含参不等式解法举例

1、含参不等式专题(淮阳中学)编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：(1)二次项的系数；(2)判别式；(3)不等号方

2、向(4)根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式，不能得先考虑A>0)例1、解关于x的不等式x2一(a+1)x+a>0。解：(x2-a)(x-1)0丫令(x-a)(x-1)=0=x=a,x=1为方程的两个根(因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论)(1)当ac1时，不等式的解集为x|x>1或x<a(2)当a>1时，不等式的解集为x|xa或x<1(3)当a=1时，不等式的解集为x|x#1综上所述：(1)当a<1时，不等式的解集为x|x>1或x<a(2)当a>1时，不等式的解集为x|xa或x

3、<1(3)当a=1时，不等式的解集为x|x01变题1、解不等式x2-(a+1)x+a>0;2、解不等式x2-(a2+a)x+a3>00小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。例2、解关于x的不等式2x2+kx-k<0分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解.：=k28k=k(k8)(1)当AA0,既k<上或ka0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根。所以不等式2x2+kx-k£0勺解集是：-k-T'k(k+8)-k+Jk(k+8)、Jx<

4、x<>44J(2)当=0即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根,所以不等式2x2+kx-kW0的解集是即2->0；(3)当Ac。,即-8<k<0寸，方程2x2+kxk=0无实根所以不等式2x2+kx-kM0的解集为0。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。小结：讨论,即讨论方程根的情况。2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑A>0)例3、解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.解：若a=0,原不等式u-x+1

5、<0ux>1.11、右a<0,原不等式u(x-一)(x-1)A0UxM或x>1.aa1.一右a>0,原不等式仁(x-)(x-1)<0.(冲)a其解的情况应由1与1的大小关系决定，故a(1)当a=1时，式(*)的解集为弧(2)当a>1时，式(")u工<x<1;a1(3)当0<ac1时，式(*)u1<x<一.a1综上所述，当a<0时，解集为*<或*>1;a当a=0时，解集为xx>1;.1当0：二a:二1时，解集为x1<xc'a例4、解关于x的不等式:ax2ax-1:0.1：二x：

6、二1.a当a=1时，解集为*;当a>1时，解集为x解：ax2ax-1:二0.(1) a=0时，£-1:0x三R.(2) a00时，则=a+4a0ua>0或aM4,此时两根为x1-a-a2a，2，4a-a-a4a，x2=2a当a>0时，A>0,-a-.a24a:二x:二2a-a.a24a2a当4<a<0时，xWR；当a=Y时,：=0rL1R且x手:2当a<Y时,.：0-a+4a2+4a或2a-aa24a2a综上，可知当a>0时,解集为（2-aa24a2a当一4<aE0时，解集为R；1当”一4时，斛木为（一厂2»1一(-3,

7、a-、a24a、-aa24a、当ac-4时，解集为（-叼）=（叶）.2a2a例5、解关于的x不等式（m+1）x2-4x+1E0（mwR）分析：当m+1=0时,它是一个关于x的次不等式；当m+1丰1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m<1时，/=4（3-m）>0,图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一1<m<3时，=4(3-m)>0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4(3-m)=0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x24

8、x+1=0的根。当m>3时，=4(3-m)<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为0。解：当m=-1时，原不等式的解集为1x1x-4;当m#一1时,(m+1)x24x+1=0的判别式A=43m);则当me1时，原不等式的解集为3x|x42f3m或xW2+、3"m+1m+1当一1<mc3时，原不等式的解集为；x|2-v3-m<x<2+"3m'>m+1m+1当m=3时，原不等式的解集为.xlx：1；，;当m>3时，原不等式的解集为0。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解,也可对判别式分类讨论

9、。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4A0,(aa0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例1:解关于x的不等式2ax1>0x-x-2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于(ax-1)(x-2)(x-1).0当a=0时，原不等式等价于(x-2)(x+1)<0解得-1<

10、;x<2,此时原不等式得解集为x|-1<x<2;1当a>0时，原不等式等价于(x，)(x2)(x+1)>0,a则：当a=工时，原不等式的解集为x|x>-1且x#2);2当0<a<1时，原不等式的解集为£x|x>或-1<x<2)；2JaJ当aJ时，原不等式的解集为？x|-1<x<1或x>2>；2LaJ1当a<0时，原不等式等价于(x，)(x2)(x+1)c0,a则当a=1时，原不等式的解集为x|x<2Mx=-1;当1<a<0时，原不等式的解集为x|x<或_1<x

11、<2；当ac1时，原不等式的解集为x|x<1或1<x<2；小结：本题在分类讨论中容易忽略a=0的情况以及对1,1和2的大小a进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0,再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不等式a(x">1,(a#1)x-2思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a分两级讨论：先按a>1和a<1分为两类，再在a<1的情况下，又要按两根且二与2的大小关系分为a-1a<0,a=0和0<a