2011-2015云南压轴题精选题之3、二次函数与存在平行四边形(含答案)

1、 二次函数与存在平行四边形云南省近3年真题展示：1、（2014·曲靖·T233）见2015火线100天（云南专版）P156 T12、（2013·昆明·T233）见2015火线100天（云南专版）P156-157 T23、（2013·玉溪·T233）如图，顶点为A的抛物线y=a(x+2)2-4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OMAB，过点A作ADx轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）求点A，B所在的直线的解析式（关系式）；（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单

2、位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？等腰梯形？（4）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒，连接PQ.问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长.（温馨提醒：蓝色字体部分为新教材已经删去的内容，选用时建议删去该部分问题！）yxOQPBCADM解：（1）把（1,0）代入y=a(x+2)2-4，得a=.y= (x+2)2-4，即y= x2+x-.(2)

3、设直线AB的解析式是y=kx+b.点A（-2，-4），点B（1，0），解得y=x.（3）由题意得OP=t，AB=5.若四边形ABOP为平行四边形，则OP=AB=5，即当t=5时，四边形ABOP为平行四边形.若四边形ABOP为等腰梯形，连接AP，过点P作PGAB，过点O作OHAB，垂足分别为G、H.易证APGBOH.在RtOBM中，OM=，OB=1，BM=.OH=.BH=.OP=GH=AB-2BH=.即当t=时，四边形ABOP为等腰梯形.yxOQPBCADMGHMN(4)将y=0代入y= x2+x-，得 x2+x-=0，解得x=1或-5.C（-5，0）.OC=5.OMAB， ADx轴，四边形AB

4、OD是平行四边形.AD=OB=1.点D的坐标是（-3，-4）.SDOC=×5×4=10.过点P作PNBC，垂足为N.易证OPNBOH.,即.PN=t.四边形CDPQ的面积S=SDOC-SOPQ=10-×(5-2t )×t=t2-2 t +10.当t=时，四边形CDPQ的面积S最小.此时，点P的坐标是（-，-1），点Q的坐标是（-，0），PQ=.备选变式题：1.（2014·莱芜·T24）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点 （1）求抛物线的表达式； （

5、2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由； （3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，直线OD解析式为y=x设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2+x），MN

6、=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得x=存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或（3）C（1，3），D（3，1）易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点C在线段CD上设OC与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F，与直线OD交于点Q设水平方向的平移距离为t（0t2），则图中AF=t，F（1+t），Q

7、（1+t，+t），C（1+t，3t）设直线OC的解析式为y=3x+b，将C（1+t，3t）代入得：b=4t，直线OC的解析式为y=3x4tE（t，0）联立y=3x4t与y=x，解得x=t，P（t，t）过点P作PGx轴于点G，则PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+当t=1时，S有最大值为S的最大值为2.（2014·济宁·T22）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（1，0）两点，过点A作直线ACx轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A的坐标，判定点A是否

8、在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）与x轴交于A（5,0）、B（1,0）两点，解得抛物线的解析式为.（2） 过点作x轴于E，AA/与OC交于点D，（第22题）点C在直线y=2x上， C（5，10）点A和关于直线y=2x对称，OC，=AD. OA=5，AC=10，.，.在和Rt中，+=90°，ACD+=90°，=ACD.又=OAC=90°，.即.=4，AE=8.OE=AEOA=3.点A/的坐标为（3,4）.

9、当x=3时，.点A/在该抛物线上.（3） 存在.理由：设直线的解析式为y=kx+b,则，解得直线的解析式为.设点P的坐标为，则点M为.PMAC，要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方， .解得（不合题意,舍去）.当x=2时，.当点P运动到时，四边形PACM是平行四边形.3.（2014·吉林·T26）如图，直线l：y=mx+n（m0，n0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将AOB绕点O逆时针旋转90°，得到COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线 （1）若l：y=2x+2，则P表示的函数解析式为 ；若P：y

10、=x23x+4，则l表示的函数解析式为 （2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）； （3）如图，若l：y=2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； （4）如图，若l：y=mx4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式解：（1）若l：y=2x+2，则A（1，0），B（0，2）将AOB绕点O逆时针旋转90°，得到COD，D（2，0）设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：，解得，P表示

11、的函数解析式为：y=x2x+2；若P：y=x23x+4=（x+4）（x1），则D（4，0），A（1，0）B（0，4）设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，l表示的函数解析式为：y=4x+4（2）直线l：y=mx+n（m0，n0），令y=0，即mx+n=0，得x=；令x=0，得y=nA（，0）、B（0，n），D（n，0）设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），DN=AN，x=x（n），2x=n，P的对称轴为x=（3）若l：y=2x+4，则A（2，0）、B（0，4），C（0，2）、D（4，0）可求得直线CD的解析式为：y=x+2由（2）可知，P的对称轴为x=1以点C

12、，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，FQCE，且FQ=CE设直线FQ的解析式为：y=x+b点E、点C的横坐标相差1，点F、点Q的横坐标也是相差1则|xF（1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=2点F在直线ll：y=2x+4上，点F坐标为（0，4）或（2，8）若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=1时，y=，Q1（1，）；若F（2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=1时，y=，Q2（1，）满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（1，）、Q2（1，） （4）如答图2所示，连接OG、OH点G、H为斜边中点，OG=AB，OH=CD由旋

13、转性质可知，AB=CD，OGOH，OGH为等腰直角三角形点G为GH中点，OMG为等腰直角三角形，OG=OM=2，AB=2OG=4l：y=mx4m，A（4，0），B（0，4m）在RtAOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（4m）2=（4）2，解得：m=2或m=2，点B在y轴正半轴，m=2舍去，m=2l表示的函数解析式为：y=2x+4；B（0，8），D（8，0）又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=x2x+84.（2014·赤峰·T26）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3） （1）求

14、该抛物线的解析式及顶点M坐标； （2）求BCM面积与ABC面积的比； （3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQAC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），抛物线过点（0，3），3=a（0+1）（03），a=1.抛物线解析式为y=（x+1）（x3）=x22x3.y=x22x3=（x1）24，M（1，4）（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MDx轴于D，SBCM=S梯形OCMD+SBMDSBOC=（3+4）1+2433=+=3，SA

15、BC=ABOC=43=6，SBCM：SABC=3：6=1：2（3）存在，理由如下：如图2，当Q在x轴下方时，作QEx轴于E，四边形ACQP为平行四边形，PQ平行且相等AC.PEQAOC.EQ=OC=3.3=x22x3.解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），Q（2，3）如图3，当Q在x轴上方时，作QFx轴于F，四边形ACPQ为平行四边形，QP平行且相等AC.PFQAOC.FQ=OC=3.3=x22x3.解得 x=1+或x=1，Q（1+，3）或（1，3）.综上所述，Q点为（2，3）或（1+，3）或（1，3）. 5.（2014·益阳·T20）如图，直线y=3x+3与x轴、y轴

16、分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长解：(1)直线与轴、轴分别交于点、，.又抛物线经过点，解得即，的值分别为，.（2）设点的坐标为，对称轴交轴于点，过点作垂直于直线 于点.在Rt中，在Rt中，.，.点的坐标为.（3）当点在对称轴上时，与不垂直.应为正方形的对角线.又对称轴是的中垂线，点与顶点重合，点为点关于轴的对称点，其坐标为.此时，且

17、，四边形为正方形.在Rt中，即正方形的边长为.QEN(M）FBOA1-1CP6.（2014·湖州·T23）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c（c0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CAx轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD （1）若点A的坐标是（4，4）.求b，c的值；试判断四边形AOBD的形状，并说明理由； （2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形.若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)AC轴，A点坐标为（-4，4），点C的坐标是（0，4

18、）.把A,C两点的坐标分别代入,得解得四边形AOBD是平行四边形.理由如下：由得抛物线的解析式.顶点D的坐标为（-2，8）.过点D作DEAB于点E.则DE=OC=4,AE=2,AC=4,BC=AC=2.AE=BC.ACx轴，AED=BCO=90°.AEDBCO.AD=BO,DAE=BCO.ADBO.四边形AOBD是平行四边形.（2）存在，点A的坐标可以是（）或（2，2）写出一个即可.7.（2014·三明·T23改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；解：（1）抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（2，0），0=4a2b+4.对称轴是x=3，=3，即6a+b=0.两关于