键槽的集中应力分析及优化设计

1、Stress concentrations in keyways and optimization of 键槽应力集中分析及优化设计Abstract: Keys and keyways are one of the most common shafthub connections.摘要：键和键槽是最常见的轴毂连接方式的一种。然而，很少见到关于数值分析方面的文献。The design is often regulated by standards设计所遵守的标准规范已有近半个世纪，且文献中的that are almost half a century old, and most results

2、reported in the literature are based on大多数结果，是基于光弹实验分析得出的experimental photoelastic analysis.。本文介绍了数值有限元分析(FE) analysis can improve the prediction of stress concentration in the keyway.（FE）如何提高键槽的应力集中的预测。 结果表明，在使用形状optimization and the simple super elliptical shape, it is shown that the fatigue life

3、of a keyway优化和简单的超椭圆形后，最大应力水平降低了50，键槽的疲劳寿命可以大幅提高can be greatly improved with up to a 50 per cent reduction in the maximum stress level.。该设计便于更改，只需改变两个可变的设计参数，因此就比较实用。parameters.Keywords: Keyway, parallel key, stress concentration, optimization, Laplace equation, FE关键词：键槽，平键，应力集中，优化，拉普拉斯方程，有限元 1 INTR

4、ODUCTION 1引言 Keys and keyways commonly connect shaft and hubs. 键和键槽常用来连接轴和轮毂。The designs of these are controlled by differen键和键槽的设计由不同的标准而定，如参考 1。根据standards, eg reference 1.。不同的设计原理，键可以分为Different design princi-平键，锥形keys, or Woodruff keys, see eg references 2 and 3.键或半圆键。Among these, the most commo

5、n is the parallel key,其中，最常见的是平键，也which is the subject of the present paper.是本文的主题。键和keyway design is fully controlled by the standards键槽的设计，完全是根据一个参数-轴直径的标准来控制based on only one parameter the shaft diameter.。就提高疲劳强度的设计而言，这方面的成果寥寥无几，比如minimizing the stress concentrations.应力集中的最小化。目前笔者所知，这方面虽然由Orthwei

6、n指出，但current author's knowledge, very little has been done之后没有进行。其它设计或许在文献中提出，例如文献7和8。 大概是菲隆首次提出有键槽的The first paper addressing the torsional stiffness of首次首次一种轴的扭转刚度shafts with a kind of keyway is probably that of Filon 7。该文中，轴的建模是elliptical cross-section and the keyways were mod-椭圆形横截面形状，键槽的建模是

7、双曲线形状elled as hyperbolae.。Following this analytical paper,这篇分析文章发表之后，there have been a number of experimental papers很多实验性论文论述了dealing with the stress concentrations of key and键和keyway connections.键槽连接的应力集中问题。 Many of these papers have这些论文中（所讨论的方法），有许多used photoelastic analysis, see eg references 8 t

8、o使用的是光弹性分析方法，例如文献8到13。其他的是在表面电镀铜，例如文献14到15。addition to references 7 and 8, other papers have除了文献7和8，其他论文论述dealt with experimental stress concentration verifica-了实验性的应力集中证明，请参阅在Orthwein的文献4。 The most commonly used reference with respect 最常用的关于to stress concentration factors is Peterson 16应力集中因素的论述是Pe

9、terson提出的，which is reproduced and extended in Pilkey 17.Pilkey进行了转载和扩展 17。The keyway results reported here are taken from the本文的键槽结果报告就是取自文献8、9、15。references 8, 9 and 15.The use of finite element采用有限元(FE) modelling and computational power makes it（FE）的建模和计算可以对结果改善possible to improve these results, b

10、ut it seems that，但目前this has not yet been done.尚未完成。The purpose of the present paper is therefore 因此，本文的目的有两个：首先，通过使用有限元analysis of existing standard designs, and secon分析现有的标准设计，找到应力集中；然后，通过降低stress concentratio应力集中improve/optimize the keyway design by lowering the改进/优化键槽设计。The keyway related stress

11、 is键槽应力的三维效果indeed fully three dimensional as also stated in实际上正如彼得森所述。通过分析发现，许多不同的因素，都会对复杂的an influence on the needed FE analysis complexity有限元分析以及计算最大应力产生影响。analyses这些因素是： (a) loading: tension, bending, or torsion; （一）负载：拉伸，弯曲，或扭矩; (b) key: loaded with or without the key inserted in （二）键：有负载的键（有/无

12、插入the keyway;键槽）; (c) stress: at the keyway end or in the prismatic （三）应力：在键槽末端或圆柱形部分 图1 两个标准平键键槽末端。（a）圆头平键键槽（b）平头平键键槽由于数值分析的局限性，本文deals only with torsion; with respect to the other load仅论述扭矩;关于其他负载or any load combinations the reader is referred t或负载组合，读者可以参考Fessler et 费斯勒9To make an easy comparison

13、 with the。numerical and experimental work in Leven 8Leven对数值和实验做了简单的比较8。possible, the keyway is loaded in torsion without t试验条件可能是加载扭矩时键槽中没有键，说明这种情况没有必要做接触analysis, which would complicate the numerical分析，这使得数值analysis considerably分析相当复杂。该报告的结果（在Okubo15）指出，不通过the key relative to torsion applied throu

14、gh the key键而施加纯扭矩载荷下的最大应力，与通过键施加扭矩载荷的情况有所区别。experiments presented in reference 15 were in two 这篇文章中的实验 15分为两groups (group A and B) for the different relative sizes 组（A组和B），以对应轴直径不变情况下不同尺寸the keyway to the shaft diameter的键槽。experimental result is that in the prismatic keyway实验结果是，相对于无键的情况下，A组中圆柱形键槽pa

15、rt the maximum stress is 812 per cent for group A的最大应力大于8-12，B组的大于and 47 per cent for group B greater with a key relati4-7。不同的是，A组键末端的最大应力大于16-24 group A and 1214 per cent for group B at the key end.，B组大于12-14。These values were relatively unaffected by different这些数值不受ratios of fillet radius to shaft

16、 diameter.圆角半径对轴直径的比值的影响。 This leads to thconclusion that the true stress concentrations can be结论是，应力集中可以通过研究发现。研究的方法不是通过键施加扭矩，而是在键槽圆柱形部分施加大于应力最大值12的应力。 the key by adding a maximum 12 per cent to theThe end of a keyway has two standard designs, 键槽末端有两种标准设计，如shown in Fig.图1。 圆头平键The profile keyway is

17、 cut by an end-键槽是由一个立铣刀铣出，平头平键mill while the sled-runner keyway is cut by an键槽（sled-runner keyway）是由普通铣刀铣出。 在圆头平键键槽中，键槽末端The stress concentrations at的应力集中最严重。keyway, so with respect to fatigue the sled-runner is所以对于疲劳测试，平头平键mill while the sled-runner keyway is cut by an键槽是the best design.最好的设计。 Ort

18、hwein 4 suggested a designOrthwein 4提出一种改变平头平键mill while the sled-runner keyway is cut by an键槽末端的设计，该设计能够change to the sled-runner keyway end that further末进一步提高键槽的疲劳性能。improves the fatigue properties.Leven 8 found thLeven8发现，圆头平键键槽末端在stress concentration factor for pure torsion for 纯扭矩作用下，应力集中系数prof

19、ile keyway end to be K=3.4，该键槽的宽度to diameter ratio equal to b/d 5 1/4.与轴直径之比b/d=1/4。这个值unaffected by the keyway bottom fillet radius.不受键槽底部圆角半径的影响。如果圆头平键profile keyway end design is to be improved we键槽末端的设计能够改进的话，我们可以不用圆形设计，这would most probably increase the machining cost很可能会增加加工成本，and is not discus

20、sed further in this paper并且不是本文进一步讨论的内容。如果用同样的铣刀加工cutter is used for the hole cutting operation加工孔，相对于键槽末端而言，平头平键sled-runner keyway in pure torsion the stress con-键槽在纯扭矩作用下的应力集中系数比圆柱形键槽高centration factor is higher in the keyways prismaticpart relative to the keyway end if the same milling。本文中，通过简化（模

21、型），使得分析的With the simplification made the analysed stress应力集中系数concentration factor in the present paper is fully完全取决于圆柱形键槽底部的圆角。该设计的二维图如图2所示。 Obeying the standards, the only way to improve 按照标准，改善应力集中的唯一方法如the stress concentrations for the design in Fig.如图2中的设计，即select the maximum fillet radius r.选取

22、最大圆角半径r。以往对于机械元件形状优化的成果（see references 19 and 20, has shown that见参考文献19和20）表明，由changing from the circular shape to an elliptical由圆形变为椭圆形对应力集中影响shape significantly affects the stress concentrations.显著。这也在This is also demonstrated in the present paper.本文中得到了证明。 The current paper is organized as follow

23、s. 本文的结构如下：在第2 the torsional problem is formulated mathematicall2节用数学公式阐述扭矩问题and the FE implementation is presented.，并且介绍有限元处理过程。第3节介绍了介绍标准设计的结果，和基于一定比值r/ d（t/d和b / d是确定值）的应力集中实际曲线的拟合方程。第42 the torsional problem is formulated mathematicall44节提出优化设计方案，同时对标准设计做出不同的修改，从而大大减少了应力集中。因此，第5are proposed, res

24、ulting in large reductions in the节中提出了新的键槽标准设计。图2. 平键键槽 (a) end-milled or profile keyway; (b) sled的圆柱形截面way, the coordinate system is placed at，轴心为坐标系原点shaft axis.。The relative dimensions correspond根据DIN 6885-11，相关尺寸为to a d5100mm shaft according to DIN 6885-为轴直径d=100mm（t=10mm，b=28mm，0.4mmr0.6mm） 2 M

25、ATHEMATICAL FORMULATION AND FE2 数学公式和有限元分析（Fe） 扭矩如下G-剪切弹性模量J-横截面的扭转刚度系数，-扭转截面的旋转角度l-轴的长度在文献中经常使用=L，即单位长度的旋转角度。这是假设一个圆柱形轴与笛卡儿坐标系X，Y和Z方向对齐。例如，轴线与Z方向对齐。Saint-Venant给出了变形函数y（x，y），其中力矩作用下轴的位移函数如下根据定义，JSA6Using this definition the cross-section shearge截面剪切stresses (all other stresses are zero) are given b

26、y应力（所有其他应力为零）如下：With zero volume force the force equilibrium give根据零体积变化和力的平衡the Laplace differential equation that the warpin进行拉普拉斯微分方程变换，变形function must fulfil函数必须满足 To solve this differential equation the boundary为了解决这个微分方程，需要有边界条件。conditions are needed自由边界There is no surface traction没有表面牵引力for f

27、ree boundaries.。如果把正交的表面defined as n定义为Nxx，, ，。Nyyyyy，Tthen the condition of no surfa则没有表面牵引力的边界条件traction is given by由下式给出：This can be reformulated into a Neumann bound- equation (3通过使用等式（3），上式可以改写成变形函数 的Neumann边界条件：图3利用对称性显示half the cross-section of a shaft is shown.显示了轴横截面的一半。It is possible to ut

28、ilize symmetry, see Fig.boundary condition for a symmetry line is given by对称线的边界条件如下：If the symmetry line demonstrates that y 5 0, as in如果对称线y=0，如Fig.图3，对称线（7）的边界条件可以简化。由于nxx=0和nyy=1，the boundary condition becomes t，边界条件变为tZX=5 0 or by using=0或根据方程（3）DY / DX=0。这与Dirichlet边界条件是相同的。where C is an arbit

29、rary constant.其中，C为任意常数。由于只有derivative of the warping function is of interest, w变形函数的一次导数有用，我们可以让C=0。 By formulating the torsional 通过边界条件tions (6) and (8) it is possible to use a standard（6）和（8）阐述扭矩problem as equation (4) with the boundary condi问题（4），可以使用标准偏微分方程（PDE）求解。本文中用到程序COMSOL21。 It should be

30、noted that the displacements (2) are应当指出的是，位移（2）是相对于扭矩中心的坐标系定义的。然而，所涉及的应变和应力的计算，是不受movement or rotation of the coordinate system.运动或坐标系统的旋转影响的。 Fig.图3. 图像是图2中的轴的一半。例（a）是有限元网格划分，插图有917个网格。狄利克雷Dirichle边界条件（8）应用于底部的边，而Neumann边界条件（6）应用于其余的边。（b）是由此产生的应力水平线，该图说明了边角的应力集中情况。 corner 2.1 Stress concentration

31、2.1应力集中 The stress concentration is most often defined as 应力集中一般定义为 Stress concentrations in keyways在键槽应力集中其中NOMis the nominal stress, ie the maximum是公称应力，即没有键槽的最大应力，stress without the keyway and smax是有键槽的最大应力。 Both stresses are the greatest 这两者都是最大的principal stress.主应力。下标t表示，这仅是理论上基于几何形状和载荷/边界条件的应力

32、集中，不包括材料敏感度。对于对于扭转问题的应力集中，可以由以下等式求出 where for the present torsional problem 当前扭转问题 公称应力和最大应力是在The nominal stress and the maximum stress are相同外部荷载作用下的应力。根据。assumption of linear elasticity the external load size。线性弹性（linear elasticity）的假设，外部负载大小不影响应力集中。 Mt的The size的大小应由下式选取公称This leads to the nominal

33、stress and maximum stressnormal应力和最大应力的计算为where J其中JÇ是圆轴横截面的扭矩刚度系数 factor for the circular shaft and Jis the cross-是有键槽处轴横截面的扭矩刚度系数ð17Þ 2.2 FE model2.2有限元模型 A FE model example is shown in Fig. 有限元模型如图3所示。轴的设计按照DIN标准，如图3所示design is the DIN standard presented in Fig.。只需对轴的half the shaft

34、 is necessary for the modelling.一半建模。底边是对称线，狄利克雷Dirichlet边界条件（8）适用。Neumannboundary condition (6) is applied to the remaining边界条件（6）应用于到其他的边界。为了达到直观的效果，网格数被限制（917片）。在本文中，网格是被划分成很多片（30 00060 000）的情况下进行的数值计算。采用收敛测试(Convergence tests)确认有限元分析结果。The maximum stress is of primary interest, since最大应力是主要的目的，因

35、为应力集中由应力决定。在所有数值计算中，键槽边界发现了最大应力。沿着圆角的应力集中（分布）如图4（a）The 所示（s为弧长），沿着键槽边界的应力集中（分布）如呈下降趋势的（close up）图4（b）所示，。从优化的角度来说，这是不是最佳的设计，因为为了达到设计优化的目的，希望应力是沿表面的主要部分连续不变的。参考【19】Fig.图。 4 The figures are for half the shaft shown in Fig. 应力水平为：圆角半径r=0.6mm时 The maximum value is KKt=t=2.93；r=0.4mm时 The maximum value i

36、s KKt=t=3.333.32。这对于符合标准几何形状的设计而言，应力集中有相当大的变化。 standard geometry.图4 该图是图2所示中轴的一半，并以弧长函数的形式显示了应力集中function of the arc length.。 (a) The stress concentration factor along the keyway boundary （a）图是沿键槽边界的应力集中系数，从外部的点开始，直到中点结束starting from the external point until the centre point.。（b）图中应力集中呈闭合状，这里只显示在拐角处

37、沿圆角半径r=0.6mm的值，该值为最大值为Kt=2.93 ；圆角半径r=0.4时，Kt=3.32。 A fine mesh near the point of stress concentration应力集中点附近的网格有必要进行细微划分is needed in order for the FE analysis to return the，以便通过有限元分析来得到精确的最大应力值。按照fillet designs defined by the standard, see section标准规定设计的半圆形圆角，见第3节中， the mesh densities are controlled

38、 by the FE program.网格密度由有限元程序控制。Convergence tests have been made ensure that 收敛测试使得mesh density is sufficiently large to ensure reliabl网格密度足够大，以确保结果可靠。在第4节的优化设计中 ，离散的outer boundary is discritized such that there are 5外部边界使得沿圆角有500 个节点。这样，of the reported stress concentration factors.应力集中系数的准确度会很高。 3

39、STRESS CONCENTRATION OF FILLET 3 键槽圆角（DIN）的应力集中 KEYWAYS (DIN) In the standard keyway design 1 the fillet of the标准的键槽设计中1，圆柱部分的圆角在公差范围以内。对于相同的直径，日r r/ d可变。如图2所示。根据特定轴的直径，Th标准还规定了b / d和t / d 的比值。根据标准，直径范围为6mm d500mm，不同比率的限制范围是：5 The variations of depth ratio t/d and width ratio b/深度t / d和宽度b /d的变化如图5（

40、a）所示。圆角比值t / d的上下limit for the fillet ratio r/d are shown in Fig限如5(b), all 图5（b）所示，以上都是根据DIN 6885。From Fig. 很明显，图5 it is clear that there is a large variation i5中的设计有很大的变化。在已经发表的论文中，圆柱部分在纯扭矩作用下的应力集中（分析）是根据利文8的研究得到的。对于b/d50.25 and t/d50.125d=0.25和t/d=0.125的具体情况，已经给出了结果。It is doubtful that these are根

41、据DIN 6885，对于键槽设计的整个范围是否有合适的平均值，值得怀疑。从上一节中100mm轴的集中应力值来看，似乎不是如此。 The利文的研究结果8略微高估了Kt的值，因此，Pilkey 17的研究中的拟合曲线也同样高估。然而，得到的结果仍然是保守的。更好的拟合曲线如下式 这是The curve fit is given for the specific case b/d 5 0.25这是 b/d =0.25和和t/d=0.125特定情况的拟合曲线。Pilkey 17的拟合曲线是由由方程（20）得出。方程（20）给出的KtThe average 平均值 比方程式（19）的平均值高4。键槽设计

42、是由四个变量控制，直径d，深度t，宽度b和圆角比r。如第2节中所述，对于specific values it is possible to find the stress特定值，可以得到应力集中系数K。然而，这有利于得到一个与拟合曲线接近的应力集中系数代数表达式，（19）。在此不会去尝试得到一个同时涵盖所有不同设计的应力集中的表达式。根据DIN标准that covers all the different design possibilities is no不可能 ，尝试把应力集中系数与设计变量取得联系是可行的。两组曲线图像可以看出，从宽度比到厚度比，这两个设计参数根据轴直径的变化呈自然下降趋

43、势。5 (a) The depth ratio t/d and width ratio b/d as a function of the shaft diameter according to图5（a）根据DIN 6885，以深度比t/d、宽度比b/d为轴直径的函数。（b）根据DIN 6885，以圆角比r/d的上、下限为轴直径的函数。performed.可行的 diameter.图6（a）中直径范围6mmD38mm，图6（b）中直径range 38 mm udu 500 mm范围38mmD500mm。 The assumption made here is that a linear curv

44、e fit to the data is假设根据数据拟合的线性曲线适当，为了与深度t的建立联系，消除一个设计参数（宽度B）。线性拟合曲线是 bIt should be noted that no attempt is made for应注意的是，不应当对d=38mm时的连续性做出分析。 having continuity at d 5 38 mm. Two numerical experiments have been carried 两个数值实验已经完成，一个如图7所示，直径范围6mmD38mm；7 and the other for the diameter range另一个如图8所示，直

45、径范围38mmD500mm。 8.,在这两种情况下， DIN标准规定设计变量做出了不同的限制。从数值计算（这些points) it is clear that it is possible to make a simpl点）来看，显然能得到一个可表示结果的简单拟合曲线。应该注意，在图7和图8中显示的结果，是由以based on the design constraints specified by equa-由由方程（21）和（22）为限制条件的设计得出。 。A curve fit is made for each of the two diameter为两个直径ranges范围中的每一个添加

46、拟合曲线。应当指出，拟合曲线的正确性被图7和8所示的设计空间所限制。拟合Figs 7 and 8 respectively.曲线由下式给出 ：It should be noted that no attempt is made fo应注意，d=38mm时，不需要尝试让曲线具有连续性。Fig.图6 （a）根据DIN 6885，直径范围是6mmd38mm时，宽度比随深度比变化的函数如图，同时也给出了线性拟合曲线（21）。 (b) （b）根据DIN 6885，直径范围是38mmd500mm时，宽度比随深度比变化的函数（22）如图。Fi图7 The stress concentration facto

47、r as a function of the fillet ratio for diameter ran7 直径范围为6mmd38mm时，应力集中系数随圆角比而变化的情况如图。根据DIN 6885,这个直径范围内，满足0.005r/d0.027并且深度比满足0.13t/d0.25。The width ratio b/d is通过（21），宽比b/d与深度比产生关联。由点和实线所显示的数值计算结果，就是以上数据的拟合曲线，见公式（23） 两条拟合曲线，和一个简单的应力集中系数。该系数是按照DIN 6885给出的设计，在纯扭矩作用在键槽圆柱部分时估计出的。 factor estimation fo

48、r the keyways prismatic part in。至于具体的设计，可以不按照在第2节规定的全数值模拟标准DIN 6885specified in section 2 is needed.。从一个标准键槽得出的应力集中系数参数参数，也可以以图形的方式显示，如图 9.9。对应圆角ratio here connected by straight lines比上限和下限的点，在此处用直线连接。The points不同的设计的k系数，将位于两条线所限制的区域中。最上方的线作为最坏情况的应力集中系数4 KEYWAY OPTIMIZATION 4 键槽优化 In keyway design,

49、as in many other designs within 和很多其他机械元件设计一样，在键槽设计中，machine elements, the standard preferred shape i标准的首选形状是the circle or a semicircle圆形或半圆形。This is probably attribu这可能是因为参数化简单和/或容易制造。然而，For the sled-runner design or the对于平头平键键槽设计或圆头平键键槽，采用不同的圆角形状并不难。对于应力集中，从形状最佳的角度来说，圆形并非最理想的形状，这是众所周知，如见彼得森19。在num

50、erical shape optimization it is important 数字化的形状优化方面，有详细的或更好的形状分析说明是非常重要的。分析说明也可以对其他设计进行验证和对比成为可能。另一个原因由形状优化中得知optimization (see eg Ding 22 and references（例如，见22和参考文献therein) that the FE model nodes cannot be use），即有限元模型的节点不能作为设计参数使用。Fig图8 在直径范围为38mmd500mm时，应力集中系数随圆角比而变化的情况如图。根据DIN 6885，这个直径范围内，满足0.

51、003r/d0.01并且深度比满足0.06t/d0.14。The width ratio b/d is通过方程（22），宽比b/d与深度比产生关联。由点和实线所显示的数值计算结果，就是以上数据的拟合曲线，见公式（24） Fig.图9 The stress concentration factor for the pris9 matic part of a keyway in pure torsion as a在纯扭作用下，键槽圆柱部分的应力集中系数随直径变化。不同的设计variables are controlled by DIN 6885变量由DIN 6885的控制。对应The point数

52、值模拟的点，由直线连在一起。Fig. 图10设计领域： 半个键槽的fillet is a super ellipse with semi-major axes A圆角是一个半长轴是Aand B和B超的椭圆 从实用的角度，重点应该是简单，simplicity, although the optimization result shou虽然优化结果仍然应still be near to the optimal design接近最佳设计。 That a given 一个确定的parameterization is sufficiently flexible, ie that i参数具有足够的灵活性，

53、即can return optimal designs, can only be checked or得到的最优设计，只能verified after an actual optimization procedure实际优化过程后进行检查或验证。如果应力一直沿面的主要部分，则该then the shape is assumed to be optimal, se则形状被认为是最理想的，见彼得森19。 The parameterization chosen here is to use the 这里选择的参数化，是通过使用super ellipse due to the simple param

54、eterization an超椭圆形得到的。这是因为参数化简单，并且在其他问题上，原来由owing to previous results obtained with this shape in这种形状获得的结果与应力集中有关。圆角的椭圆形状可以在The design domain is shown in Fig.图10的设计领域中看到。The super ellipse (with super elliptical power g) is超椭圆（超椭圆幂）的参数形式为The keyway design is, according to Fig.根据图 10, fully 10，键槽的设计完全

55、由以下5个设计参数决定：宽度为b，深度T，长度L1、L22，和超椭圆功率。所有进行的优化中，一些参数当做是已知的，这样只有两个起作用的起作用的设计参数。对100mm轴所有参数的研究，和所有例子中宽度的选取，都是根据标准进行的，即B=28mm。这当然是特殊选择的轴直径，但能表明应力水平改善如何的结果，更有普遍性。 4.1 Design revision 1 4.1设计方案1 In the first design revision allowance is only made第一个设计方案的公差仅适用于最小可能的设计变更，该设计变更，与DIN标准规定的原设计有关。预选值是B=28mm，t=8mm

56、，L11=7.4mm ie the width and depth comply with the standard即宽度和深度符合标准，轴肩长度L1符合complies with the larges满足允许的最大圆角比r=0.6mm。因此，设计变量是末端长度L2和超椭圆幂。The parameter study results研究得到的最佳参值L2=13.19mm，=1.63 An iso line plot of the largest principal stress is图11是最大主应力的等值线图。From this figure it can be seen从该图中可以看出，这些

57、等值线接近圆角平行线，说明indicating constant stress along the shape沿着外形有连续的应力。这在显示沿键槽边界集中应力系数的图12中可以直观地看到。从呈下降趋势的12(b) it is seen that the stress is图12（b）可以看出，该应力沿圆角接近稳定不变。最佳的应力集中系数值为Kt=2.53。该数值可以与原来Kt=2.93时的结果相比。Kt=2.93时，是按照DIN标准的半圆形圆角设计的。由于这个相当小的设计变化，最大应力因此降低了13.6。由于轴肩长度L11没有改变，unchanged shoulder length, L未因此可以认为这种键槽设计完全和原设计的作用一样。Fig.图12 是半个键槽的图，显示了集中应力随弧长变化的情况：（a）应力集中系数沿所述键槽边界的外部点开始 the external point until the centre point; (b) stress concentration close up, here only，直到中心点结束（b）集中应力呈闭合趋势，这里只显示shown along the super ellipse; the maximum stress concentration factor is 沿超椭圆键槽边界最大应力集中系数，为K=2.53 4.2 Desi