《概率论》 第六章 数理统计的基本概念

1、数理统计的研究任务：数理统计的研究任务：怎样有效地搜集、整理和怎样有效地搜集、整理和分析带有随机影响的数据，进而对所考察的问题分析带有随机影响的数据，进而对所考察的问题作出推断或预测作出推断或预测. .数理统计中的两类问题：数理统计中的两类问题：一、试验设计及统计分析：一、试验设计及统计分析：怎样合理地收集到用怎样合理地收集到用于分析的数据，并对取得的数据进行分析；于分析的数据，并对取得的数据进行分析；二、统计推断：二、统计推断：怎样利用所获得的数据对所关心怎样利用所获得的数据对所关心的随机现象作出尽可能可靠的推断或预测，即随的随机现象作出尽可能可靠的推断或预测，即随机现象应服从什么类型的分布

2、及机现象应服从什么类型的分布及所服从分布中的所服从分布中的参数应如何估计参数应如何估计. .第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第一节第一节 总体与样本总体与样本第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念一、总体与个体一、总体与个体总体总体 研究对象的全体所组成的集合研究对象的全体所组成的集合；个体个体 组成总体的每个元素组成总体的每个元素； 实际问题中，人们关心的往往是研究对象的实际问题中，人们关心的往往是研究对象的某个特征指标，因此也常常把某个特征指标，因此也常常把研究对象的某个特研究对象的某个特征指标值的全体称为总体征指标值的全体称为总体，其中每个元素的指标其中每个

3、元素的指标值作为个体值作为个体。有限总体有限总体 包含有限个个体的总体包含有限个个体的总体；无限总体无限总体 包含无限个个体的总体包含无限个个体的总体. 在普查某学校在普查某学校2000名学生名学生的身体素质时的身体素质时, 这些学生的全这些学生的全体就构成一个总体，且是有限体就构成一个总体，且是有限总体，每个学生的就是个体总体，每个学生的就是个体. 例例1 在研究身体素质时，若主要通过学生的在研究身体素质时，若主要通过学生的体体重重指标反映，则此时可把指标反映，则此时可把20002000名学生体重可能名学生体重可能取值的全体看作是总体，而每个学生的体重看取值的全体看作是总体，而每个学生的体重

4、看作是个体作是个体. . 而若身体素质通过学生的而若身体素质通过学生的体重和身高体重和身高两项两项指标反映，则把指标反映，则把20002000名学生体重和身高可能取名学生体重和身高可能取值的二维向量的全体看作是总体，而每个学生值的二维向量的全体看作是总体，而每个学生的体重和身高的二维向量看作是个体的体重和身高的二维向量看作是个体. .例例2 在研究某批零件的抗拉强度时，这批零在研究某批零件的抗拉强度时，这批零件抗拉强度取值的全体组成了一个总体，且件抗拉强度取值的全体组成了一个总体，且也是一个有限总体，而每个零件的抗拉强度也是一个有限总体，而每个零件的抗拉强度则是个体则是个体. .例例3 一个育

5、苗室各处的温度的全体就是总体，一个育苗室各处的温度的全体就是总体，且是无限总体，室内每一处的温度就是个体且是无限总体，室内每一处的温度就是个体. . 1. 例例1中若记学生的身高为中若记学生的身高为 ，则，则 是一个随是一个随机变量机变量。即即可用随机变量可用随机变量 ( (或多维随机变量或多维随机变量) )来来表示总体的某一特征指标表示总体的某一特征指标( (或多个特征指标或多个特征指标).).注注 2.由于实际中往往研究的都是总体的某些特征指标，由于实际中往往研究的都是总体的某些特征指标，所以所以今后都用随机变量今后都用随机变量 （一维或多维）表示总体，（一维或多维）表示总体，即总体就是一

6、个具有确定概率分布的随机变量，从即总体就是一个具有确定概率分布的随机变量，从而可将概率论中的对随机变量的研究方法引入到数而可将概率论中的对随机变量的研究方法引入到数理统计中来理统计中来. . 并称随机变量并称随机变量 的分布函数为的分布函数为总体的分布函数总体的分布函数。当当 为离散型随机变量时，称为离散型随机变量时，称 的分布律为的分布律为总体的总体的分布律分布律；当；当 为连续型随机变量时，称为连续型随机变量时，称 的概率密的概率密度为度为总体的概率密度总体的概率密度. . 二、样本与抽样原则二、样本与抽样原则1. 样本样本 实际中，在对总体进行研究时，一般是从总实际中，在对总体进行研究时

7、，一般是从总体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观测，从而对总体的分布规律作出较为合理的判断测，从而对总体的分布规律作出较为合理的判断或推测或推测. .定义定义 从总体中抽出有限个个体的过程称为从总体中抽出有限个个体的过程称为抽样抽样，被抽出的这些个体称为被抽出的这些个体称为样品样品，所有样品构成了总，所有样品构成了总体的一个体的一个样本样本。样本中所含个体的数目称为。样本中所含个体的数目称为样本样本容量容量. .2. 抽样原则抽样原则 为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：

8、一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：(2) 独立性独立性 要求每个样品的抽出相互之间是互不要求每个样品的抽出相互之间是互不影响的，影响的，即要求每个样品之间相互独立即要求每个样品之间相互独立. .满足以上两点要求的样本称为满足以上两点要求的样本称为简单随机样本简单随机样本.(1) 代表性代表性 要求样本中的每个样品都是从总体要求样本中的每个样品都是从总体 中中完全随机地抽出的，完全随机地抽出的，即每个样品与总体即每个样品与总体 具有相同具有相同的分布的分布； 实际中通常有两种抽样方式：实际中通常有两种抽样方式：不重复抽样不重复抽样( (不放回不放回) ) 重复抽样重复抽样( (放回放回) )注

9、注 1.重复抽样所得的样本才是简单随机样本，重复抽样所得的样本才是简单随机样本，今后，本书中提到的样本均指简单随机样本；今后，本书中提到的样本均指简单随机样本；2.在总体个数无限时，抽取有限个样品后不会影响在总体个数无限时，抽取有限个样品后不会影响总体的分布，此时认为两种抽样方式没有区别；总体的分布，此时认为两种抽样方式没有区别；3.实际中，若总体个数较大，而所取样本的容量相实际中，若总体个数较大，而所取样本的容量相对较小，一般不超过总体的对较小，一般不超过总体的10，可认为此时总体可认为此时总体无限，即两种抽样方式没有区别无限，即两种抽样方式没有区别. . (2) 随机变量随机变量 相互独立

10、相互独立.n ,21而对于某次具体抽样之后，得到的一组确定的数而对于某次具体抽样之后，得到的一组确定的数值，则一般记成值，则一般记成 称之为称之为样本观察样本观察值或样本值值或样本值.),(21nxxx其中其中 为第为第i次抽得的样品次抽得的样品. . i 4. 对某总体对某总体 抽得的容量为抽得的容量为n简单随机样本一般简单随机样本一般记作记作n维随机变量维随机变量，),(21n 则有则有 (1) 每个每个 都与总体都与总体 服从相同的分布服从相同的分布；i 即所谓总体就是一个随机变量即所谓总体就是一个随机变量 ，所谓样本就是，所谓样本就是n个与总体个与总体 有着相同分布的相互独立的随机变量

11、有着相同分布的相互独立的随机变量n ,21所组成的所组成的n维随机变量维随机变量).,(21n 3. 样本的联合分布样本的联合分布 由概率论部分知识可知，由概率论部分知识可知，).(),(*121 niinxFxxxF其中其中 为为 的任一组可能的的任一组可能的取值取值.nxxx,21n ,21n ,211. 若设总体若设总体 的分布函数为的分布函数为F(x)，则样本，则样本 的联合分布函数为：的联合分布函数为： niiinnxPxxxP12211, ).(),(*121 niinxfxxxf2. 若总体若总体 为离散型随机变量，并设其分布律为为离散型随机变量，并设其分布律为 ，), 2 ,

12、1( ipaPii 则样本则样本n ,21的联合分布律为：的联合分布律为： 3. 若总体若总体 为连续型随机变量，并设其概率密度为连续型随机变量，并设其概率密度为为 ，)(xf则样本则样本 的联合概率密度为：的联合概率密度为：n ,21 .),(,),(),(2121的联合分布律的联合分布律求样本求样本的样本的样本是来自总体是来自总体设总体设总体nnX 解解的分布律为的分布律为总体总体 , 21相互独立相互独立因为因为n )0;, 2 , 1 , 0(! kekkPk,有相同的分布有相同的分布且与且与 的联合分布律为的联合分布律为所以所以),( 21n 例例4,2211nnxxxP niixe

13、xi1! niixnxenii1!1 niiixP1 .),(,),( ,)0(2121的的联联合合概概率率密密度度求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本布布的的指指数数分分服服从从参参数数为为设设总总体体nn 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 , 0, 0, 0,e)(xxxfx , 21有有相相同同的的分分布布且且与与相相互互独独立立因因为为 n的联合概率密度为的联合概率密度为所以所以),( 21n )(),(121 niinxfxxxf ., 0, 0,e1其其他他ixnxnii 例例5三、经验分布函数三、经验分布函数 在数理统计中，关于总体在数理统计中，关于总体 ，最基本的问

14、题，最基本的问题是研究其分布函数是研究其分布函数F(x)，常常用，常常用经验分布函数经验分布函数来来近似代替总体分布函数近似代替总体分布函数. 12*12,nnx xxx xx 设设是是总总体体 的的一一组组样样本本观观察察值值，将将它它们们由由小小到到大大重重新新排排列列成成，定定义义如如下下函函数数：定义定义*1*112*+1*0( )=1nnknkknxxxxxF xxxxxx ( ).nF x 经经验验分分布布函函数数或或样样称称本本此此函函数数为为总总体体分分布布函函数数的的例例4 为了研究一个工厂在一个季度内所生产的为了研究一个工厂在一个季度内所生产的电视机寿命电视机寿命 （单位：

15、年），我们从中抽取了（单位：年），我们从中抽取了1010电视机，得样本值为电视机，得样本值为 12 10 10 13 14 12 11 14 15 12试求经验分布函数试求经验分布函数. .解解 将它们由小到大排列为：将它们由小到大排列为：10 =101112=12=121314=1415 2103106101071091001010111112( )=121313141415115xxxFxxxxx ,( )( )( )( )nnxnF xF xF xF x 由由伯伯努努利利大大数数定定律律可可以以证证明明，对对任任一一实实数数当当 充充分分大大时时，与与只只有有微微小小差差别别，即即： 注

16、注10 =101112=12=121314=1415可得经验分布函数可得经验分布函数: :第二节第二节 统计量统计量一、统计量的定义一、统计量的定义.),(,),(,21212121计计量量统统是是一一个个则则称称知知参参数数连连续续函函数数且且不不含含其其它它未未是是若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnggg .),(),(,21212121的的观观察察值值是是则则称称的的样样本本值值是是相相应应于于样样本本设设nnnngxxxgxxx 注注 1. 统计量中不再含有其他未知参数，即当获统计量中不再含有其他未知参数，即当获得样本观察值得样本观察值 后，就能算

17、出统计量的后，就能算出统计量的相应观察值相应观察值nxxx,21；),(21nxxxg2. 统计量作为样本统计量作为样本 的函数，其本身的函数，其本身也是一个随机变量也是一个随机变量. .n ,213. 样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造适当的统计量，即样本的函数，从而利用这些构造适当的统计量，即样本的函数，从而利用这些样本的函数来进行统计推断。样本的函数来进行统计推断。 ?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各

18、式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 N,11 T,3212 eT ),(313213 T),max(3214 T,2215 T).(123222126 T是是不是不是例例1二二、 几个常用统计量几个常用统计量:,21的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设 n(1)样本平均值样本平均值 niin11 (2)样本方差样本方差 niinS122)(11 )(11122 niinn (3)样本标准差样本标准差 niinSS12211 (4) 样本样本 k 阶原点矩阶原点矩;, 2, 1,11 knMnikik (5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;,

19、 3, 2,)(11 knMnikik 注注 1. 上述几个统计量统称为上述几个统计量统称为样本矩样本矩； ,. 21MX .22MS 三、三、样本矩的性质样本矩的性质定理定理1 设设 是取自总体是取自总体 的一个样本，的一个样本， ),(21n 并设并设 则则,2 DE;,)1(2nDE ;1,)2(2222 nnMEES ;,)3( Pn时时当当.,)4(2222 PPMSn时时当当注注 1. 性质性质3、4表明，可用样本均值来估计总体均值，表明，可用样本均值来估计总体均值，用样本方差或二阶中心矩来估计总体方差；用样本方差或二阶中心矩来估计总体方差；2. 事实上，当总体的事实上，当总体的k

20、阶原点矩阶原点矩 存在时，样存在时，样本的本的k阶原点矩将会依概率收敛于总体的阶原点矩将会依概率收敛于总体的k阶原点阶原点矩矩。这一结论是下一章所要介绍的矩估计法的理这一结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据论根据.kE 第三节第三节 抽样分布抽样分布1. 标准正态分布标准正态分布，则则其其概概率率密密度度为为若若)1 , 0(.NUvr xxfx,21)(22e标准正态分布的上侧分位点标准正态分布的上侧分位点一、数理统计中常用分布及其上侧分位点一、数理统计中常用分布及其上侧分位点定义定义 设设 ，对给定的正数，对给定的正数 ， 若实数若实数 满足满足)1 , 0( NU1)(0 u uUP

21、则称点则称点 为标准正态分布为标准正态分布U的的 上侧分位点上侧分位点（或称（或称上上 分位数分位数或或 临界值临界值）. . u 分分布布表表完完成成，如如：可可通通过过查查标标准准正正态态的的值值求求对对于于不不同同的的, u025. 0u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 uu ,96. 1 附表附表2-22-2如如 95. 0u,645. 1 975. 0u.96. 1 05. 0u附表附表2-12-1,645. 1 二、二、 分布分布2 ).(, ), 2 , 1()1, 0(,22222221221nnniNnin 记为记为分布分布的的为为所服从的分布是自由度所服从的

22、分布是自由度则称随机变量则称随机变量且且，是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量设设 1. 定义定义特别地，若特别地，若 则则，)1 , 0( N 2 ).1(2 .2222122变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含的的独独立立指指的的是是：分分布布的的自自由由度度nn 分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其其他他xxnxfxnn 0)()()(01 sdxexssxs函函数数，定定义义为为为为其其中中图：图：分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如)(2n .00,e)2(21)(2122其其他他xxnxfxnn 2 性质性质1)(,),(),(2

23、122212nnnn 则则独立独立并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 推广：推广：).(,), 2, 1(),(21212mmiiiiinnnmin 则则独独立立相相互互并并且且设设2. 分布的性质分布的性质性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 2 3. 分布的上侧分位点分布的上侧分位点.)()()()(),10()(2222222临临界界值值）分分位位数数或或上上侧侧分分位位点点（或或上上分分布布的的为为则则称称数数满满足足若若实实数数，对对给给定定的的正正数数设设 nnnPnn 定义定义分分布布表表完完成成，如如：

24、可可通通过过查查的的值值，求求对对于于不不同同的的22,)(, nn)8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1附表附表4只详列到只详列到 n=60 为止为止., 5 .17 , 52 . 3 附表附表4-24-2. 4 .34 附表附表4-34-3.)12(21)(,22上上侧侧分分位位点点是是标标准准正正态态分分布布的的其其中中充充分分大大时时当当 ununn 例如例如2205. 0)99645. 1(21)50( .221.67 利用上面公式利用上面公式,而查详表可得而查详表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分位点的近似值分位点

25、的近似值上侧上侧时时可以求得可以求得 n费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:例例 已知已知 ，试确定，试确定 c 值，使值，使)10(2 Y05. 0 cYP并把并把 c 用临界值表示出来用临界值表示出来. .解解 查查 分布表分布表，2 ,10 n05. 0 当当 时，有时，有c)10(205. 0 307.18 三、三、 分布分布t1. 定义定义).(,/,),(),1, 0(2ntTtnnTnN记为记为分布分布的的度为度为所服从的分布是自由所服从的分布是自由则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.（高斯特高斯特Wil

26、liam Sealy Gosset于于1908年推到年推到）分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt xnxnnnxfn,1221)(212 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.轴对称的轴对称的显然图形是关于显然图形是关于y当当 n 充分大时充分大时, 其其图形类似于标准正图形类似于标准正态分布概率密度的态分布概率密度的图形图形.,)1 , 0(分分布布分分布布近近似似足足够够大大时时可可用用所所以以当当tNn.)1 , 0(,分布相差较大分布相差较大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn2. t 分布的上侧分位点分布的上侧分位点.)()()()(),10()(临临界界

27、值值）分分位位数数或或上上侧侧分分位位点点（或或上上分分布布的的为为则则称称数数满满足足若若存存在在实实数数，对对给给定定的的设设 ntntntTPntntT 定义定义分分布布表表完完成成，如如：通通过过查查的的值值，可可以以，求求对对于于不不同同的的tntn)(, )10(05. 0t附表附表3-13-1,812. 1 )15(025. 0t.13. 2 附表附表3-23-2由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 untn 时时当当如如)10(95. 0t,812. 1 )15(975. 0t.13. 2 四、四、 分布分布F1. 定义定义).,(,/,),(),

28、(2121212212nnFFFnnnnFnn记为记为分布分布的的，第二个自由度为，第二个自由度为度为度为自由自由所服从的分布是第一个所服从的分布是第一个随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 根据定义可知根据定义可知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF ., 0, 0,)1(222)(2211222121212111其其他他xxnnxnnnnnnxfnnnn图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F2. F分布的上侧分位点分布的上侧分位点.),(),(),(),(, )10(),(2121212121临界值）临界值）分位数或

29、分位数或（或上（或上上侧分位点上侧分位点分布的分布的为为则称数则称数满足满足若存在实数若存在实数，对给定的，对给定的设设 nnFnnFnnFFPnnFnnFF 定义定义)7 , 8(025. 0F)51 ,30(05. 0F,90. 4 .25. 2 分布表完成，如：分布表完成，如：可以通过查可以通过查的值，的值，求，求对于不同的对于不同的FnnFnn),(,2121 :质质上上侧侧分分位位点点具具有有如如下下性性分分布布的的 F.),(1),(12211nnFnnF )9 , 21(59 . 0F例例如如)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位点点的的一一些些

30、上上用用来来求求分分布布表表中中未未列列出出 附表附表2-12-1标准正态分布表标准正态分布表x01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.920

31、70.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.909

32、90.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.898

33、00.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表附表2-22-2标准正态分布表标准正态分布表x01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52

34、.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96

35、640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99

36、090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99

37、810.99861.00001.96附表附表4-14-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.5

38、0716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.7

39、5728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表17.535 )()(22nnP=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7

40、003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n3.247附表附表4-4-2 22 分

41、布表分布表 )()(22nnP=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.9

42、2435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.5

43、5946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n34.382附表附表4-4-3 32 分布表分布表 )()(22nnP附表附表3-13-1 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.3

44、7221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8

45、965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表1.8125 )()(ntntP附表附表3-23-2 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.

46、70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060

47、 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1315t分布表分布表 )()(n

48、tntP附表附表5-15-1F分布表分布表025. 0 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6

49、.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.80 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33937.139.3314.73 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4

50、.23 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17948.239.3614.62 9.07 6.85 5.70 4.99 4.53 4.20 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.29 3.22 3.16 3.10 3.05956.739.3714.54 8.98 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96963.339.3914.47 8.90 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 3.78 3.59 3

51、.44 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88968.639.4014.42 8.84 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82976.739.4114.34 8.75 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72984.939.4314.25 8.66 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 2

52、.86 2.79 2.72 2.67 2.62993.139.4514.17 8.56 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 3.42 3.23 3.07 2.95 2.84 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51997.239.4614.12 8.51 6.28 5.12 4.42 3.59 3.61 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45100139.4614.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.

53、44 2.39100639.4714.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33101439.4913.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20101839.5013.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.131n2n4.90 ),

54、(),(2121nnFnnFP 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.0

55、7 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74234.019.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.0

56、9 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63236.819.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54238.919.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.4824.0519.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42241.919.40 8.79 5.96 4.7