随机过程_均方微积分

1、第三章第三章 均方微积分均方微积分3.13.1 随机变量序列的均方随机变量序列的均方极限极限3.2 3.2 随机过程的均方连续性随机过程的均方连续性3.33.3 随机过程的均方导数与随机过程的均方导数与均方积分均方积分3.1 3.1 随机变量序列的均方极限随机变量序列的均方极限回顾数列的极限：回顾数列的极限： 实际上是指当实际上是指当 无限增大无限增大时，时， 与与 的距离的距离 无限趋近于无限趋近于0.0.2 2limnnxannxa|nxa问题：可否类似地给出随机变量序列问题：可否类似地给出随机变量序列 的的“极限极限”？关键在于确定随机变量序关键在于确定随机变量序列中任意列中任意 与随机

2、变量与随机变量 的的“距离距离”. .nXX3 3 设随机变量序列设随机变量序列 和随机变量和随机变量 的二阶矩有限，即的二阶矩有限，即 ， ，若，若有有 ，则称，则称 均方收敛于均方收敛于 ，并称并称 为为 的均方极限，记作的均方极限，记作 或或 其中其中l.i.m是英文是英文Limit in mean square的缩写的缩写. .,1,2,nXn2|nE X2|E X X2lim|0nnE XXnXXXnXl.i.mnnXX. .m snXX 若以若以 作为作为 与与 的的“距离距离”，可，可验证它满足线性空间中的距离定义验证它满足线性空间中的距离定义2|nE XXXnX4 4 设设 为

3、随机变量序列为随机变量序列，其中其中 满足满足 ， ，验证，验证 均方收敛于均方收敛于0.0.,1,2,nXnnXnX11nP Xn10 1nP Xn 证明证明22|0|()nnE XE X2211110(1)nnn 故而，当故而，当,n 2|0|0nE X l.i.m0nnX5 5问题：随机变量序列的均方收敛与大数定问题：随机变量序列的均方收敛与大数定律律 中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛 性孰强孰弱？性孰强孰弱？！ 设设 为随机变量序列，其中为随机变量序列，其中 满足满足 ， 问：问： 为何值时，为何值时， 均方收敛于均方收敛于0 0？,1,2,nXn1

4、nnkP XnP Xnn20 1nkP Xn nXnXk 故故 时，时， 均方收敛于均方收敛于0.0.22221112|0|()()0nnkkkE XE Xnnnnn nX1k 均方极限的性质均方极限的性质（1 1）若）若 ，则，则 ； l.i.mnnXXlim()()nnE XE X6 6已知已知要证要证分析分析2|0,nE XX()0nE XX22|()|nnE XXE XX 关系关系0均方极限的性质均方极限的性质（1 1）若）若 ，则，则 ； l.i.mnnXXlim()()nnE XE X（2 2）若）若 ， ，则，则 ；l.i.mmmXXlim()()mnmnE X YE XYl.i

5、.mnnYY7 7已知已知要证要证分析分析2|0,mE XX()0mnE X YXY |()|()()()() |mnmnnmE X YXYEXXYYX YYXX Y 关系关系02|0,nE YY222222|()()|( ()|() )|(| )|(| )mnnmmnnmE XX YYE X YYE XX YE XXE YYE XE YYE XXE Y Cauchy-Schwartz不等式不等式均方极限的性质均方极限的性质（1 1）若）若 ，则，则 ； l.i.mnnXXlim()()nnE XE X（2 2）若）若 ， ，则，则 ；l.i.mmmXXlim()()mnmnE X YE XY

6、l.i.mnnYY（3 3）若）若 ， ，则对任意常数，则对任意常数 和和 ，有，有 ； l.i.mnnXXl.i.mnnnaXbYaXbYl.i.mnnYYab8 8已知已知要证要证分析分析2|0,nE XX22|()| ()()|0nnnnE aXbYaXbYE a XXb YY 关系关系2|0,nE YY22222| ()()|)|2|()()|nnnnnnE a XXb YYa E XXb E YYab EXX YY 0均方极限的性质均方极限的性质（1 1）若）若 ，则，则 ； l.i.mnnXXlim()()nnE XE X（2 2）若）若 ， ，则，则 ；l.i.mmmXXlim(

7、)()mnmnE X YE XYl.i.mnnYY（3 3）若）若 ， ，则对任意常数，则对任意常数 和和 ，有，有 ； l.i.mnnXXl.i.mnnnaXbYaXbYl.i.mnnYYab（4 4）若数列）若数列 满足满足 ， 是随机变量，是随机变量， 则则 ； lim0nnaXl.i.m0nna X na9 9已知已知要证要证分析分析0,na 2|0|0nE a X 关系关系222|0|nnE a Xa E X0均方极限的性质均方极限的性质（1 1）若）若 ，则，则 ； l.i.mnnXXlim()()nnE XE X（2 2）若）若 ， ，则，则 ；l.i.mmmXXlim()()m

8、nmnE X YE XYl.i.mnnYY（3 3）若）若 ， ，则对任意常数，则对任意常数 和和 ，有，有 ； l.i.mnnXXl.i.mnnnaXbYaXbYl.i.mnnYYab（4 4）若数列）若数列 满足满足 ， 是随机变量，是随机变量， 则则 ； lim0nnaXl.i.m0nna X na（5 5）若）若 ， ，则则 l.i.mnnXX()1P XYl.i.mnnXY1010 均方极限的唯一性均方极限的唯一性3.2 3.2 随机过程的均方连续性随机过程的均方连续性 设设 为二阶矩过程，随机变为二阶矩过程，随机变量量 的二阶矩有限，若的二阶矩有限，若则称则称 在在 处均方收敛于处

9、均方收敛于 ，并称，并称 为为 的在的在 时刻的均方极限，记时刻的均方极限，记作作 . . ( ),X t tT0X020lim|( )|0ttE X tX( )X t( )X t0X0X0t0t00l.i.m( )ttX tX 如二阶矩过程如二阶矩过程 满足，对满足，对 ，若，若则称则称 在在 处均方连续；若处均方连续；若 在每在每一点一点 处都是均方连续的，则称处都是均方连续的，则称在在 上均方连续上均方连续. . ( ),X t tT00,tttT 2000lim|()( )|0tE X ttX t ( )X t( )X tT0ttT( )X t111100lim( )()xxf xf

10、x 3.3 3.3 随机过程的均方导数与均方积分随机过程的均方导数与均方积分0t0t 若随机过程若随机过程 在在 处的下述均处的下述均方极限方极限 存在，则称此极限存在，则称此极限为为 在在 处的均方导数，记为处的均方导数，记为 或或 ，此时亦称此时亦称 在在 处均方可导处均方可导. . ( ),X t tT0( )|ttdX tdt000()( )l.i.mtX ttX tt ( )X t0( )X t0t0t( )X t一、均方导数一、均方导数1 1、均方导数的定义、均方导数的定义( )X tT( )X tTt( )dX tdt( )X t12120()( )lim( )xf xxf xf

11、xx 求随机过程求随机过程 的均方导数，其中的均方导数，其中 是一随机变量是一随机变量. .( )X tAtA1313解解从形式上，易知对从形式上，易知对 t 求导后，求导后，( )X tA 下面验证：下面验证：2()( )|X ttX tEAt 22()|0A ttAtEAE AAt 满足定义，所以满足定义，所以( ).X tA 2()( )|0X ttX tEAt 0t 时，时，（1 1）若）若 在在 均方可导，则对任意常均方可导，则对任意常数数 和和 ，有，有( ),( )X t Y t( )( )( )( )aX tbY taX tbY ttTab2 2、均方导数的性质、均方导数的性质

12、（2 2） 的均方导数的均方导数 的均值函数是的均值函数是 ( )X t( )( )( )( )XXdmtE X tE X tmtdt( )X t1414验证验证( )Xmt 0()( )(l.i.m)tX ttX tEt 0()( )limtE X ttE X tt 0()( )limXXtmttmtt ( )Xmt （1 1）若）若 在在 均方可导，则对任意常均方可导，则对任意常数数 和和 ，有，有( ),( )X t Y t( )( )( )( )aX tbY taX tbY ttTab2 2、均方导数的性质、均方导数的性质（2 2） 的均方导数的均方导数 的均值函数是的均值函数是 (

13、)X t( )( )( )( )XXdmtE X tE X tmtdt( )X t（3 3） 的均方导数的均方导数 的相关函数是的相关函数是 ( )X t2( , )( )( )( , )XXRs tE X s X tRs ts t ( )X t1515（4 4）若）若 X 是随机变量，则是随机变量，则 0.X 16163 3、均方导数与自（互）相关函数关系、均方导数与自（互）相关函数关系( , )XRs tt( , )XRs t2( , )XRs tt s 设实二阶矩过程设实二阶矩过程 均方可微，自相关均方可微，自相关函数为函数为 ，则，则 ， ， 都存在，且有都存在，且有( ),X ttT

14、2( , )XRs ts t ( , )XRs ts( , )( )( )( , )X XXRs tE X s X tRs ts验证验证( , )( )( )X XRs tE X s X t 0()( )(l.i.m( )sX ssX sEX ts 0()( )( )( )limsE X ssX tE X sX ts 0(, )( , )limXXsRss tRs ts ( , )XRs ts 17173 3、均方导数与自（互）相关函数关系、均方导数与自（互）相关函数关系( , )XRs tt( , )XRs t2( , )XRs tt s 设实二阶矩过程设实二阶矩过程 均方可微，自相关均方可

15、微，自相关函数为函数为 ，则，则 ， ， 都存在，且有都存在，且有( ),X ttT2( , )XRs ts t ( , )XRs ts( , )( )( )( , )X XXRs tE X s X tRs ts( , )( )( )( , )XXXRs tE X s X tRs tt2( , )( )( )( , )XXRs tE X s X tRs ts t 设随机过程设随机过程 ，为任意普通函数：为任意普通函数： ( ), , X t tTa b( ),f ttT二、均方积分二、均方积分1 1、均方积分的定义、均方积分的定义1818(1)(1)分割分割T=a,bT=a,b。将。将a,ba

16、,b分成分成n n个子区间，分点个子区间，分点为为 ，而，而(2)(2)作和式作和式其中其中01natttb111max()maxnkkkk nk nttt 111()()()()()nnnkkkkkkkkkYfXttfXt1, 1kkkttkn特别地，特别地，若若 时，即有时，即有(3)(3)如果在如果在 时，时， 均方收敛于均方收敛于 （此极限（此极限不依赖于分点与不依赖于分点与 的取法），则称的取法），则称 在在 上均方可积，并称上均方可积，并称 的均方极限的均方极限 为为 在在 上的均方积分，记为上的均方积分，记为01( )( )l.i.m()()nnbkkkakYf t X t dtfXt 0n nYYk( )( )f t X t , Ta bnYY( )( )f t X t , a b( )1f t 01( )l.i.m()nnbkkakX t dtXt 191