第3章——平面问题的直角坐标解答1

1、3-1 3-1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解多项式解答答444422420 xxyy （2）边界条件：）边界条件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（2）（1）相容方程：）相容方程：（4）对于多连体，还须满足）对于多连体，还须满足位移的单值条件位移的单值条件。22yyf yx22xxf xy2xyx y （3）应力分量：）应力分量：（3） 逆解法逆解法：先设定某种形式的、满足相：先设定某种形式的、满足相容方程（容方程（1）的）的应力函数应力函数 ，用公式（，用公式（3）求出应力分量，然后根据应力边界条件求出应力分量，然后根据应力边界条件（2）来考察，在各种形状的

2、弹性体上，）来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数而得知所设定的应力函数可以解决什么可以解决什么问题问题。（3）22yyf yx22xxf xy2xyx y 一、逆解法一、逆解法 针对所要求解的问题，根据弹性体的边界针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为假设部分和全部应力分量为某种形式的函数某种形式的函数，从而推出应力函数，从而推出应力函数 ，然后，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这

3、个应力函数求及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察方面不能满足，就要另作假设，重新考察。22yyf yx22xxf xy2xyx y 二二 半逆解法半逆解法1 1、应力函数取一次多项式、应力函数取一次多项式( (体力不计体力不计) )三三 多项式解多项式解答答abxcy应力分量：应力分量：0, 0, 0yxxyyx应力边

4、界条件：应力边界条件：0 xyff结论：结论：（1）线形应力函数对应于线形应力函数对应于无体力无体力、无无面力、无应力的状态。面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数把任何平面问题的应力函数加上或减去加上或减去一个线性函数，并不影响应力一个线性函数，并不影响应力。22222xxyyxyf xyf yxx y 2 2、应力函数取二次多项式、应力函数取二次多项式( (体体力不计力不计) )22axbxycya.对应于对应于 ，应力分量，应力分量 : 2ax0,2, 0yxxyyxa2ax结论：结论：应力函数应力函数 能解决矩形板在能解决矩形板在 y 方方向受均布拉力（设向受均布拉力（设a

5、0 ）或均布压力（设）或均布压力（设a0 ）或均布压力（设）或均布压力（设c0 ）的问）的问题。如图题。如图3-1（c）。）。2cyxyoc2c23-1（c）2 ,0,0 xyxyyxc22222xxyyxyf xyf yxx y 3 3、应力函数取三次多项式、应力函数取三次多项式( (体力不计体力不计) )3ay对应的应力分量：对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay结论：该结论：该应力应力函数能解决矩函数能解决矩形梁受纯弯曲形梁受纯弯曲的问题。如图的问题。如图3-2所示的矩形所示的矩形截面梁。截面梁。MMhl2h2hyxx图xy图图3-23-2122222xxyyxyf xyf yxx

6、 y 例：图示矩形板，长为例：图示矩形板，长为 l ，高为，高为 h ，体力不计体力不计，厚度取厚度取1个单位。试证以下函数是应力函数，并个单位。试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中指出能解决什么问题。式中k为常数。为常数。xyOlh33232kxykxyhh解：解：(2) 应力分量应力分量22312xkxyyh220yx223632xykykx yhh (1)代入相容方程代入相容方程,可得可得444422420 xxyy 满满 足足22312xkxyyh220yx223632xykykx yhh (2)边界条件：边界条件：02326322hkhhkhyxy02hyy显然可得上下

7、边界无面力作用。显然可得上下边界无面力作用。上下边界上下边界xyOlhxyOlh2232212dd0hhhhxkxyyyh 22232212dd0hhhhxkxyy yyh 左边界（次要边界）左边界（次要边界）22232263dd2hhhhxykykyyhh khkyhkyhh2233232k22312xkxyyh220yx223632xyx ykykhh xyOlhk右边界（次要边界）右边界（次要边界）: lx 2232212dd0hhhhxklyyyh 22232212ddhhhhxklyy yyh 2233312hhhklykl22232263dd2hhhhxykykyyhh khkyh

8、kyhh2233232kkl22312xkxyyh220yx223632xyx ykykhh 结论：结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题可解决悬臂梁左端受集中力问题。xyOlhkkklk 如图如图3-3,设有矩形截面的长梁设有矩形截面的长梁(l 远大于远大于h),取取单位厚度单位厚度的梁来考察。并命的梁来考察。并命每单位厚度上的每单位厚度上的力偶矩为力偶矩为M 。 这里这里M 的量纲是的量纲是力力长度长度/长长度度，即，即力力。3-2 3-2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲MMhl2h2hyxx图xy图图3-33-313ay2222d0,dhhhhxxyy yMMMhl2h2hyxx图xy图图3-

9、33-313ay在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为力偶的矩为M ，这就要求：，这就要求：2222d0dhhxhhxyy yM226d0hhay y将其代入，上面二式成为：将其代入，上面二式成为：MMhl2h2hyxx图xy图3-316,0,0 xyxyay3ay2226dhhayyM上节已推出上节已推出:因为梁截面的惯性矩是因为梁截面的惯性矩是 ，所以上式可，所以上式可改写为：改写为：1213hI0, 0,yxxyyxyIM结果与材料力学中完全相同。结果与材料力学中完全相同。 对于长度对于长度l 远大于深度远大于深度h 的梁，上面答案的梁

10、，上面答案是有实用价值的；对于长度是有实用价值的；对于长度l与深度与深度h 同等大同等大小的所谓小的所谓深梁，这个解答是不准确的深梁，这个解答是不准确的。前一式总能满足，而后一式要求：前一式总能满足，而后一式要求：32hMa 代入式（代入式（a），得：），得：0, 0,123yxxyyxyhM3-3 3-3 位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出位移分量。应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量将应力分量 代入物理代入物理方程方程0, 0,yxxyyxyIMxyxyxyyyxxEEE)1

11、(2)(1)(1得形变分量：得形变分量：0,xyyxyEIMyEIM（a）再将式（再将式（a）代入几何方程：）代入几何方程：,xyxyuvxyvuxy得：得：0,yuxvyEIMyvyEIMxu前二式积分得：前二式积分得：)(2),(221xfyEIMvyfxyEIMu（b b）（c c）其中的其中的 和和 是任意函数。将式（是任意函数。将式（c）代入（）代入（b）中的第三式中的第三式1f2f得：得：12d ( )d ( )ddf yf xM-+xyxEI等式左边只是等式左边只是 y 的函数，而等式右边只是的函数，而等式右边只是x 的的函数。因此，只可能两边都等于同一常数函数。因此，只可能两边

12、都等于同一常数 。于是有：于是有：12d ( )d ( )ddf yf xM= -,= -x+yxEI积分以后得：积分以后得：21020( ),( )2 MfyyufxxxvEI代入位移分量式（代入位移分量式（c）022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu其中的任意常数其中的任意常数 、 、 可由约束条件求得。可由约束条件求得。0u0v（d d）122( ),( )2Muxyf yEIMvyfxEI 10220( ),( )2f yyuMfxxxvEI （一）简支梁（一）简支梁如图如图3-4（a），边界条），边界条件为：件为：0)( , 0)( , 0)(00000ylxyxyxvvu由式（由式（d）得出：）得出：2() ,()222MlMMuxyvlx xyEIEIEI 代入式（代入式（d），就得到简支梁的位移分量：），就得到简支梁的位移分量：EIMlvu2, 0, 000MMoxyl图图3-43-4（a a）2() ,()222MlMMuxyvlx xyEIEIEI 梁轴线的挠度方程：梁轴线的挠度方程：xxlEIMvy)(2)(0MMoxyl图图3-43-4（a a）（二）悬臂梁（二）悬臂梁如图如图3-4（b），），边界条件为：边界条件为：0)( , 0)( , 0)(000ylxylxylxxvvu由式（由式（d）得出：）得出：EIMlEIMlvu,2, 0200