专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形

1、第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1(2014·湖州模拟)已知sin，则cos(2)的值为()ABCD解析由题意，得sincos .所以cos(2)cos 2(2cos21)12cos2.答案B2(2013·济宁二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B45°，SABC2，则b等于()A5B25CD5解析SacsinB2，×1×c×sin 45°2.c4.b2a2c22accos B1322×1×4×cos 45°.b225，b5.答案

2、A3(2014·北京东城区期末)在ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos Asin Bcos B，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析由sin Acos Asin Bcos B得sin 2Asin 2Bsin(2B)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰或直角三角形答案D4(2013·浙江卷)已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A.BCD解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.化简，得4sin 23cos 2，tan 2.答案C5(2013·湖南卷)在锐

3、角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A.BCD解析在ABC中，利用正弦定理得3sin Asin Bsin B，sin A.又A为锐角，A.答案D6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A.BC±D解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解由，且8b5c，C2B，所以5csin 2B8csin B，所以cos B.所以cos Ccos 2B2cos2 B1.答案A7已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()A.BC.D或解析依题意得sin ，cos ；注意到sin()&l

4、t;sin ，因此有>(否则，若，则有0<<，0<sin <sin()，这与“sin()<sin ”矛盾)，则cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .答案A二、填空题8(2014·衡水调研)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin C，求b_.解析在ABC中，sin Acos C3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理有a·3··c，化简并整理得2(a2c2)b2.又由已知a2c22b，则4bb2，解得b4或b0(舍

5、)答案49在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC_.解析在ABC中，由余弦定理得AC2BA2BC22BA·BCcos ABC()2322××3cos 5.AC，由正弦定理得sin BAC.答案10如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22AB·ADcosBAD(3)2322×3×3×3，即BD.答案11若，cos ，sin ，则cos ()_.解析，<<，<<，由

6、cos 和sin 得±，当，时，0，与，矛盾；当，时，此时cos ().答案12(2014·四川卷改编)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC_m.解析如图，在ACD中，CAD90°30°60°，AD60 m，所以CDAD·tan 60°60(m)在ABD中，BAD90°75°15°，所以BDAD·tan 15°60(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案12

7、0(1)三、解答题13已知函数f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f，f，求cos()的值解(1)由题意知f(x)2cos的最小正周期T10，则.(2)由(1)知f(x)2cos，又，f，f，即cos，cos ，sin ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.14(2013·新课标全国卷)如图，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解(1)因为在RtBPC中，BC1，PB，所以CBP60°，所以PBA30°，由余弦定理，得PA.(2)设PBA，由已知得PBsin ，由正弦定理，得，化简得cos 4sin ，故tan .即tanPBA.15(2013·新课标全国卷)ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos C