船体振动学 第2章

1、船体振动学船体振动学 第第2 2章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 Ship Vibration 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2.3 多自由度系统的强迫振动多自由度系统的强迫振动Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程Ship Vibration在第在第1章讨论安装在船底骨架上的往复式发动机章讨论安装在船底骨架上的往复式发动机的振动问题时，曾指出如果仅关心发动机的上下的振动问题时，曾指出如果仅关心发动机的上下振动，则可以简化为

2、一个单自由度的质量振动，则可以简化为一个单自由度的质量-弹簧弹簧-阻尼器系统。但是发动机除了有上下振动外还有阻尼器系统。但是发动机除了有上下振动外还有其它方向的振动，如果关心发动机的各个方向的其它方向的振动，如果关心发动机的各个方向的振动，其简化模型将不再是一个单自由度系统，振动，其简化模型将不再是一个单自由度系统，而是一个多自由度系统。而是一个多自由度系统。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程实际的工程振动问题往往需要简化为多自由度系实际的工程振动问题往往需要简化为多自由度系统，即系统在空间任意瞬间的位置不能仅由一个统，

3、即系统在空间任意瞬间的位置不能仅由一个广义坐标来确定。例如对于图示的具有若干个集广义坐标来确定。例如对于图示的具有若干个集中质量的梁。中质量的梁。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程假设梁自身的质量可以忽略不计，则在讨论梁的假设梁自身的质量可以忽略不计，则在讨论梁的横向弯曲振动时，对横向弯曲振动时，对 个集中质量就需要有个集中质量就需要有 个个广义坐标才能确定系统在空间的位置，这根梁的广义坐标才能确定系统在空间的位置，这根梁的弯曲振动就称为多自由度系统的振动。弯曲振动就称为多自由度系统的振动。NN此外，实际的工程结构的质量

4、和弹性是连续分布此外，实际的工程结构的质量和弹性是连续分布的，它们在空间任意瞬间的位置都需要用无限个的，它们在空间任意瞬间的位置都需要用无限个广义坐标才能确定，是无限个自由度系统（或称广义坐标才能确定，是无限个自由度系统（或称连续系统）。但实际上在研究这类问题的振动时，连续系统）。但实际上在研究这类问题的振动时，经常采用离散方法，把无限个自由度系统简化为经常采用离散方法，把无限个自由度系统简化为有限个自由度系统（或称多自由度系统）进行分有限个自由度系统（或称多自由度系统）进行分析。例如对于图示的简支梁。析。例如对于图示的简支梁。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由

5、度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程在讨论这根梁的横向振动时，可以用有限个离散在讨论这根梁的横向振动时，可以用有限个离散点处的横向位移点处的横向位移 作为广义坐标来代替作为广义坐标来代替连续的挠度曲线。至于取多少个广义坐标则根据连续的挠度曲线。至于取多少个广义坐标则根据具体需要而定。一般来说，具体需要而定。一般来说， 广义坐标数目越多，广义坐标数目越多，越接近实际的情况。因此，研究多自由度系统的越接近实际的情况。因此，研究多自由度系统的振动，对实际工程结构的振动具有很重要的意义。振动，对实际工程结构的振动具有很重要的意义。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由

6、度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程nwww,.,21研究系统振动的第一步是建立系统的运动微分方研究系统振动的第一步是建立系统的运动微分方程，下面主要介绍程，下面主要介绍3种建立系统的运动微分方程种建立系统的运动微分方程的方法。的方法。 1. 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式（a）质点的运动微分方程质点的运动微分方程根据牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动根据牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程是微分方程是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程zyxFtzmFtymFtxm222222ddd

7、ddd（b）刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 刚体的平面运动可以简化为具有相同质量的平面刚体的平面运动可以简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动图形在固定平面内的运动。应用应用质心运动定理质心运动定理和相对质心的和相对质心的动量矩定理动量矩定理，刚，刚体的平面运动微分方程是体的平面运动微分方程是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程ccycxcMJFymFxm 式中式中 是质心，是质心， 绕质心轴的转动惯量绕质心轴的转动惯量 。 ccJ（c）质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 假设质点系由假

8、设质点系由 个质点组成，在理想约束的条件个质点组成，在理想约束的条件下，质点系的动能的微分等于作用在质点系上的下，质点系的动能的微分等于作用在质点系上的主动力所做的元功之和，即主动力所做的元功之和，即 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程FWTd式中式中 表示作用在质点系上的主动力所做的元表示作用在质点系上的主动力所做的元功，功， 表示质点系的动能的微分。表示质点系的动能的微分。 nFWTd例例：如图所示，无重量不可伸长的细绳绕过质量：如图所示，无重量不可伸长的细绳绕过质量为为 、半径为、半径为 的均质圆盘。弹簧刚度是的均质

9、圆盘。弹簧刚度是 ，与，与细绳相连，建立该系统的运动微分方程。细绳相连，建立该系统的运动微分方程。Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程mRk解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为 ，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标衡位置，坐标 向下为正。向下为正。当圆盘中心从静平衡位置向下运动当圆盘中心从静平衡位置向下运动 时，系统的时，系统的动能是动能是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运

10、动方程振动及其运动方程x222121ccJmvTxx式中式中 是圆盘中心的速度，是圆盘中心的速度， 是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于圆盘的轴），圆盘的轴）， 是圆盘的角速度，是圆盘的角速度， Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程cJ222121ccJmvTcvxvc221mRJcRxRvcShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程222121ccJmvT222222321212121xmRxmRxmTxvc221m

11、RJcRxRvc假设初始条件为假设初始条件为 ， ，圆盘中心由圆盘中心由 运动到运动到 时主动力所做的功是时主动力所做的功是0 xx 0t0 xx 0 xx2200)2(221)(0ststxxxxkmgxmgxWShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程利用动能定理的积分形式利用动能定理的积分形式 2200022221)(2321ststxxkxxmgTxmxxWTT00 xxkxmgxxmst )2(223stkmg20423 kxxm 上述方程两边对时间求导数上述方程两边对时间求导数 注意到在静平衡位置满足注意到在静平衡位置

12、满足 所以系统的运动微分方程是所以系统的运动微分方程是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程例例：如图所示，半径为：如图所示，半径为 的均匀圆盘在圆槽内作的均匀圆盘在圆槽内作不滑动不滑动的滚动。已知圆盘的质量是的滚动。已知圆盘的质量是 ，圆槽的半，圆槽的半径是径是 。建立该系统的运动微分方程。建立该系统的运动微分方程。rmR0Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为 ，当圆盘中心从静平

13、衡位置滚动当圆盘中心从静平衡位置滚动 时，系统的动能时，系统的动能是是 222121ccJmvTcv式中式中 是圆盘中心的速度，是圆盘中心的速度， 是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于圆盘的轴），圆盘的轴）， 是圆盘的角速度，当圆盘作不滑动的滚动时，是圆盘的角速度，当圆盘作不滑动的滚动时， )(rRvccJ221mrJcrrRrvc)(Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程222121ccJmvT假设初始条件为假设初始条件为圆盘中心由圆盘中心由 运动到运动到 时主动力所做的功是时主动

14、力所做的功是 )(rRvc2222222321)(2121)(21rrRmrrrRmrrRmT221mrJcrrRrvc)(00, 0t0Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程利用动能定理的积分形式利用动能定理的积分形式 00WTT22)(23212200222rRmgTrrRmr上述方程两边对时间求导数，即可得到系统的运上述方程两边对时间求导数，即可得到系统的运动微分方程是动微分方程是 0)()(232rRmgrRm 22)()cos1)()cos1)(22000rRmgrRmgrRmgWShip Vibration 2.1

15、 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程2. 哈密顿原理哈密顿原理（a）虚位移原理虚位移原理虚位移虚位移是指满足某特定时刻的约束条件的、假想是指满足某特定时刻的约束条件的、假想的、任意的、无限小位移。对于可变形系统，虚的、任意的、无限小位移。对于可变形系统，虚位移必须满足变形相容条件（连续条件）。即位移必须满足变形相容条件（连续条件）。即一一个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变分个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变分。假设一个系统的广义坐标是假设一个系统的广义坐标是 ，它们，它们之间存在之间存在非定常的完整约束非定常的完整约束 ),.,(21nqqq),.

16、,2 , 1(0),.,;(21mkqqqtnkShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程如果给系统施加一虚位移如果给系统施加一虚位移 ，那么根据虚位移，那么根据虚位移的定义，虚位移必定在约束面上，即的定义，虚位移必定在约束面上，即 ),.,2 , 1(0),.,;(2211mkqqqqqqtnnk q把上式按泰勒级数展开，得到把上式按泰勒级数展开，得到 ),.,2 , 1(.),.,;(),.,;(2211212211mkqqqqqqqqqtqqqqqqtnnkkknknnk略去高次项后，得到虚位移应满足的条件是略去高次项后，得

17、到虚位移应满足的条件是 ),.,2 , 1(.2211mkqqqqqqnnkkkkShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程系统在系统在 时间内由时间内由 运动到运动到 时，无限时，无限小的位移小的位移 称为实位移。显然，它也是在约束称为实位移。显然，它也是在约束面上的，即面上的，即 dtdqq 类似的，把上式按泰勒级数展开，略去高次项后，类似的，把上式按泰勒级数展开，略去高次项后，得到实位移应满足的条件是得到实位移应满足的条件是 q),.,2 , 1(0),.,;(2211mkdqqdqqdqqdttnnkdq),.,2 , 1

18、(.2211mkdttdqqdqqdqqdknnkkkkShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程比较比较 和和 的表达式，可以看出，在这种情况的表达式，可以看出，在这种情况下，系统的实位移与虚位移是不同的。下，系统的实位移与虚位移是不同的。若系统的约束条件是若系统的约束条件是定常的完整约束定常的完整约束，即，即 k),.,2 , 1(0),.,(21mkqqqnkkddttdqqdqqdqqdknnkkkk.2211nnkkkkqqqqqq.2211那么那么 和和 没有差别，真实的无限小位移属于虚没有差别，真实的无限小位移属于虚

19、位移。因此，位移。因此，对于具有定常的完整约束的质点系，真对于具有定常的完整约束的质点系，真实的无限小位移可以取作虚位移实的无限小位移可以取作虚位移。 kkdShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程虚位移原理虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移上所做的虚功之质点系上的主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。即和等于零。即 iQ01iiniqQW式中式中 和和 分别是作用在质点分别

20、是作用在质点 上的主动力和上的主动力和虚位移。虚位移。如果将广义力如果将广义力 与广义坐标与广义坐标 看作是看作是 维空间的维空间的矢量，矢量，虚位移原理的几何含义虚位移原理的几何含义就是：广义力矢量就是：广义力矢量 与虚位移矢量与虚位移矢量 是正交的。是正交的。 iqimiQiqn qQShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程（b）达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔提出了惯性力的概念，把虚位移原理的达朗贝尔提出了惯性力的概念，把虚位移原理的应用范围从静力学扩展到动力学的领域。应用范围从静力学扩展到动力学的领域。达朗贝尔原理达朗贝

21、尔原理：在具有理想约束的质点系中，在：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做的虚功之和等于零，即性力在任一虚位移上所做的虚功之和等于零，即 0inWW式中式中 是主动力所做的虚功，是主动力所做的虚功， 是惯性力所做是惯性力所做的虚功。的虚功。 WinWShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程（c）哈密顿原理哈密顿原理从从18世纪开始，很多数学家就致力于寻求一个能世纪开始，很多数学家就致力于寻求一个能推导出牛顿力学定律的统一的力学原理。

22、直到推导出牛顿力学定律的统一的力学原理。直到19世纪，哈密顿建立了哈密顿原理，科学家们的梦世纪，哈密顿建立了哈密顿原理，科学家们的梦想才得以实现。想才得以实现。哈密顿原理哈密顿原理：一个具有完整约束的力学系统的运：一个具有完整约束的力学系统的运动必定使积分作用量动必定使积分作用量 取驻值，取驻值，即即 dtWTItt21)(式中，式中， 称为哈密顿作用量，称为哈密顿作用量， 是系统的动能，是系统的动能， 是主动力所做的功。是主动力所做的功。 0)(21dtWTIttITWShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程哈密顿原理可以解释

23、为：哈密顿原理可以解释为：系统从状态系统从状态“1”到状态到状态“2”的各种可能运动中，唯有真实的运动使哈密的各种可能运动中，唯有真实的运动使哈密顿作用量取驻值顿作用量取驻值。 02121dtWdtWttintt下面证明哈密顿原理。下面证明哈密顿原理。利用达朗贝尔原理，可以写出如下的方程利用达朗贝尔原理，可以写出如下的方程 imiiRm i如果系统的第如果系统的第 个质点个质点 所受到的惯性力所受到的惯性力是是 ， 是质点的位移，那么惯性力所做的是质点的位移，那么惯性力所做的虚功虚功 ， 是质点的虚位移。是质点的虚位移。 iRniiiiinRRmW1 iRShip Vibration 2.1

24、2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程dtRRmRRmdtRRmdtWttniiiinittiiittniiiittin 21212121111 1tiR021ttiR只要取只要取 ，即，即 和和 时刻的虚位移时刻的虚位移 等等于零，那么于零，那么dtTdtRmdtRRmdtWttttniiittniiiittin 21212121121212tniiiRmT1221式中式中 是系统的动能。是系统的动能。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0)(2121212121dtWTdtTdtWdtWd

25、tWttttttttintt由此就证明了哈密顿原理：由此就证明了哈密顿原理： 0)(2121dtLdtVTttttVTLV式中式中 是系统的势能，是系统的势能， 称为拉格朗日函称为拉格朗日函数。数。 如果系统的如果系统的主动力有势主动力有势，那么哈密顿原理可以写，那么哈密顿原理可以写成成 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0)(21211 dtVTdtqQttttiiniiQ式中式中 是没有势的那些主动力。是没有势的那些主动力。 如果系统的如果系统的主动力一部分有势，而另一部分没有主动力一部分有势，而另一部分没有势势，那么

26、哈密顿原理可以写成，那么哈密顿原理可以写成 需要指出的是，需要指出的是，哈密顿原理不仅适用于离散系统，哈密顿原理不仅适用于离散系统，而且适用于连续系统而且适用于连续系统。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程例例：如图所示，半径为：如图所示，半径为 的均匀圆盘在圆槽内作的均匀圆盘在圆槽内作不滑动的滚动。已知圆盘的质量是不滑动的滚动。已知圆盘的质量是 ，圆槽的半，圆槽的半径是径是 。建立该系统的运动微分方程。建立该系统的运动微分方程。rmRShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方

27、程振动及其运动方程解：假设广义坐标为解：假设广义坐标为 ，当圆盘中心从静平衡位，当圆盘中心从静平衡位置滚动置滚动 时，系统的动能是时，系统的动能是222121ccJmvTcv式中式中 是圆盘中心的速度，是圆盘中心的速度， 是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于圆盘的轴），圆盘的轴）， 是圆盘的角速度，当圆盘作不滑动的滚动时，是圆盘的角速度，当圆盘作不滑动的滚动时， )(rRvccJ221mrJcrrRrvc)(Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程222121ccJmvT系统的势能是系

28、统的势能是 )(rRvc2222222321)(2121)(21rrRmrrrRmrrRmT221mrJcrrRrvc)(2)(21)cos1)(rRmgrRmgVShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程将动能将动能 和势能和势能 代入哈密顿原代入哈密顿原理理 ，得到，得到 TV0)(21dtVTtt0)(2323)(23)(212321)(2121212121212222222222dtrRmgdtrrRmrrrRmrdtrRmgrrRmrdtrRmgrrRmrdtVTtttttttttttt Ship Vibration 2

29、.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程由于哈密顿原理要求由于哈密顿原理要求 与与 时刻虚位移时刻虚位移 为零，为零，即即因此，系统的运动微分方程是因此，系统的运动微分方程是 2t1t021tt0)(232rRmgrRm 0)(2323)(212121212222dtrRmgdtrrRmrrrRmrdtVTtttttttt Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程3拉格朗日运动方程拉格朗日运动方程（a）完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程对于具有对于具有 个自由度的系

30、统，在一般情况下，个自由度的系统，在一般情况下，动动能可能是广义坐标能可能是广义坐标 以及广义速度以及广义速度 的函数的函数，即，即iqiq iqniiiiinnqqTqqTTqqqqqqTT12121),.,;,.,(n而而势能只是广义坐标势能只是广义坐标 的函数的函数，即，即 niiinqqVVqqqVV121),.,(Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程将动能将动能 和势能和势能 代入哈密顿原理代入哈密顿原理0)(21211 dtVTdtqQttttiiniVT02121212121212121212121211111

31、11111111 dtqqVqTqTdtdqqTdtqQdtqqVqqTdtqqTdtdqqTdtqQdtqqVqqTdtqqTdtqQdtqqVqqTqqTdtqQttniiiiinittiittiinittniiiiittniiinittiittiinittniiiiittniiittiinittniiiiiiittiini进行变分运算，进行变分运算， Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程由于哈密顿原理要求由于哈密顿原理要求 与与 时刻虚位移时刻虚位移 为零，为零，即即 0212111 dtqqVqTqTdtddtqQt

32、tniiiiittiini2t1t又由于在又由于在 区间内的虚位移区间内的虚位移 是任意的，并是任意的，并且且 是彼此独立的。因此，可以得到著名的是彼此独立的。因此，可以得到著名的拉格拉格朗日方程朗日方程 iq021ttiq),(21ttiqiq),.,2 , 1(niQqVqTqTdtdiiiiShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程例例：如图所示，摆的支点在水平方向受到弹性约：如图所示，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其束，其总刚度总刚度是是 ，摆的质量是，摆的质量是 ，摆长是，摆长是 。建立该系统的运动微分方程。建立该系统

33、的运动微分方程。 kmlShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程解：（解：（1）选择）选择 和和 作为广义坐标。作为广义坐标。 （2）动能及势能）动能及势能 系统的动能：系统的动能：系统的势能：系统的势能：x22)sin(21)cos(21lmlxmT)cos1 (212mglkxVShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程（3）广义外力为零）广义外力为零 （4）运动方程）运动方程 将动能将动能 和势能和势能 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程0iQTiiiiQqVq

34、TqTdtdV22)sin(21)cos(21lmlxmT)cos1 (212mglkxVShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程)cos(lxmxT222)cos()sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos(mlxlmlmlmxlmllmllxmT0)cos()sin(2kxlmlmxm xlmllmllmxlmllmllxmT)sin()cos()sin()cos()sin()sin()cos()sin()sin()cos(kxxVsinmglV22)sin(21)cos(21lmlxmT)cos1

35、 (212mglkxViiiiQqVqTqTdtdShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0sin)cos(sin)sin()cos()sin(22mglmlxlmmglxlmmlxlmxlm 2)cos(mlxlmTxlmT)sin(sinmglViiiiQqVqTqTdtdShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0sin)cos(0)cos()sin(22mglmlxlmkxlmlmxm 因此，系统的运动微分方程是因此，系统的运动微分方程是 当系统作微幅振动时

36、，可取当系统作微幅振动时，可取 ， ，并可略去高阶项，则系统的运动微分方程可以简并可略去高阶项，则系统的运动微分方程可以简化为化为 sin1cos00mgmlxmkxmlxm Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程例例：如图所示，平面刚体由四根拉伸弹簧支承，：如图所示，平面刚体由四根拉伸弹簧支承，刚体被限制在平面内运动。图示位置为平衡位置。刚体被限制在平面内运动。图示位置为平衡位置。刚体的质量是刚体的质量是 ，转动惯量是，转动惯量是 。建立系统微幅。建立系统微幅振动的运动微分方程。振动的运动微分方程。 oImShip Vibr

37、ation 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程解：取刚体质心解：取刚体质心 偏离平衡位置的位移偏离平衡位置的位移 和刚和刚体绕质心体绕质心 的转角的转角 为广义坐标，即为广义坐标，即oyx,o321,qyqxq并且四根弹簧的端点的位移分别为并且四根弹簧的端点的位移分别为 0, 0,432144332211xxyyayyayyaxxaxxShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程系统的动能是系统的动能是 iiiiQqVqTqTdtdVT22221)(21oIyxmT系统的势能是系统的势能是

38、244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykaxkaxkV将动能将动能 和势能和势能 代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0ddyTymyTt 0ddxTxmxTt )()(2211axkaxkxV)()(4433aykaykyV0ddTITto 444333222111)()()()(aaykaaykaaxkaaxkV22221)(21oIyxmT244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykaxkaxkVShip Vibration 2.1

39、2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程因此，系统的运动微分方程是因此，系统的运动微分方程是 0)()()(0)()(0)()(24423322221144332211443343221121akakakakyakakxakakIakakykkymakakxkkxmo Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程（b）完整的非保守系统的拉格朗日运动方程完整的非保守系统的拉格朗日运动方程如果系统是非保守的，比如存在某种类型的阻尼如果系统是非保守的，比如存在某种类型的阻尼力。这时可以通过引入所谓的力。这时可以

40、通过引入所谓的瑞利耗散函数瑞利耗散函数（散散逸函数逸函数），使得阻尼力能够从耗散函数导出，如），使得阻尼力能够从耗散函数导出，如同有势的广义力能够从势能导出一样。同有势的广义力能够从势能导出一样。 对于对于 个自由度的系统，设广义坐标个自由度的系统，设广义坐标为为 。如果系统的第。如果系统的第 个质点个质点 所受所受到的阻尼力是到的阻尼力是 ， 是质点是质点 的粘性阻的粘性阻尼系数，尼系数， 是质点是质点 的位移，那么阻尼力的位移，那么阻尼力 所所做的虚功做的虚功 jnnqqq,.,21jjdjRcFjmjcjjRdjFjjjjdjRRcW 是质点是质点 的虚位移。的虚位移。 jRjShip

41、Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程niijjiniiijjjniiijjjjjjdjqRcqqqRRcqqRRcRRcW121121niiijjqqRR1ijijniiijjqRqRqqRR1N对于具有对于具有 个质点的系统，阻尼力所做的总的个质点的系统，阻尼力所做的总的虚功是虚功是 niiiniNjijjiNjniijjiNjdjdqqDqRcqqRcqWW111211212121Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程式中式中 称作称作瑞利耗散函数瑞利耗散函数。

42、niiiniNjijjiNjniijjiNjdjdqqDqRcqqRcqWW111211212121NjjjRcD1221具有耗散函数的非保守系统的虚功表达式是：具有耗散函数的非保守系统的虚功表达式是： 0dinWWWShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程对于具有完整约束的非保守的系统，哈密顿原理对于具有完整约束的非保守的系统，哈密顿原理可以改写为可以改写为 0)(2121211 dtWdtVTdtqQttdttttiininiiiiiqqTqqTT1niiidqqDW1niiiqqVV10d121tqqDqVqTqTdtdQ

43、iiiiiinittShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程由于虚位移由于虚位移 是任意的，且互是任意的，且互相是独立的。因此，有相是独立的。因此，有 ), 2, 1(niqi), 2, 1(niQqDqVqTqTdtdiiiii0d121tqqDqVqTqTdtdQiiiiiinitt这就是这就是具有瑞利耗散函数的非保守系统的拉格朗具有瑞利耗散函数的非保守系统的拉格朗日运动方程日运动方程的标准形式。的标准形式。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程例例：如图

44、所示，该双摆由一个复摆和一个单摆所组：如图所示，该双摆由一个复摆和一个单摆所组成，复摆和单摆的质量分别是成，复摆和单摆的质量分别是 和和 ，复摆绕悬，复摆绕悬挂轴的转动惯量是挂轴的转动惯量是 ，复摆悬挂轴至单摆铰链轴的，复摆悬挂轴至单摆铰链轴的距离是距离是 ，复摆重心离悬挂轴的距离是，复摆重心离悬挂轴的距离是 ，单摆重，单摆重心离铰链轴的距离是心离铰链轴的距离是 ，悬挂轴和铰链轴的粘性阻，悬挂轴和铰链轴的粘性阻尼系数分别是尼系数分别是 和和 。建立系统微幅振动的运动微。建立系统微幅振动的运动微分方程。分方程。 1J1M2Ma1s2s1c2cShip Vibration 2.1 2.1 多自由度

45、系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程解：系统有解：系统有2个自由度，选择复摆相对于铅垂线个自由度，选择复摆相对于铅垂线的角位移的角位移 和单摆相对于铅垂线的角位移和单摆相对于铅垂线的角位移 作作为广义坐标。为广义坐标。 21222222221221222122112121)(2121qqasMqsMqaMJqsqaMqJT1q2q考虑到微幅振动，系统的动能是考虑到微幅振动，系统的动能是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程系统的势能是系统的势能是 222221211222212211122121112121)

46、(2121)cos1 ()cos1 ()cos1 (qgsMqgaMgsMqsaqgMqgsMqsqagMqgsMVShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程系统的耗散函数是系统的耗散函数是 2122211)(2121qqcqcD将动能将动能 ，势能，势能 和耗散函数和耗散函数 代入拉格朗日代入拉格朗日方程方程 TVDiiiiiQqDqVqTqTdtdShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程22212211qasMqaMJqT12111qgaMgsMqV)(1221

47、11qqcqcqD12222222qasMqsMqT2222qgsMqV)(1222qqcqD212222222212212121qqasMqsMqaMJT2222212112121qgsMqgaMgsMV2122211)(2121qqcqcDShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程0)(1221112112221221qqcqcqgaMgsMqasMqaMJ 0)(1222221222222qqcqgsMqasMqsM 因此，系统的运动微分方程是因此，系统的运动微分方程是 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自

48、由振动Ship Vibration一般情况下，一般情况下，无阻尼无阻尼 自由度系统的自由振动的自由度系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式运动微分方程具有以下形式 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动n000221122112222121222212112121111212111nnnnnnnnnnnnnnnnnnxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxm 若用矩阵表示，则可写成若用矩阵表示，则可写成 0 xKxM 式中式中 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自

49、由振动nnnnnnmmmmmmmmmM212222111211系统的质量矩阵 0 xKxM nnnnnnkkkkkkkkkK212222111211系统的刚度矩阵Tnxxxx21系统的位移矢量刚度影响系数刚度影响系数刚度矩阵中的元素称刚度影响系数。它表示系统刚度矩阵中的元素称刚度影响系数。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第 个质量沿其坐标方向产生个质量沿其坐标方向产生单位位移单位位移，并且使其它，并且使其它质量沿其坐标方向质量沿其坐标方向保持不动保持不动，那么需要在第，那么需要在第 个个质量的坐标方向上施加的力，定义为刚度影响系质量的坐标

50、方向上施加的力，定义为刚度影响系数数 。由刚度影响系数的物理意义，可以直接写。由刚度影响系数的物理意义，可以直接写出刚度矩阵，从而建立运动微分方程，这种方法出刚度矩阵，从而建立运动微分方程，这种方法称为称为刚度影响系数法刚度影响系数法。 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动jijki例例：求如图所示的三自由度系统的刚度矩阵。：求如图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 解：首先令解：首先令 有单位位移有单位位移 ，而，而 保持保持不动，即不动，即 。在此条件下系统保持平衡，。在此条件下系统保持平衡， 按定义需要在三个质量上施加的力分别为按定义需要

51、在三个质量上施加的力分别为 。 画出各质量的受力图，如图（画出各质量的受力图，如图（b）所）所示，根据平衡条件，有示，根据平衡条件，有Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动312111,kkk1m032 xx32,mm11x0,312212111kkkkkk同理，令同理，令 ，画出各质量的受力，画出各质量的受力图，如图（图，如图（c）所示，有）所示，有最后令最后令 ，画出各质量的受力图，画出各质量的受力图，如图（如图（d）所示，有）所示，有 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动332322

52、2212,kkkkkkk1, 0321xxx0, 1, 0321xxx33332313, 0kkkkk因此系统的刚度矩阵是因此系统的刚度矩阵是上式表明上式表明 。刚度矩阵一般是对称的刚度矩阵一般是对称的，即，即 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动3323222212,kkkkkkkjiijkk 33331222100kkkkkkkkkK33332313, 0kkkkk0,312212111kkkkkkTKK柔度影响系数柔度影响系数 自由度系统的柔度矩阵自由度系统的柔度矩阵 为为 阶方阵，其元素阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产

53、生的位移。称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。具体地说，如果仅在第具体地说，如果仅在第 个质量的坐标方向上施个质量的坐标方向上施加单位力，那么在第加单位力，那么在第 个质量的坐标方向上产生个质量的坐标方向上产生的位移，定义为柔度影响系数的位移，定义为柔度影响系数 。Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动jijinnij例：求如图所示的三自由度系统的柔度矩阵。例：求如图所示的三自由度系统的柔度矩阵。解：首先，在解：首先，在 上施加单位力，而上施加单位力，而 上不施上不施加力，即令加力，即令 ，如图（，如图（b）所示，）所示，这时三个质量所产

54、生的静位移分别是这时三个质量所产生的静位移分别是 。当。当 受到受到 作用后，第一个弹簧作用后，第一个弹簧的变形为的变形为 ，第二个和第三个弹簧的变形为零。，第二个和第三个弹簧的变形为零。所以三个质量的位移都是所以三个质量的位移都是 ，即，即Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动32,mm13121111 k11 k312111,1m0, 1321FFF1m1F11 k同理，令同理，令 ，如图（，如图（c）所示，）所示，这时第一个和第二个弹簧均受到单位力，其变形这时第一个和第二个弹簧均受到单位力，其变形分别为分别为 ，第三个弹簧的变形为零。因

55、此。，第三个弹簧的变形为零。因此。 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动211,1kk0, 1, 0321FFF2132212211211,11,1kkkkk最后令最后令 ，如图（，如图（d）所示，可）所示，可得得Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动321332123113111,11,1kkkkkk1, 0, 0321FFF因此系统的柔度矩阵是因此系统的柔度矩阵是 上式表明，上式表明， 。 柔度矩阵一般也是柔度矩阵一般也是 对称的对称的，即，即 。 Ship Vibration 2.2

56、 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动321332123113111,11,1kkkkkk3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkk2132212211211,11,1kkkkk13121111kjiijT 对于图（对于图（a）所示的系统，也可以利用柔度系数）所示的系统，也可以利用柔度系数来建立其运动微分方程。来建立其运动微分方程。假设质量假设质量 的位移分别是的位移分别是 。系统。系统运动时，质量运动时，质量 的惯性力使弹簧产生变形，的惯性力使弹簧产生变形，对于线性系统应用叠加原理，得对于线性系统应用叠加原理，得Ship Vibrat

57、ion 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动321,mmm321,xxx333332223111323332222211121333122211111)()()()()()()()()(xmxmxmxxmxmxmxxmxmxmx 321,mmm如果用矩阵表示，则可以写成如果用矩阵表示，则可以写成显然，显然， 当刚度矩阵是非奇异时当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵，刚度矩阵 与与柔度矩阵柔度矩阵 互为逆矩阵，即互为逆矩阵，即 ；当刚度；当刚度矩阵奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵，此时矩阵奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵，此时系统的平衡位置有无限多个或者说它有刚体运动。系统的平

58、衡位置有无限多个或者说它有刚体运动。 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动0000000321321333231232221131211321xxMxxxmmmxxx 1KK例：如图所示，在等截面悬臂梁上有例：如图所示，在等截面悬臂梁上有2个集中质个集中质量，梁的弯曲刚度为量，梁的弯曲刚度为 ，其质量不计。求系统，其质量不计。求系统的柔度影响系数，并建立运动微分方程。的柔度影响系数，并建立运动微分方程。 Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动1m11EIlEIl243123311EI1w1

59、m21,ww解：取解：取 为广义坐标，根据柔度影响系数的为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，定义， 表示在表示在 处施加单位力（沿处施加单位力（沿 方向）方向）并在并在 处产生的位移。利用结构力学的挠度公式，处产生的位移。利用结构力学的挠度公式， Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动2m22EIl33222w2m2112 表示在表示在 处施加单位力（沿处施加单位力（沿 方向）并在方向）并在 处产生的位移。利用结构力学的挠度公式，处产生的位移。利用结构力学的挠度公式， 表示在表示在 处施加单位力在处施加单位力在 处产生的处产生的位移等于在位移

60、等于在 处施加单位力在处施加单位力在 处产生的位移。处产生的位移。利用结构力学的挠度公式，利用结构力学的挠度公式， 2m1m1m2mEIlEIllEIl4852122243232112Ship Vibration 2.2 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动21,mm系统运动时，质量系统运动时，质量 的惯性力使梁产生变形，的惯性力使梁产生变形，对于线性系统应用叠加原理可得到对于线性系统应用叠加原理可得到 )()()()(222211212221211111wmwmwwmwmw 由此得到系统的运动微分方程。由此得到系统的运动微分方程。 Ship Vibration 2.2 2.2