，（ ）A、 B、 C、不平行于，也不垂直于 D、以上结论都不正确、为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足,则点P一定在过的( )的直线上A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心、已知_、已知则、在中，已知、已知与都是非零向量，且与垂直，与

22、垂直，求与的夹角。12向量数量积的坐标运算和度量公式学习目标：1、 能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式；2、 能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题。一、复习回顾1、向量的数量积（内积）的定义： 。2、向量长度的定义： 。3、两个向量垂直的条件： 。4、两点之间的距离公式： 。 二、学习过程 阅读自学课本P112P113并回答下面问题：问题1：已知，请用坐标表示下列各式： ， 。 。问题2：由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？_.问题3：如果，则向量_.三、典型例题：例11.已知，求。2.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证。3.已知点A（1，2），B

23、（3，4），C（5，0），求BAC的正弦值。例2.已知三点，（1）求证。 （2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角。 四、课堂达标练习：1、已知且则向量在向量上的正射影的数量为 2、在中，若为（ ）（A）直角三角形 （B）正三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形3、若，且，则与的夹角为 4、若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 5、已知点A（1,1），B（5,3）有向线段绕点A旋转到的位置，则点C的坐标为 _.6、写出与下列向量垂直的单位向量：（1） （2） _.7、设向量，满足， 且与的方向相反，则的坐标为 . 8、已知坐标原点是正方形的中心，

24、顶点A（2,2），则其他三个顶点的坐标分别为 . (选作)9、已知中，点，求边BC边上的高。13两角和与差的余弦公式（一） 学习目标：1、会推导两角差的余弦公式和两角和的余弦公式；2、能利用公式求两角和与差的余弦,并会公式简单逆用。学习过程：（一）公式推导：1、如图所示，在单位圆O中，已知，求（1）点A和点B的坐标分别是什么？向量、的坐标分别是= ；= （2） （用长度和夹角表示）= （用坐标计算）（3）由上面的等式，你能得出= （4）由以上问题的解决，你有什么启示吗？2、如图所示，在单位圆O中，角对应终边分别是直线OQ和直线OP，试用 表示（1）写出点P和点Q的坐标： ；写出向量、的坐标分别

25、是= ；= （2）向量与的夹角与有什么关系？ （3）试用与的长度和夹角表示 ； 试用与的坐标计算表示 ；（4）由（3）你能得出什么结论： ；（5）推导出= ;(三)公式应用：例1：求、（写出计算过程）例2：已知（），求，例3：证明：（1）= （2）（3）（4）例4：化简求值1、cos 23cos 22sin23sin22； 2、cos 23sin 68cos67cos683、cos 80cos 20+sin80sin20； 4、cos 80cos 20-sin100cos110（四）课堂练习：1、练习A：1、2、3；练习B：1、2、3，将答案写在课本上。2、选作：（1）下列命题中的假命题是 （

26、 ） A.存在这样的和的值，使得cos（）coscossinsinB.不存在无穷多个和的值，使得cos（）coscossinsinC.对于任意的和，都有cos（）coscossinsinD.不存在这样的和值，使得cos（）coscossinsin（2）在ABC中，已知cos Acos BsinAsin，则ABC一定是钝角三角形吗？14两角和与差的余弦公式（二） 一、 学习目标：1、练习公式和cos() ；2、变角求值；3、综合应用二、 复习回顾：1、= ;cos()= 2、（1）cos28cos 73+cos62cos17= （2）cos（27+）cos（33+）+sin（27+）sin（33+）= 三、典型例题：例1（1）已知，求的值。（2）在ABC中，已知cosA，cosB，求cos C的值.(若将cosA改为sinA呢？)例2：（1），,且均为锐角，求（2）若，求（3）.已知：（，），（0，），且cos（），sin（）, 求：cos（）.例3：设为锐角，求证：。例4、（1）已知coscos，sinsin，求：cos （）的值.（2）已知，求的值。15两角和与差的余弦公式一学习目标：1. 能用两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式；2. 能运用两角和与差的正弦公式进行求值和化简.二 学习过程： (一).阅读教材P136-P137例3，完成问题.试推导两角和