一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案

1、-.z一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为a*b(a0)的形式.当a0 时，解集为；当a0 时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为_不等式.(2)使*个一元二次不等式成立的*的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式000二次函数ya*2b*c(a0)的图象一元二次方程a*2b*c0(a0)的根有两相异实根*1，*2(*1*2)有两相等实根*1*2b2a无

2、实根a*2b*c0(a0)的解集R Ra*2b*c0(a0)的解集*|*1*23.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为 0，左边化为f*g*的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f*g*0f(*)g(*)0；f*g*0 f(*)g(*)0；f*g*0 f*g*0，g*0；f*g*0 f*g*0，g*0.(2014课标)集合A*|*22*30，B*|2*2，则AB()A.2，1B.1，2)C.1，1D.1，2)解：A*|*3 或*1，B*|2*2，AB*|2*12，1.应选 A A. .设f(*)*2b*1 且f(1)f(3)，则f(*)0 的解集为

3、()A.*|*R RB.*|*1，*R RC.*|*1D.*|*1-.z解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b，由f(1)f(3)，得 2b103b，解出b2，代入原函数，f(*)0 即*22*10，*的取值围是*1.应选 B.B.121*2，则*的取值围是()A.2*0 或 0*12B.12*2C.*2D.*12解：当*0 时，*12；当*0 时，*2.所以*的取值围是*12，应选 D.D.不等式12*10 的解集是.解：不等式12*10 等价于(12*)(*1)0，也就是*12 (*1)0，所以1*12.故填* *| |1 1* *1 12 2，* *R R.(2014*调研)假

4、设一元二次不等式 2k*2k*380 对一切实数*都成立， 则k的取值围为_.解：显然k0.假设k0，则只须(2*2*)ma*38k，解得k ；假设k0，则只须38k(2*2*)min，解得k(3，0).故k的取值围是(3，0).故填(3 3，0 0).类型一类型一一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法关于*的不等式(ab)*2a3b0 的解集为，13 ，求关于*的不等式(a3b)*b2a0 的解集.解：由(ab)*3b2a的解集为，13 ，得ab0，且3b2aab13，从而a2b，则ab3b0，即b0，将a2b代入(a3b)*b2a0，得b*3b0，*3，故所求解集为(，3).点拨：一般地

5、，一元一次不等式都可以化为a*b(a0)的形式.挖掘隐含条件ab0 且-.z3b2aab13是解此题的关键.解关于*的不等式：(m24)*m2.解：(1)当m240 即m2 或m2 时，当m2 时，原不等式的解集为 ，不符合当m2 时，原不等式的解集为 R R,符合(2)当m240 即m2 或m2 时，*1m2.(3)当m240 即2m2 时，*1m2.类型二类型二一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)*27*120;(2)*22*30；(3)*22*10;(4)*22*20.解：(1)*|*3 或*4.(2)*|3*1.(3).(4)因为0，可得原不等式的解集为 R R

6、.(2013*十校联考)函数f(*)*1，*0，*1，*0，则不等式*(*1)f(*1)1 的解集是()A.*|1* 21B.*|*1C.*|* 21D.*| 21* 21解：由题意得不等式*(*1)f(*1)1 等价于*10，*1*111或*10，*1*111，解不等式组得*1；解不等式组得1* 21.故原不等式的解集是*|* 21.应选 C.C.类型三类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系二次不等式、二次函数及二次方程的关系关于*的不等式*2b*c0 的解集是*|5*1，数b，c的值.解：不等式*2b*c0 的解集是*|5*1，*15，*21 是*2b*c0 的两个实数根，由韦达定理知

7、51b，51c，b4，c5.不等式a*2b*c0的解集为*|2*3， 求不等式c*2b*a0的解集.解：不等式a*2b*c0 的解集为*|2*3，a0，且 2 和 3 是方程a*2b*c0 的两根，由根与系数的关系得-.zba23，ca23，a0.即b5a，c6a，a0.代入不等式c*2b*a0，得 6a*25a*a0(a0).即 6*25*10，所求不等式的解集为*|12*13.类型四类型四含有参数的一元二次不等式含有参数的一元二次不等式解关于*的不等式：m*2(m1)*10.解：(1)m0 时，不等式为(*1)0，得*10，不等式的解集为*|*1；(2)当m0 时，不等式为m*1m(*1)

8、0.当m0，不等式为*1m(*1)0，1m1，不等式的解集为*|*1m或*1.当m0，不等式为*1m(*1)0.()假设1m1 即m1 时，不等式的解集为*|1m*1；()假设1m1 即 0m1 时，不等式的解集为*|1*1m；()假设1m1 即m1 时，不等式的解集为.点拨：当*2的系数是参数时，首先对它是否为零进展讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0 与m0 进展讨论，这是第一层次；第二层次：*2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m0 与m0 进展讨论；第三层次：1m与 1 大小的不确定性，对m1、m1与m1 进展讨论.解关于*的不等式a*222*a*(aR R).解：不等

9、式整理为a*2(a2)*20，当a0 时，解集为(，1.当a0 时，a*2(a2)*20 的两根为1，2a，所以当a0 时，解集为(，12a，；-.z当2a0 时，解集为2a，1；当a2 时，解集为*|*1；当a2 时，解集为1，2a .类型五类型五分式不等式的解法分式不等式的解法(1)解不等式*12*11.解：*12*11 *12*110 *22*10 *22*10.*22*10 *2 2*10，2*10.得*12或*2.(2)不等式*2*23*20 的解集是.解：*2*23*20*2*2 *10(*2)(*2)(*1)0，数轴标根得*|2*1 或*2，故填*|*|2 2* *1 1 或*

10、*2 2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式， 再利用数轴标根法写出不等式的解集， 如果该不等式有等号， 则要注意分式的分母不能为零.用数轴标根法解不等式的步骤： (1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证*的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴最右根的右上方向右上方向左下方左下方画线， 穿过此根， 再往左上方穿过次右根， 一上一下依次穿过各根,奇穿偶不穿来记忆.(5)写出不等式的解集：假设不等号为，则取数轴上方穿根线以的围

11、；假设不等号为，则取数轴下方穿根线以的围；假设不等式中含有号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)假设集合A*|12*13，B*|*2*0，则AB()A.*|1*0B.*|0*1C.*|0*2D.*|0*1解：易知A*|1*1，B集合就是不等式组*20，*0的解集，求出B*|0*2，所以AB*|0*1.应选 B.B.(2)不等式*12*10 的解集为()-.zA.12，1B.12，1C.，12 1，)D.，12 1，)解：*12*10*1 2*10，2*10得12*1.应选 A.A.类型六类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)假设不等式*2a*10 对于一切

12、*0，12 成立，则a的最小值为()A.0B.2C.52D.3解：不等式可化为a*21，由于*0，12 ，a*1* .f(*)*1*在0，12 上是减函数，*1*ma*52.a52.(2)对于任意的a1，1，函数f(*)*2(a4)*42a的值总大于 0，则*的取值围是()A.1*3B.*1 或*3C.1*2D.*1 或*2解：记g(a)(*2)a*24*4，a1，1，依题意，只须g10，g10*23*20，*25*60*1 或*3，应选 B.B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于*的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用

13、一次函数的单调性，求出*的取值围.对于满足|a|2 的所有实数a，求使不等式*2a*12*a成立的*的取值围.解：原不等式转化为(*1)a*22*10，设f(a)(*1)a*22*1，则f(a)在2，2上恒大于 0，故有：f20，f20即*24*30，*210解得*3 或*1，*1 或*1.*1 或*3.类型七类型七二次方程根的讨论二次方程根的讨论假设方程 2a*2*10 在(0，1)有且仅有一解，则a的取值围是()A.a1C.1a1D.0a1-.z解法一：令f(*)2a*2*1，则f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1.解法二：当a0 时，*1，不合题意，故排除 C，D；当a2 时，

14、方程可化为 4*2*10，而1160，无实根，故a2 不适合，排除 A.应选 B.B.1.不等式*2*10 的解集是()A.(，1)(1，2B.1，2C.(，1)2，)D.(1，2解：*2*10(*1)(*2)0，且*1，即*(1，2，应选 D.D.2.关于*的不等式(m*1)(*2)0，假设此不等式的解集为*|1m*2，则m的取值围是()A.m0B.0m2C.m12D.m0解：由不等式的解集形式知m0.应选 D.D.3.(2013*)一元二次不等式f(*)0 的解集为*|*12 ， 则f(10*)0 的解集为()A.*|*lg2B.*|1*lg2D.*|*lg2解： 可设f(*)a(*1)*

15、12 (a0 可得(10*1)10*12 0， 从而 10*12，解得*0 在(1，4)有解，则实数a的取值围是()A.a4C.a12D.a0 对*(1， 2)恒成立， 则实数k的取值围是_.解：*(1，2)，*10.则*2k*k1(*1)(*1k)0，等价于*1k0，-.z即k*1 恒成立，由于 2*13，所以只要k2 即可.故填(，2 2.7.(2014*)函数f(*)*2m*1，假设对于任意*m，m1，都有f(*)0 成立，则实数m的取值围是_.解：由题可得f(*)0 对于*m，m1恒成立，即fm2m210，fm12m23m0，解得22m0.故填2 22 2，0 0. .8.假设关于*的

16、不等式*2a*a3 的解集不是空集，数a的取值围.解：*2a*a3 的解集不是空集*2a*a30 的判别式0，解得a6或a2.9.二次函数f(*)的二次项系数为a，且不等式f(*)2*的解集为(1，3).(1)假设方程f(*)6a0 有两个相等的实根，求f(*)的解析式；(2)假设f(*)的最大值为正数，求a的取值围.解：(1)f(*)2*0 的解集为(1，3)，f(*)2*a(*1)(*3)，且a0.因而f(*)a(*1)(*3)2*a*2(24a)*3a.由方程f(*)6a0 得a*2(24a)*9a0.因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，即 5a24a10，解得a1 或a15.由于a0，舍去a1，将a15代入得f(*)的解析式f(*)15*265