连续褶积与相关

1、1、傅里叶积分是分析连续信号的理论基础。最简单的连续信号是单位脉冲信号单位脉冲信号（Impluse） ，它的表示式为DSP:几种基本的连续信号)(t0, 00,)(ttt1)( dtt并且CFT的性质（6）:对偶性质)()(1)(fftx1)(t例1、计算单位信号 )( 1)(ttx的频谱。因为单位脉冲信号 因此， 是一个实对称函数：其中 有任意阶导数，在一个有限区间外的取值等于零。满足上式的函数，我们称其为单位脉冲信号单位脉冲信号，或或 函数函数。 函数)(t函数的真正表达式是 )0()()()(),(dttttt)0()()()(),(dttttt)(t)()(tt函数于是，可以得到 )(

2、1)()(2fdtetffti按照傅里叶积分变换中的对偶性质，1)()(tt)(2tdfeftidtx)()(例:计算函数记 )(2tdfefti)()()()()(txdtxttx)()()()()()(2222)(2dexfXdfefXdfdexeddfextxfiftififtitfi其中可以得到这是Fourier变换的又一种推导方法。连续信号的褶积将前面的公式进行推广（P45）： )()()()(*)(tdtyxtytx称其为连续信号x(t)与y(t)的线性褶积线性褶积(Linear Convolution), 简称褶积褶积。表明:任何连续信号等于其与单位脉冲信号的褶积，称此性质为连续

3、信号关于线性褶积的脉冲不变性，简称线性褶积的脉冲不变性。)()()()()(txdtxttx连续信号的褶积)()(*)()()()()()()()()()()(ttxtytuduuyutxtdtyttxdtyxtytx褶积是否具有可交换性?)()()()(*)(tdtyxtytx连续信号的褶积)()(fXtx)()(fYty设)()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi则有)()()(*)(fYfXtytxi.e.,这表明：两个连续信号的褶积，其频谱就是两个对应信号频谱的乘积；反过来讲，两个频谱乘积

4、，其信号就是相应的两个连续信号的褶积。 连续信号的褶积显然，可以用两种不同的方法证明：显然，可以用两种不同的方法证明：褶积运算具有可交换性！褶积运算具有可交换性！连续信号的褶积)(*)()()()()()()()()(0000)(202020200fYfXdfffXfYdfdtetxfYdtedfefYtxdtetytxtffiftitfifti所以有)(*)()()(fYfXtytx连续信号的褶积20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Convolution.m)连续信号的褶积1、前面讲过的前面讲过的CFT的线性性质，仅仅涉的线性性质，仅仅涉及两个信号的简单加减；

5、注意信号的乘及两个信号的简单加减；注意信号的乘积与褶积是完全不同的积与褶积是完全不同的。)()()(*)()(*)()()(fYfXtytxfYfXtytx2、褶积是褶积是Fourier分析中最最重要的性质及分析中最最重要的性质及运算，其含义非常广泛；滤波只是一种应运算，其含义非常广泛；滤波只是一种应用，这种应用通常是借助褶积原理来实现用，这种应用通常是借助褶积原理来实现的的。连续信号的相关 信号x(t)和y(t)的线性相关（线性相关（Linear Correlation，简称相关）定义为 （P173：连续相关内容空缺）：连续相关内容空缺）)()()()()(tdtyxtytx 特别地，若信号

6、x(t)=y(t),我们称其为自相关(Auto-Correlation)，否则就是互相关(Cross-Correlation)。 )()()()(ttytxtRxy通常记连续信号的相关)()()()()()()()()()()(tdytxtuduuytuxtdtyttxdtyx因此有)()()()()()()(tdytxdtyxtytx连续信号的相关)()(fYty)()(fXtx设)()()()()()()()()()()(222)(2tdfefYfXdfefYdexddfefYxdtyxtytxftiftifitfi)()()()(fYfXtytx则有i.e.，这说明了信号的相关运算不具有

7、不具有可交换性质。 连续信号的相关20221)(ttttx2021)(ttty(Continuous_Correlation.m)应用：能量计算公式dttxtxdttxE)()()(2dtdfefXtxfti2)()(dffXdtetxfti)()(2dffXfX)()(dffX2)(（P50）连续信号的褶积与相关 1、有关、有关 函数的计算；函数的计算；2、连续信号的褶积（可交换性、频谱表达式）；、连续信号的褶积（可交换性、频谱表达式）；连续信号的褶积与相关分析的重点是：连续信号的褶积与相关分析的重点是：公式推导公式推导！3、连续信号的相关（频谱表达式）；、连续信号的相关（频谱表达式）；4、能量表达式。、能量表达式。有关褶积运算的特别申明 无论是连续信号还是离散信号，褶积运算是无论是连续信号还是离散信号，褶积运算是它们最最重要的性质；其重要性远在连续信号的它们最最重要的性质；其重要性远在连续信号的其它八个性质之上。其它八个性质之上。时间域的褶积对应着频率域的乘积；时间域的褶积对应着频率域的乘积；时间域的乘积对应着频率域的褶积。时间域的乘积对应着频率域的褶积。这是这是Fourier分析方法普遍应用的理论基础；在此分析方法普遍应用的理论基础；在此基础上衍生出许多快速算法。基础上衍生出许多快速算法。 至此，我们已学完连续信号分析的所有理论至此，我们已学