Part4-截面及构件非线性分析

1、M 有了弯矩曲率关系以后，在进行梁受力变形全过程分析时，梁视为包含着若干微段的变刚度杆单元，并按照给定在结点之间的每一小段内各截面处的曲率是线性变化的，这样利用虚功原理或共轭梁法，就可以算出任意截面的转角和位移。 采用分级加载或分级加位移的方法，获得任意一级荷载下的 位移及相应内力，从而达到对梁或柱的全过程分析。截面分层：条带划分后：cscsc,iihhy00 = 根据平截面假定可得截面曲率为： 截面上任意一条条带的应 为 变式中:截面受压区边缘混凝土应变 受拉钢筋应变 截面有效高度 截面曲率根据混凝土和钢筋的应力应变关系，可得截面上任一条带的混凝土和钢筋的应力及每条带的力：iiccsssss

2、sssssssncissssincissssi/20NNNMNhMNbdAyyAAAAAA,i,i,i,i混凝土：钢筋： 每一条带混凝土及钢筋对截面高度的力矩为若有轴向力作 用在截面中心轴处时，上为 式应根据力的平衡=A 条件可以得到，：=AN（1）nciissssi22MhhA yAaAa,i =根据力的平衡条件有：（2）弯矩曲率计算： 弯矩曲率求解，主要是求得弯矩和曲率的对应关系，因此首先从弯矩或曲率两者之间选定一个作为已知，来确定另一个。由于弯矩曲率存在着下降段，某些区段的弯矩值对应两个曲率，为了方便起见，可先假定曲率为已知，然后求相应的内力，具体求解步骤如下：cc(1)(2)(3)(4

3、)(5)(6)(7)(8)(1) (7)(3) (5)M 取曲率 ：假定梁截面受压区边缘的混凝土应变求个混凝土条带和钢筋的应变按混凝土和钢筋的应力-应变关系求与应变相对应的应力值按式(5.8)求内力总和，判断是否满足平衡条件若不满足平衡条件，则需调整应变值满足平衡条件后，按式(5.9)求内力弯矩，从而得出 所对应的 弯矩循环步骤，直至得出整个的，重复步骤-M关系（1）（2） c111i1i11110NNNNNyN，在上述计算中会遇到数值计算的逐次逼近问题，以矩形截面偏心受压构件为例，在轴向力 作用下第一次假定的 为 ，则通过 球的各条带的应变值及相应的应力后，可球的各条带的内力总和 。然而，

4、不可能一次假定就正好 满足平 衡条件 ，而需要调整 。 设函数 (5 .10) 通过调 0,=yNN，使即调整到位。整，则（3）121112121131120yyyyyNNyyyNNNNNNN 21121211112式(5.10)的插值函数为式中 ( )=0 ( )= (5.11) ( )= ，根据式(5.11)，有 ，。要使121i30NyNNyNNNN33i按上 (5.12)式在进行复算，看，如果不小于某一规定值，可重复上述步骤进行运算，直至接近于零。（3）（4）（5）（4）图图4.10 加载循环信息编号加载循环信息编号 图图4.11 反复加载时截面应变变化反复加载时截面应变变化M滞回曲线

5、的弯矩 曲率（- ）关系03.183.119SxSxSxSxSxSx 加载，则以后每卸载与再加载一次就要加1，即。如上页图所示。如果为奇数则曲线自第一象限通向第三象限，如为偶数则曲线由第三象限通向第一象限。 从图中也可以看到，中和轴每一边的混凝土和钢筋都要轮流加、卸载、反复再加载等等；而且，在每一阶段又要使用不同的公式。 因此，在程序中要妥善加以判别。使各种情况都能一一对号，求出相应的应力才行。图图4.12S Sx x为奇数为奇数 ? ?S Sx x为奇数为奇数 ? ?图图4.13srsr ? ?S Sx x=0 ?=0 ?S Sx x为奇数为奇数 ? ?srsr ? ?按骨架曲线计算按弹性卸

6、载考虑鲍兴格效应按弹性卸载是是否否是是1 1 虚功原理虚功原理(a)梁的内力和变形(b)虚梁的单位荷载和弯矩图 图4-14 虚功原理计算变形2 2 共轭梁法共轭梁法cp1dMx2222d MqdxdMQdxd yMdxEIdydx 另一方面，梁的变形和内力之间的关系为： （a）（b） 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。MqEI 比较以上二式，纯从数学的形式上看，两组微分方程是完全相似的，因而求解的步骤和方法也完全相同。于是可以设想，如果将原来实际梁（简称实梁）上所产生的当作荷载集度，并用表示之，将它作用到某

7、个虚设梁（虚梁）上，那么根据式（a）可以得到下式：22bd MqdxdMQdxMQ 式中的和是虚梁的虚弯矩和虚剪力。比较式（ ）和（c）可以看出虚梁上的虚弯矩和虚剪力，分别就是实梁上的挠度和转角。通过这种比拟手法，将计算梁的挠度和转角转化为计算虚梁的弯矩和剪力的方法，称之为共轭梁法。（c）AAAAQEIMEIf ; EIQEIMfxxxx ; 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxqmAAii2m222Aiii=14.15 b4.15 a22lllQlxlllMQxx图（ ）为简支梁（图（ ）所对应的虚梁，根据虚荷载平衡条件 跨中位移为： 图4.15PMPMMMP在 - 计算中必然要计

8、算- 关系，因为是互相关系的。而且，在第三章所讨论的弯矩 曲率计算只不过是某一个截面，而在求挠度时，构件划分为m段，有m+1个截面需要确定弯矩和曲率。在过去的研究工作中，有以下两种处理办法（现以分机加载为例）： （1）事先按照第三章把截面的- 全过程计算出来，储存在电子计算机中，好像一张计算图 表一样弯矩 曲率（- ）与荷载挠度（ - ）的关系 iii 1iii 1i1,114.5iMMMMMMMMMMMMMmMm，随时可以调用查阅。这样，知道固然可以求出 ；反之，知道 也可以求出 。例如，已知值求相应的 ，从储存的- 关系中找到的闻之，则，反之亦然。框图如图4.4所示。 （2）每加一次荷载，

9、要计算一次- 。因此，每加一次荷载就有个大小不同的，要求次 值。框图如图+所示。 图4.16图4.17输入原始数据计算并存储 关系M-iPPP由P求出各截面的弯矩Mi各截面Miiii停机条件？停 机是否“查表”输入原始数据由P求出各截面的弯矩Mi各截面Miii停机条件？停 机是否“计算”iPPPi图图4.16 图图4.17荷载挠度曲线有两种方法得到：荷载挠度曲线有两种方法得到：分级加变形分级加变形分级加荷载分级加荷载分级加曲率mmmiimiimi;MMPPMM（1）每一级：；（2）由确定跨中弯矩（3）由计算 ；（4）由 计算各截面；（5）由确定 ；（6）由求得挠度 ，重复步骤（1）（6），直到

10、跨中位移 达 到：预定的值。分级加挠度2iiiii 122 12 122 222223,lllllllllklPPMMP，（1）以简支梁跨中挠度作为控制值， 每一级：；（2）假定一个 ，由 计算个界面；（3）由确定 ；（4）又求挠度，得到跨中；（5）若与存在差值，调整 ，再由步骤（2）开始 求，直至与相差小于一规定值。分级加荷载iiiiiPPPPMM（1） 由零开始，每一级增加：；（2）由 计算各截面；（3）由确定 ；（4）由确定挠度 。PP 表面上看来，分级加荷载的计算比较简便，其实不然。因为当 -运算进入下降段时，应为负值，造成计算上的困难，弄得不好就要溢出。 因此，在上升段使用分级加载方

11、案，到了下降段也要改用分级加变形方案。 -PPM 构件的全过程计算要涉及到下降段，构件的局部区域出现塑性铰，构件承载力 相应减小，这时构件塑性铰区段以外的区域同样出现卸载。对于塑性铰区段按下降段负刚度方向取值。而对于塑性铰区段外则应按正刚度方向取值。一般情况下，卸载刚度同初始刚度比较接近，可按初始刚度卸载，如图5.7。构件的卸载计算原理图图4.18 在弯矩在弯矩-曲率图上的卸载路径曲率图上的卸载路径 图图4.19 弯矩过弯矩过Mu后梁的刚度分布后梁的刚度分布图4.18作业：2mm120pAMPa1860pufMPa960pef2mm300sAMPa400yfMPa40cuf编程并计算出该截面的

12、弯矩曲率关系压弯构件的荷载挠度全过程分析压弯构件的荷载挠度全过程分析 压弯构件是具有轴向力作用的受弯构件在轴力作用下，由于构件挠度的存在，会产生二次弯矩，而二次矩又将加大挠度。因此，压弯构件的荷载挠度计算既包括材料非线性又包括几何非线性。mm4.20 - 4.21 -M图压弯构件受力 变形示意图图关系曲线m012m0MPlNMMPMNl i 0mi 0immmmmmiiiii1.PMMNPPNMMim，0，1为一由零开始，每一级加：=+得出； 较小值、 、求（按式5.16）；、 、求各截面的，并由查得 ；由求得新的挠曲线，假定挠曲线 （ =0，1， ， ）（每次可取上一次的挠曲线， 取第一次的

13、挠曲线时，假设杆的曲率呈三角形分布，由（1）；（2）（3）；（4）由（5）由（6）分级加曲率求关系曲线iiii 1i 2iikMM，3，求各截面的，并由查得 ；以新的挠曲线为假定值重复步骤(4)(6)求得， ，。（7） 见 前 页2. 2. 分级加挠度分级加挠度i 0i 0i 0i 0iiii 1i 1i 2i 3ikikik-1)PNPMM0，0(00（1） 由零开始，每一级加：；（2）假定和挠曲线 （每次可取上一次的挠曲线乘以一个比例系数， 取第一次的挠曲线时，假定杆的曲率分布为三角形）；（3）由 ，求得各杆段；（4）由查得求；（5）由新求得的挠曲线为假定值，重复步骤(3)(4)求得、 、 。直至若与：0k00k0(2) (6)P，接近且小于一允许值；（6）将与相比较，若接近且小于一允许值，则可认为计算结果 有效并加以记录，然后进入下一循环计算。否则，调整 并重复 步骤，直至与相接近为止。偏压构件的荷载挠度全过程分析偏压构件的荷载挠度全过程分析 偏压构件与压弯构件的不同在于，偏压构件的轴力为变量，初始偏心矩为常量；而压弯构件的轴力为不变量，横向力为变量。两者的共同之处在于均受二次弯矩作用的影响，截面的破坏均是压力、弯矩共同作用下的破坏，由于变量的不同，偏压构件的全过程分析按轴力位移关系曲线进行，压弯构件则按横向力位移关系曲线计算。mmm0m11iiiiimm1m0000m