new修改版第四章向量组的线性相关性

1、第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合一、向量及向量组一、向量及向量组二、线性组合与线性表示二、线性组合与线性表示 一、向量及向量组一、向量及向量组 1、向量、向量：n 个有次序的数个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为所组成的数组称为n 维向量维向量，这，这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n 个个分量分量，第，第 i 个数个数 ai 称称为第为第 i 个分量个分量p分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量p分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量备注：备注： 本书一般只讨论实向量（特别

2、说明的除外）本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量行向量和列向量总被看作是两个不同的向量 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量列向量 本书中，列向量用黑色小写字母本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a a, b b 等表示，行向量等表示，行向量则用则用 aT, bT, a aT, b bT 表示表示2、向量组：、向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为合称为向量组向量组3、向量组举例、向量组举例 例例1 当当R(A) n 时，

3、齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的全体解组成的向量组是怎样的向量组？的向量组是怎样的向量组？11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234,a a a a a a a a 123TTTb bb bb b 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组例例2 m m行行n n列的矩阵列的矩阵A A的全体行向量做成的向量组是怎样的？的全体行向量做成的向量组是怎样的？全体列向量呢？全体列向量呢？定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何

4、一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1, k2, , km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一组，如果存在一组实数实数 l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称的线性组合，这时称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示的线性表示二、

5、线性组合与线性表示二、线性组合与线性表示例：例：设设 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 回顾：线性方程组的表达式回顾：线性

6、方程组的表达式1. 一般形式一般形式3. 向量方程的形式向量方程的形式2. 增广矩阵的形式增广矩阵的形式4. 向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？341,112 51 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaallll

7、ll11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaal ll ll l ( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解定理定理1 （P.83 定理定理1 的结论）的结论） n元线性方程组元线性方程组 Ax = b其中其中 A 是是 nm 矩阵矩阵矩阵矩阵 (A, b)向量组向量组 A: a1, a2, ,an 及及向量向量 b是否存在解？是否存在解？R(A) = R(A, b) 成立？成立？向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A线线性表示？性表示？无解无解R(A) R(A, b) NO有解有解

8、R(A) = R(A, b) YESx 的分量是线性组合的系数的分量是线性组合的系数唯一解唯一解R(A) = R(A, b) = 未知数个数未知数个数表达式唯一表达式唯一无穷解无穷解R(A) = R(A, b) 未知数个数未知数个数表达式不唯一表达式不唯一例：例：设设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式线性表示，并求出表示式12311111210, , , 21432301aaab 解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )21

9、43000023010000rA b 因为因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示1111103212100121( , )2143000023010000rA b 行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 13233221xxxx 3232212110cxccc 定义：定义：设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向

10、量都能由向量组 A 线性表示，则称线性表示，则称向向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量向量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 线

11、性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵即存在矩阵即存在矩阵 K K，使得，使得 AK = B AK = B 设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即n对于对于 b1 ，存在一组实数，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n对于对于 b2 ，存在一组实数，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n对于对于 bl ，

12、存在一组实数，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(B) R(A) （P.86 定理定理3）推论：推论：向量组向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等价的充分等价的充分必要条件是必要条件是 R(A) = R(B) =

13、R(A, B)证明：证明：向量组向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因为因为 R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(B, A)n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性

14、表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：（注意到：R(A, E) = n 一定成立）一定成立）知识结构图知识结构图n维向量维向量向量组向量组向量组与矩阵的对应向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价判定定理及必要条件判定定理及必要条件判定定理判定定理小结小结( )( , )R AR A b 向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax

15、 = b 有解有解( )( ,)R AR A B 向量组向量组 B 能能由向量组由向量组 A线性表示线性表示矩阵方程组矩阵方程组AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B向量组向量组 A 与与向量组向量组 B等价等价作业作业nP109-1122 ；292 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性的定义一、向量组的线性相关性的定义二、向量组线性相关性的判定二、向量组线性相关性的判定回顾：向量组的线性组合回顾：向量组的线性组合定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1,

16、 k2, , km ，表达式，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1, k2, , km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一组，如果存在一组实数实数 l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam则称则称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示的线性表示引言引言问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由向量组，零向量是否可以由向量组 A 线性表

17、线性表 示？示？问题问题2：如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？系数是否不全为零？( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：问题问题1：给定向量组给定向量组 A，零向量是否可以由向量组，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？线性表示？问题问题1：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？是否存在解？回答：回答：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解一定存在解事实上，可令

18、事实上，可令k1 = k2 = = km =0 ，则，则k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）问题问题2：如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？是否不全为零？问题问题2：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零不一定全等于零例：例：设设 123100,010001Ee e e11 1223312323100001000010kk ek

19、ek ekkkkk 若若则则 k1 = k2 = k3 =0 一、向量组的线性相关性的定义一、向量组的线性相关性的定义定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ，如果存在，如果存在不全为零不全为零的实的实数数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的，否则称它是的，否则称它是线性无关线性无关的的向量组向量组A：a1, a2, , am线性相关线性相关m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax = 0有非零解有非零解R(A) m（ P88 定理定理4）备注：备注：p

20、 给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一其一p 向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情形的情形. .p 若向量组只包含一个向量：当若向量组只包含一个向量：当 a 是是零向量零向量时，线性相关；时，线性相关；当当 a 不是不是零向量零向量时，线性无关时，线性无关p 向量组向量组 A：a1, a2, , am (m 2) 线性相关，也就是向量组线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示个向量线性表示特别地，特别地，a1

21、, a2 线性相关当且仅当线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线何意义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面线性相关的几何意义是三个向量共面下面证明下面证明 向量组向量组A a1 a2 am(m 2)线性相关线性相关 也就是在向量也就是在向量组组A中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余m m 1 1个向量线性表示个向量线性表示 证明：证明： 必要性：如果向量组必要性：如果向量组A线性相关线性相关 则有则有k1a1 k2a2 kmam 0 其中其中k1 k2 km不全为不全为0 0 不妨设不妨设k1 0

22、 于是于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即即a1能由能由a2 am线性表示线性表示 充分性：如果向量组充分性：如果向量组A中有某个向量中有某个向量(不妨设不妨设am)能由其能由其余余m 1个向量线性表示个向量线性表示 即有即有l l1 l l2 l lm 1 使使am l l1a1 l l2a2 l lm 1am 1 于是于是 l l1a1 l l2a2 l lm 1am 1 ( 1)am 0 因为因为l l1 l l2 l lm 1 1不全为不全为0 所以向量组所以向量组A线性相关线性相关 二、向量组线性相关性的判定二、向量组线性相关性的判定（重点、难点）（重点、难点）向量组向量

23、组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定向量组线性无关性的判定（重点、难点）（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1

24、a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量），则必有，则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 +

25、k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次

26、线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示例：例：试讨论试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性例：例：已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组及向量组a1, a2 的线性相关性的线性相关性解：解：可见可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；线性相关；同时，同时，R(a1, a2 ) = 2，故

27、向量组，故向量组 a1, a2 线性无关线性无关1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r(p89)例例6：已知向量组已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关解题思路：解题思路：用定义；用定义；转化为齐次线性方程组的问题；转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题证法证法1 设有设有x1 x2 x3使使 x1b1x2b2x3b30即即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(

28、a3a1)0亦即亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为因为a1 a2 a3线性无关线性无关 故有故有 例例 已知向量组已知向量组a1 a2 a3线性无关线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组试证向量组b1 b2 b3线性无关线性无关 000322131xxxxxx 由于此方程组的系数行列由于此方程组的系数行列式式02110011101 故方程组只有零解故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组所以向量组b b1 b b2 b b3线性线性无关无关 例：例：已知向量组已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b

29、2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关证法证法2：转化为齐次线性方程组的问题转化为齐次线性方程组的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 设设 Bx = 0 ，则，则(AK)x = A(Kx) = 0 因为向量组因为向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以线性无关，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只有零解只有零解 x = 0 ，从而向量组从而向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关123123101(,)(,) 110011b b ba a a 例：例：已知向量组已知向量组 a

30、1, a2, a3 线性无关，且线性无关，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，试证明向量组试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关证法证法3：转化为矩阵的秩的问题转化为矩阵的秩的问题已知已知 ，记作，记作 B = AK 因为因为|K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量组又向量组 a1, a2, a3 线性无关，线性无关， R(A) = 3，从而从而R(B) = 3，向量组，向量组 b1, b2, b3 线性无关线性无关123123101(,)(,) 110011b b ba a a 定理（定理（P.89定理定理

31、5） l若向量组若向量组 A ：a1, a2, , am 线性相关，线性相关， 则向量组则向量组 B ：a1, a2, , am, am+1 也线性相关也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 A 也线性无关也线性无关lm 个个 n 维向量组成的向量组，当维数维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数小于向量个数 m 时，一定线性相关时，一定线性相关特别地，特别地， n + 1个个 n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关l设向量组设向量组 A ：a1, a2, , am 线性无关，线性无关， 而向量组而向量组 B ：a1,

32、 a2, , am, b 线性相关，则向量线性相关，则向量 b 必能由向量组必能由向量组 A 线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的 (2)用反证法用反证法 假设假设a4能由能由a1 a2 a3线性表示线性表示 而由而由(1)知知a1能由能由a2 a3线性表示线性表示 例例3 3（p90)p90) 设向量组设向量组a1 a2 a3线性相关线性相关 向量组向量组a2 a3 a4线性无线性无关关 证明证明 (1) a1能由能由a2 a3线性表示线性表示 (2) a4不能由不能由a1 a2 a3线性表示线性表示 (1)因为因为a2 a3 a4线性无关线性无关 所以所以a2 a3也线性无

33、关也线性无关 证明证明 因此因此a4能由能由a2 a3线性表示线性表示 这与这与a2 a3 a4线性无关矛盾线性无关矛盾 又又a1 a2 a3线性相关线性相关 所以所以a1能由能由a2 a3线性表示线性表示 作业作业nP110 3.(1); 4; 9; 10 3 向量组的秩向量组的秩 上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时 矩阵的矩阵的秩起了十分重要的作用秩起了十分重要的作用 为使讨论进一步深入为使讨论进一步深入 下面把秩的概念下面把秩的概念引进向量组引进向量组 一、一、最大无关组及向量组的秩最大无关组及向量组的秩下面先看一个引例下面先看一个引例在

34、上两节中，所讨论的向量组都是含有限个向量，通过学习在上两节中，所讨论的向量组都是含有限个向量，通过学习本节内容，我们将把相关定理推广到含有无限多个向量的向本节内容，我们将把相关定理推广到含有无限多个向量的向量组的情形量组的情形 . 引例引例012:,012012B:,0231kAkkk 与都含无限个向量都含无限个向量问题：问题：向量组向量组A A或向量组或向量组B B中任意三个向量的线性相关性是怎样的？中任意三个向量的线性相关性是怎样的？它们各自的线性无关的部分组所含向量的最大个数一样吗？它们各自的线性无关的部分组所含向量的最大个数一样吗？各是多少个呢？各是多少个呢？向量组的秩的概念向量组的秩

35、的概念(p91 定义定义5)定义：定义：设有向量组设有向量组 A ，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1, a2, , ar，满足，满足 向量组向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；线性无关； 向量组向量组 A 中任意中任意 r + 1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r + 1个向量的个向量的话）都线性相关；话）都线性相关；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向量组最大线性无关向量组，简称简称最大无关组最大无关组最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数 r 称为称为向量组向量组 A 的秩的秩，记作，记作RA

36、 注注： 只含零向量的向量组没有最大无关组只含零向量的向量组没有最大无关组 规定它的秩为规定它的秩为0 0 根据定义根据定义5，求引例中向量组，求引例中向量组A及向量组及向量组B的最大无关组，并的最大无关组，并求各自的秩求各自的秩.012:,012012B:,0231kAkkk 与它们的最大无关组唯一吗？最大无关组中所含向量的个数它们的最大无关组唯一吗？最大无关组中所含向量的个数是否唯一呢是否唯一呢?思考：思考：例：例：已知已知求向量组求向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组的一个最大无关组解：解：可见可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2 线性无关，线性

37、无关，同时，同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，线性相关，从而从而 a1, a2 是向量组是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组的一个最大无关组事实上，事实上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大无关组也是最大无关组1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r注：注：1 1、向量组的最大无关组一般不是唯一的、向量组的最大无关组一般不是唯一的 2 2、但同一向量组的最大无关组所含向量的个数是唯一的、但同一向量组的最大无关组所含向量的个数是唯一的 3 3、向量组和它的最大无关

38、组等价向量组和它的最大无关组等价 向量组与它的最大无关组等价，此结论的逆命题也成立向量组与它的最大无关组等价，此结论的逆命题也成立.即即能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组，能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组，从而可得从而可得 最大无关组的最大无关组的等价定义等价定义（p92推论）推论）定义：定义：设有向量组设有向量组 A ，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1, a2, , ar，满足，满足 向量组向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；线性无关； 向量组向量组 A 中任意中任意 r + 1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有

39、 r + 1个向量的个向量的话）都线性相关；话）都线性相关； 向量组向量组 A 中任意一个向量都能由向量组中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组下面我们利用定义求向量组的秩下面我们利用定义求向量组的秩 我们知道我们知道n n维单位坐标向量构成的向量组维单位坐标向量构成的向量组E e1 e2 en是线性无关的是线性无关的 例例8 8 全体全体n n维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作R Rn n 求求R Rn n的一个最大的一个最大无关组及无关组及R Rn n的秩的秩 解解 因此因此 向

40、量组向量组E是是Rn的一个最大无关组的一个最大无关组 且且Rn的秩等于的秩等于n 又知又知Rn中的任意中的任意n 1个向量都线性相关个向量都线性相关 显然显然 Rn的最大无关组很多的最大无关组很多 任何任何n个线性无关的个线性无关的n维向维向量都是量都是Rn的最大无关组的最大无关组 例：例： 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作 Rn，求，求 Rn 的一个最大的一个最大无关组及无关组及 Rn 的秩的秩思考：思考：上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组是的列向量组是 Rn 的的一个最大无关组吗？一个最大无关组吗？111011001A 例例9 9 设齐次线性方程组0750 32

41、02243214214321xxxxxxxxxxx的全体解向量构成的向量组为S 求S的秩 解解 线性方程组的通解为 因为 1 2的四个分量显然不成比例 故 1 2线性无关 又因为S能由向量组 1 2线性表示 所以 1 2是S的最大无关组 从而RS2 4321xxxx1034012321cc 其中c1 c2为任意常数 把上式记作xc1 1c2 2 知Sx| xc1 1c2 2 c1 c2Rn由含有限个向量的向量组与矩阵之间的对应关系及矩阵的由含有限个向量的向量组与矩阵之间的对应关系及矩阵的秩与向量组秩的比较，容易想到向量组的秩等于矩阵的秩秩与向量组秩的比较，容易想到向量组的秩等于矩阵的秩定理定理

42、6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组也等于它的行向量组的秩的秩 设设A( a1 a2 am) R(A)r 并设并设r阶子式阶子式Dr0 由由Dr0知知Dr所在的所在的r列构成的列构成的n行行r列的矩阵秩为列的矩阵秩为r，故，故Dr所在的所在的r列列线线性无关性无关 又由又由A中所有中所有r1阶子式均为零阶子式均为零 知知A中任意中任意r1个列向量都线性相个列向量都线性相关关 因此因此Dr所在的所在的r列是列是A的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组 所以所以A的的列向量组的秩等于列向量组的秩等于r 类似可证矩阵类似可证矩阵A的行向量组的

43、秩也等于的行向量组的秩也等于R(A) 证明证明 一般地，一般地，n矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理定理6）n今后，向量组今后，向量组 a1, a2, , am 的秩也记作的秩也记作 R(a1, a2, , am ) n若若Dr 是矩阵是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量组的一个最大无关组，的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量组的一个最大无关组向量组的一个最大无关组可见可见R(A) 3 故列

44、向量组的最大故列向量组的最大无关组含无关组含3个向量个向量 例例10 10 求矩阵求矩阵A的列向量组的列向量组的一个最大无关组的一个最大无关组 并把不属于并把不属于最大无关组的列向量用最大无最大无关组的列向量用最大无关组线性表示关组线性表示 其中其中97963422644121121112A 因为在因为在A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵中中 三个非零行的首非零元在三个非零行的首非零元在1、2、4列列 故故a1 a2 a4为列向量组为列向量组的一个最大无关组的一个最大无关组 解 对对A施行初等行变换变施行初等行变换变为行最简形矩阵为行最简形矩阵 00000310003011040101 rA 这是

45、因为这是因为 000100010001 ) , ,(421raaa 知知R(a1 a2 a4)3 故故a1 a2 a4线线性无关性无关 把把A的行最简形矩阵记作的行最简形矩阵记作B(b1 b2 b3 b4 b5) 由于方程由于方程Ax0与与Bx0同解同解 因此向量因此向量a1 a2 a3 a4 a5之间与向量之间与向量b1 b2 b3 b4 b5之间之间有相同的线性关系有相同的线性关系 现在现在 b3b1b2因此因此a3a1a2 a54a13a23a4 b54b13b23b4注：注：由向量组秩的定义及定义由向量组秩的定义及定义6，前面两节介绍的定理，前面两节介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵

46、的秩都可以改为向量组的秩中出现的矩阵的秩都可以改为向量组的秩.即有如下结论：即有如下结论： (4)(4)向量组向量组a1 a2 am线性相关的充要条件是线性相关的充要条件是 R(a1 a2 am)m (3)(3)若向量组若向量组b1 b2 bl能由向量组能由向量组a1 a2 am线性表示线性表示 则则 R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am) (1)向量向量b能由向量组能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b) (2)向量组向量组b1 b2 bl能由向量组能由向量组a1 a2 am线性表示的线性表示的充充要条件是要条

47、件是 R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl)二、改用向量组的秩陈述的几个定理二、改用向量组的秩陈述的几个定理 矩阵矩阵线性线性方程组方程组有限有限向量组向量组无限无限向量组向量组系数矩阵系数矩阵增广矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩矩阵的秩等于列（行）向量组的秩Ax = b 有解有解当且仅当当且仅当向量向量 b 能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示向量组与自己的向量组与自己的最大无关组等价最大无关组等价最大无关组的意义最大无关组的意义结论：结论：向量组向量组 A 和它自己的最大无关组和它自己的最大无关组

48、A0 是等价的是等价的l用用 A0 来代表来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体全体特别，当向量组特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来为无限向量组，就能用有限向量组来代表代表l凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去立即可推广到无限向量组的情形中去例如例如 把有限个向量换成无限个向量把有限个向量换成无限个向量 定理定理(3)(3)可叙述为：可叙述为：ABRR 若向量组若向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示线性表示 则则定理定理3证明：

49、证明： (3)(3)若向量组若向量组b1 b2 bl能由向量组能由向量组a1 a2 am线性表示线性表示 则则 R(b1 b2 bl)R(a1 a2 am) 类似地，可把定理（类似地，可把定理（1 1）、（）、（2 2）推广到一般情形，今后这些）推广到一般情形，今后这些定理和推广后的定理将不加区别定理和推广后的定理将不加区别. .提示提示 例例1 11 1 设向量组B能由向量组A线性表示 且它们的秩相等证明向量组A与向量组B等价 设向量组A和B合并成向量组C 因为B组能由A组表示 所以RARC 又已知RBRA 故有RARBRC 因此A组与B组等价 证证 向量组A a1 a2 am与向量组B b

50、1 b2 bl等价的充分必要条件是R(A)R(B)R(A B)作业作业nP11113（2）；）；14（2）；）；154 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定回顾：线性方程组的解的判定1. 包含包含 n 个未知数的齐次线性方程组个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有有非零解非零解的充的充分必要条件是系数矩阵的秩分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n 2. 包含包含 n 个未知数的非齐次线性方程组个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分有解的充分必要条件是系数矩阵的秩必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且，并且p 当当R(A) =

51、R(A, b) = n时，方程组有时，方程组有唯一解唯一解；p 当当R(A) = R(A, b) n时，方程组有时，方程组有无限多个解无限多个解 下面我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组解的下面我们用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组解的结构结构,先讨论齐次线性方程组先讨论齐次线性方程组.引言引言问题：问题：什么是线性方程组的解的结构？什么是线性方程组的解的结构？答：答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系多个解时，解与解之间的相互关系备注：备注：l当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构当方

52、程组存在唯一解时，无须讨论解的结构l下面的讨论都是假设线性方程组有解下面的讨论都是假设线性方程组有解1、解向量、解向量的定义的定义定义：定义：设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果，如果x1 = 11， x2 = 21，.， xn = n1为该方程组的解，则为该方程组的解，则称为方程组的称为方程组的解向量解向量11211n 一、齐次线性方程组解的一、齐次线性方程组解的结构结构2、齐次线性方程组、齐次线性方程组的解的性质的解的性质性质性质1：若若 x = 1， x = 2 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = 1 2 还还是是 Ax =

53、0 的解的解证明：证明： A( 1 2 = A 1+ A 2 = 0 + 0 = 0 性质性质2：若若 x = 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解，k 为实数，为实数， 则则 x = k 还还是是 Ax = 0 的解的解证明：证明： A( k = k ( A ) = k 0 = 0 结论：结论：若若 x = 1 x = 2, ., x = t 是齐次线性方程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = k1 1 + k2 2 + + kt t 还还是是 Ax = 0 的解的解. .结论：结论：若若 x = 1 x = 2, ., x = t 是齐次线性方

54、程组是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，的解， 则则 x = k1 1 + k2 2 + + kt t 还还是是 Ax = 0 的解的解. .p已知齐次方程组已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解向量的线性组合给出更多的解p能否通过能否通过有限个解向量的线性组合有限个解向量的线性组合把把 Ax = 0 的解全部表的解全部表示出来？示出来？p把把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作的全体解组成的集合记作 S，若求得，若求得 S 的一个的一个最大无关组最大无关组S0：x = 1 x = 2, ., x = t ，那么，那

55、么Ax = 0 的的通解可表示为通解可表示为 x = k1 1 + k2 2 + + kt t p齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的程组的基础解系基础解系（不唯一）（不唯一）回顾：向量组的秩的概念回顾：向量组的秩的概念定义：定义：设有向量组设有向量组 A ，如果在，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1, a2, , ar，满足，满足 向量组向量组 A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；线性无关； 向量组向量组 A 中任意中任意 r + 1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r + 1个向量的个向量的 话）

56、都线性相关；话）都线性相关； 向量组向量组 A 中任意一个向量都能由向量组中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；线性表示；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大无关组最大无关组向量组的最大无关组一般是不唯一的向量组的最大无关组一般是不唯一的返回返回基础解系的概念基础解系的概念定义：定义：齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：的一组解向量： 1 1 2 2 ., r如果满足如果满足 1 1， 2 2，.， r 线性无关；线性无关；方程组中任意一个解都可以表示方程组中任意一个解都可以表示 1 1 2 2 ., r 的线性组合，的线性组合，那

57、么称这组解是齐次线性方程组的一个那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系基础解系3 3、求基础解系的方法、求基础解系的方法 后后 n - r 列列 前前 r 列列 设设 R(A) = r ，为叙述方便，为叙述方便，不妨设不妨设 A 行最简形矩阵行最简形矩阵为为对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组令令 xr+1, , xn 作自由变量，则作自由变量，则111,212,1,100010001000000000000000n rn rrr n rm nbbbbbbB 11111,22112,11,0,0,0.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx 11111

58、,22112,11,.rn rnrn rnrrrr n rnxb xbxxb xbxxb xbx 111 11,1 1,11n rn rrrr n rn rrnn rxb cbcxb cbcxcxc 令令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则11121,12,11110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc 齐次线性方齐次线性方程组的通解程组的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 记作记作 x = c1 1 + c2 2

59、+ + cn-r n-r （满足基础解系（满足基础解系） 11121,21222,1,2,12(,)100010001n rn rrrr n rn rbbbbbbbbb n r 列列前前 r 行行后后 n r 行行故故 R( 1, 2 , , n-r ) = n r ，即即 1, 2 , , n-r 线性无关线性无关 （满足基础解系（满足基础解系）于是于是 1, 2 , , n-r 就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系的基础解系111 11,1 1,1122n rn rrrr n rn rrrnn rxb cbcxb cbcxcxcxc 令令 xr+1 = c1, x

60、r+2 = c2, , xn = cn-r ，则，则11121,12,12110000001n rrrr n rn rbbbbbbccc 线性方程组线性方程组的通解的通解11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb xbx 记作记作 x = c1 1 + c2 2 + + cn-r n-r （满足基础解系（满足基础解系） 12100010,001rrnxxx 11111221,22112222,1122,.rrn rnrrn rnrrrrrr n rnxb xb xbxxb xb xbxxb xb