第十章无穷级数

1、第10章 无穷级数【学习目标】 1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数

2、展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。【能力目标】【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式； 【教学难点】1、 比较判别法的极限形式；2、 莱布尼茨判别法；3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、 函数项级数的收敛域及和函数；5、 泰勒级数；【教学方法】启发式、引导式【教学课时分配】 (18学时)第1 次课 § 第2 次课 §2 第3 次课

3、67;3第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课10. 1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 定义10.1 设有无穷序列 , 则由此序列构成的表达式称为无穷级数, 简称级数, 记为, 即 , 其中第项叫做级数的一般项. 如果都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果为变量的函数，则称该级数为函数项级数.二、数项级数的敛散性概念级数的部分和: 作级数的前项和 称为级数的部分和. 定义10.2级数敛散性: 如果级数的部分和数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做

4、这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间的差值 叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中, 叫做级数的公比. 解 如果, 则部分和 . 当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当时, 因为, 所以此时级数发散. 如果, 则当时, , 因此级数发散; 当时, 级数成为 , 当时, 因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述，级数 例2 证明级数 是发散的. 证 此级数的部分和为 . 显然, , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 的

5、收敛性. 提示: . 例4 证明调和级数是发散的.证：对题设级数按下列方式加括号即得到新的级数可见当时，不趋近于零，故调和级数发散.小结：掌握无穷级数的概念、部分和数列及数项级数的敛散性，掌握调和级数和几何级数的敛散特性.作业：练习10.110.2 收敛级数的基本性质 性质1 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的.性质2 如果级数收敛于和, 则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛, 且其和为. 性质3 如果级数、分别收敛于和, 则级数也收敛, 且其和为. 性质4 级数收敛的必要条件: 如果收敛, 则它的一般项趋于零,

6、 即. 性质5 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数 （1-1)+（1-1) +× × ×收敛于零, 但级数1-1+1-1+× × ×却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 是发散的. 证： 假若级数收敛且其和为是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明

7、级数必定发散. 小结1.常数项级数的概念；2. 常数项级数的性质；教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意常数项级数的概念以及重要性质，要结合实例，反复讲解。作业 练习10.210. 3 数项级数的收敛性判别法 一、正项级数及其敛散性判别 正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界. 定理2(比较审敛法) 设和都是正项级数, 且un£vn(k>0, "n³N). 若收敛, 则收敛; 若发散, 则发散. 证 设级数收敛于和s, 则级数的部分和 sn=u1+u2+ × ×

8、; × +un£v1+ v2+ × × × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和数列sn有界, 由定理1知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾. 推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数N, 使当n³N时有un£kvn(k>0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当n³N时有un³kvn(k>0)成立, 则级数发散. 例1 讨论p-级数 的

9、收敛性, 其中常数p>0. 提示: 级数的部分和为 . 因为, 所以级数收敛. p-级数的收敛性: p-级数当p>1时收敛, 当p£1时发散. 例2 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, (1)如果(0£l<+¥), 且级数收敛, 则级数收敛; (2)如果, 且级数发散, 则级数发散. 证明 由极限的定义可知, 对, 存在自然数N, 当n>N时, 有不等式 , 即, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数的收敛性.

10、 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于r: , 则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 例6 判别级数的收敛性. 例7 判别级数的收敛性. 提示: , 比值审敛法失效. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限

11、等于r: , 则当r<1时级数收敛; 当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的. 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为 + . 例9判定级数的收敛性. 定理6(极限审敛法) 设为正项级数, (1)如果, 则级数发散; (2)如果p>1, 而, 则级数收敛. 例10 判定级数的收敛性. 解 因为, 故, 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例11 判定级数的收敛性. 解 因为 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、

12、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为, 其中. 例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 定理7（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件: (1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 则级数收敛, 且其和s£u1, 其余项rn的绝对值|rn|£un+1. 简要证明: 设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5

13、)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2n<u1), 所以收敛. 设s2n®s(n®¥), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 从而级数是收敛的, 且sn<u1. 因为 |rn|=un+1-un+2+× × ×也是收敛的交错级数, 所以|rn|£un+1. 例12 证明级数收敛, 并估计和及余项. 三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛

14、与条件收敛: 若级数收敛, 则称级数绝对收敛; 若级数收敛, 而级数发散, 则称级条件收敛. 例13 级数是绝对收敛的, 而级数是条件收敛的. 定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛. 值得注意的问题: 如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散, 则我们可以断定级数必定发散. 这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数也是发散的. 例14 判别级数的收敛性. 例15 判别级数的收敛性. 小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2. 利用正项级数审敛法；3. 任意项级数审敛法：Leibniz判别法。教学方式及教学

15、过程中应注意的问题在教学过程中要注意部分和数列的极限判别级数的敛散性，正项级数审敛法，任意项级数审敛法：Leibniz判别法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 判别级数的敛散性：（1），（2）2. 设，且，则级数：（）（A）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）收敛性根据条件不能确定讲课提纲、板书设计作业 P268: 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)10.4 函数项级数与幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间上的函数列, 由这函数列构成的表达式

16、 称为定义在区间上的(函数项)级数, 记为. 收敛点与发散点: 对于区间内的一定点, 若常数项级数收敛, 则称点是级数的收敛点. 若常数项级数发散, 则称点是级数的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是的函数, 称为函数项级数的和函数, 并写成. 是的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数的和是的函数, 称为函数项级数的和函数, 并写成. 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数的前项的部分和记作, 函数项级数的前项的部分和记作, 即 . 在收敛域上有. 余项

17、: 函数项级数的和函数与部分和的差叫做函数项级数的余项. 函数项级数的余项记为, 它是和函数与部分和的差. 在收敛域上有. 二、幂级数 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常数a0, a1, a2, × × × , an , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子: 1+x+x2+x3+ × × × +x

18、n + × × × , . 注: 幂级数的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × . 幂级数 1+x+x2+x3+ × × × +xn + × × × 可以看成是公比为x的几何级数. 当|x|<1时它是收敛的; 当|x|

19、9;1时, 它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1), 在收敛域内有. 1、幂级数的收敛半径和收敛区间定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x0¹0)时收敛, 则适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数当x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散. 提示: anxn是的简记形式. 简要证明 设anxn在点x0收敛, 则有anx0n®0(n®¥) , 于是数列anx0n有界, 即存在一个常数M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × 

20、5; ×). 因为 , 而当时, 等比级数收敛, 所以级数|anxn|收敛, 也就是级数anxn绝对收敛. 定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|<R时, 幂级数绝对收敛; 当|x|>R时, 幂级数发散; 当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散. 收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半

21、径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+¥, 这时收敛域为(-¥, +¥). 定理2 如果, 其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径 . 简要证明: . (1)如果0<r<+¥, 则只当r|x|<1时幂级数收敛, 故. (2)如果r=0, 则幂级数总是收

22、敛的, 故R=+¥. (3)如果r=+¥, 则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0. 例1 求幂级数 的收敛半径与收敛域. 解 因为, 所以收敛半径为. 当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1. 例2 求幂级数的收敛域. 例3 求幂级数的收敛半径. 例4 求幂级数的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径， 幂级数的一般项记为. 因为 , 当4|x|2<1即时级数收敛; 当4|x|2>1即时级数发散, 所以收敛半径为.提示: . 例5 求幂级数的收敛

23、域. 解 令t=x-1, 上述级数变为. 因为 , 所以收敛半径R=2. 当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原级数的收敛域为-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有加法: , 减法: , 设幂级数anxn及bnxn分别在区间(-R, R)及(-R¢, R

24、2;)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有加法: anxn+bnxn =(an+bn)xn , 减法: anxn-bnxn =(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ × × × +(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ × × × 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R

25、)连续. 性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xÎI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|<R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为-1, 1). 设和函数为s(x), 即, xÎ-1, 1). 显然s(0)=1. 在的两边求导得 . 对上式从0到x积分, 得 . 于是, 当x ¹0时, 有. 从而. 因为 , 所以, 当x¹0

26、时, 有, 从而 . 提示: 应用公式, 即. . 例7 求级数的和. 小结1.求幂级数收敛域和收敛半径的方法；2. 幂级数的性质。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意求幂级数收敛域和收敛半径的方法，幂级数的性质，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 已知在处条件收敛，问该级数收敛半径是多少？2. 求极限，其中作业 练习10.410. 5 函数的幂级数展开 要解决的问题: 给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f(x

27、)在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x). 一、 泰勒多项式:如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f(x)近似等于 , 其中(x介于x与x0之间). 二、泰勒级数如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f¢(x), f¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × , 则当n®¥时, f(x)在点x0的泰勒多项式 成为幂级数 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然, 当x=

28、x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? 定理10.12 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n®0时的极限为零, 即 . 证明 先证必要性. 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数, 即 , 又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和, 则在U(x0)内sn+1(x)® f(x)(n®¥). 而f(x)的n阶泰勒公式可

29、写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再证充分性. 设Rn(x)®0(n®¥)对一切xÎU(x0)成立. 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)®f(x), 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛, 并且收敛于f(x). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x0=0, 得 , 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯

30、一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × , f ¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n&#

31、215;(n-1)anxn-2 + × × × , f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × × × × × × × × × ×f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x +

32、 × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×. 应注意的问题: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 三、函数的幂级数展开式 1、直接展开法第

33、一步 求出f (x)的各阶导数： f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值： f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 写出幂级数：, 并求出收敛半径R. 第四步 考察在区间(-R, R)内时是否Rn(x)®0(n®¥). 是否为零.

34、如果Rn(x)®0(n®¥), 则f(x)在(-R, R)内有展开式 (-R<x<R). 例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数. . 例2 将函数f(x)=sin x 展开成x的幂级数. . 例3 将函数f(x)=(1+ x)m展开成x的幂级数, 其中m为任意常数. . 2、间接展开法: 例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数. . 例5 将函数展开成x的幂级数. (-1<x<1).注: 收敛半径的确定: 由-1<-x2<1得-1<x<1. 例6 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数. 解 因为, 而是收敛的等比级数(-1<x<1)的和函数: . 所以将上式从0到x逐项积分, 得 . 例7 将函数f(x)=sin x展开成的幂级数. 解 因为 , 并且有 , , 所