船体振动学第1章

1、船体振动学船体振动学 第第1 1章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 Ship Vibration 以质量以质量-弹簧弹簧-阻尼器系统作为力学模型，研阻尼器系统作为力学模型，研究单自由度系统的振动具有非常普遍的实际意究单自由度系统的振动具有非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。而由度系统的振动理论就能得到满意的结果。而且，多自由度系统和连续系统的振动，在特殊且，多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。因此，研究

2、单自由度系统的振动规律的性态。因此，研究单自由度系统的振动规律和特点，为进一步研究复杂的振动系统奠定了和特点，为进一步研究复杂的振动系统奠定了基础。基础。 Ship Vibration 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动由振动 1.3 有粘性阻尼的单自由度系统的强迫振动有粘性阻尼的单自由度系统的强迫振动 1.4 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析 1.5 周期激励作用下周期激励作用下单自由度系统单自由度系统的强迫振的强迫振动动Ship Vibration 1.1 1.

3、1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship VibrationShip Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动由于由于影响振动特性的主要因素是质量、刚度和阻影响振动特性的主要因素是质量、刚度和阻尼尼，而在实际的工程结构中，质量、刚度和阻尼，而在实际的工程结构中，质量、刚度和阻尼的分布都比较复杂，所以在进行振动分祈时，需的分布都比较复杂，所以在进行振动分祈时，需要根椐所研究的具体问题，对实际的振动系统加要根椐所研究的具体问题，对实际的振动系统加以简化。以简化。例如：可将实际结构中弹性较小的质量

4、简化为无例如：可将实际结构中弹性较小的质量简化为无弹性的质量，而将质量较小的弹性元件简化为无弹性的质量，而将质量较小的弹性元件简化为无质量的弹簧。质量的弹簧。 Ship Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的自由度系统的自由度：确定振动系统的运动所需的独立：确定振动系统的运动所需的独立坐标的数目。这种确定系统在空间位置的独立变坐标的数目。这种确定系统在空间位置的独立变量称为量称为广义坐标广义坐标。在系统具有。在系统具有几何约束几何约束的条件下，的条件下，系统的自由度与广义坐标的数目相等。系统的自由度与广义坐标的数目相等。单

5、自由度系统单自由度系统：如果一个系统，在空间内任何瞬：如果一个系统，在空间内任何瞬时的位置只需用一个坐标来确定，那么这个系统时的位置只需用一个坐标来确定，那么这个系统就称为单自由度系统。就称为单自由度系统。工程中的很多振动问题都可以简化为单自由度系工程中的很多振动问题都可以简化为单自由度系统的振动问题。统的振动问题。 Ship Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动安装在船底骨架上的往复式发动机，如果仅考虑安装在船底骨架上的往复式发动机，如果仅考虑发动机的上下振动，则可以简化为一单自由度质发动机的上下振动，则可以简化为一单自由度

6、质量量-弹簧弹簧-阻尼器系统。发动机简化为一集中质阻尼器系统。发动机简化为一集中质量量 ，船体结构的弹性简化为一弹簧，船体结构的弹性简化为一弹簧 ，船体，船体结构的阻尼简化为一阻尼器结构的阻尼简化为一阻尼器 ，发动机在运转过，发动机在运转过程中产生的不平衡惯性力简化为作用在质量上的程中产生的不平衡惯性力简化为作用在质量上的外力外力 。 mck)(tFShip Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动因为单自由度系统的振动不仅因为单自由度系统的振动不仅可以揭示振动现象的本质，而可以揭示振动现象的本质，而且是多自由度系统的振动和连且是

7、多自由度系统的振动和连续系统的振动的基础，所以首续系统的振动的基础，所以首先研究单自由度系统的振动。先研究单自由度系统的振动。考虑一个典型的单自由度系统，考虑一个典型的单自由度系统，如图所示。如图所示。质量悬挂在弹簧的下端，弹簧质量悬挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度是的自然长度是 ，弹簧刚度，弹簧刚度是是 ，不计弹簧的质量。，不计弹簧的质量。 k0lShip Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动自由振动微分方程自由振动微分方程以图示的质量以图示的质量-弹簧系统为研究弹簧系统为研究对象。对象。取质点的静平衡位置为坐取质点的静平衡位

8、置为坐标原点标原点 ， 轴沿弹簧变形的方轴沿弹簧变形的方向，铅直向下为正。当质点在静向，铅直向下为正。当质点在静平衡位置时，由平衡条件平衡位置时，由平衡条件可以得到可以得到式中式中 是弹簧的静变形。是弹簧的静变形。 stkmgox0 xFstShip Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动当质量偏离平衡位置的距离为时，当质量偏离平衡位置的距离为时，质点的运动微分方程是质点的运动微分方程是两边除以两边除以 ，并令，并令 ，则，则运动微分方程可写成运动微分方程可写成这就是质量这就是质量-弹簧系统的自由振弹簧系统的自由振动的微分方程，

9、是一个动的微分方程，是一个二阶常系二阶常系数、线性、齐次微分方程数、线性、齐次微分方程。mx0kxxm mkn202xxn Ship Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动由微分方程的理论可知，运动方程的通解是由微分方程的理论可知，运动方程的通解是式中式中 和和 是积分常数，由运动的起始条件是积分常数，由运动的起始条件确定。假设确定。假设 时，时， ， 。可解得可解得因此，因此，运动方程的通解运动方程的通解是是1CtCtCxnnsincos2102xxn 2C0t0)0(xx0)0(xx01xC nxC02txtxxnnnsin

10、cos00Ship Vibration 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动上述方程也可写成下述形式上述方程也可写成下述形式式中式中)sin(tAxn2020nxxA00arctanxxntxtxxnnnsincos00Ship Vibration无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为中心无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为中心的简谐振动。系统的静平衡位置称为振动中的简谐振动。系统的静平衡位置称为振动中心，其心，其振幅振幅是是 和和初相位角初相位角是是 。振动的位移：振动的位移：令令 ，则，则振动的速度：振动的速度： )sin(tAxnA2cos)si

11、n(tAtAxnn211costAxn2cossin11tAtAxnnnn 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration振动的加速度：振动的加速度：位移、速度和加速度随时间的变化如图所示。位移、速度和加速度随时间的变化如图所示。12212coscostAxtAxnnnnn 1costAxn2cossin11tAtAxnnnn 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration由上图可以看出：由上图可以看出：（1）当位移为零时，当位移为零时，速度达到最大值，速度达到最

12、大值，加速度为零加速度为零；（2）当位移达到最大值时，速度为零，加速当位移达到最大值时，速度为零，加速度达到最大值度达到最大值；（3）当相角增加）当相角增加 时，振动完全重复其运时，振动完全重复其运动，如果相应的时间增加为动，如果相应的时间增加为 ，则，则 称为系统的称为系统的振动周期振动周期。2T11)(2TttnnkmTn22 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration系统的系统的振动频率振动频率系统的系统的振动圆频率振动圆频率可以看出，可以看出， 只与振动系统的弹簧常数只与振动系统的弹簧常数 和质量和质量 有关，而与运

13、动的初始条件无关。有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率因此，通常将频率 称为称为固有频率固有频率，将圆频，将圆频率率 称为称为固有圆频率固有圆频率。nf,kmkfn2mnfmkTfn2121 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration把把 代入代入 得得这是用这是用弹簧静变形时的变形量表示自由振动弹簧静变形时的变形量表示自由振动固有圆频率的计算公式固有圆频率的计算公式。 )sin(tAxnmknstmgkstng 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibr

14、ation例：如图所示，分别求并联弹簧与例：如图所示，分别求并联弹簧与串联弹簧振动系统的固有频率。已串联弹簧振动系统的固有频率。已知质量为知质量为 ，弹簧的弹簧常数分别，弹簧的弹簧常数分别为为 和和 。解：（解：（1）并联弹簧）并联弹簧假设振动系统在运动过程中，质量假设振动系统在运动过程中，质量始终作平行移动。取平衡位置时的始终作平行移动。取平衡位置时的质量为研究对象。质量受重力、弹质量为研究对象。质量受重力、弹性力作用处于平衡状态。两根弹簧性力作用处于平衡状态。两根弹簧的静变形都是的静变形都是 。弹性力分别。弹性力分别是是 ， 。m1k2kststkF11stkF22 1.1 1.1 系统的

15、简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration由平衡条件由平衡条件 ，得，得如果用一根弹簧常数为如果用一根弹簧常数为 的弹簧来的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则变形相等，则比较，得比较，得 称为并联弹簧的等效弹簧常数。称为并联弹簧的等效弹簧常数。0 xFstkkFFmg)(2121kstkmg21kkkk 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration可以看出，弹簧并联后的等效弹簧

16、可以看出，弹簧并联后的等效弹簧常数是各并联弹簧的弹簧常数的算常数是各并联弹簧的弹簧常数的算术和。弹簧并联的特征是：所有弹术和。弹簧并联的特征是：所有弹簧的变形相等。簧的变形相等。因此，系统的固有频率是因此，系统的固有频率是mkkmkf21212121kkk 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration（2）串联弹簧）串联弹簧 当质量在静平衡位置时，它的静位当质量在静平衡位置时，它的静位移移 等于两根弹簧的静变形之和，等于两根弹簧的静变形之和，即即因为弹簧是串联的，两根弹簧的受因为弹簧是串联的，两根弹簧的受力相等，即两根弹簧所受

17、的拉力都力相等，即两根弹簧所受的拉力都等于质量的重力等于质量的重力 。因此因此11kmgst22kmgststststst21mg 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration如果用一根弹簧常数为如果用一根弹簧常数为的弹簧来代替原来的两根的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的与原来两根弹簧所产生的静变形之和相等，则静变形之和相等，则 比较，得比较，得 称为串联弹簧的等效弹簧常数。称为串联弹簧的等效弹簧常数。 kmgstk21kmgkmgst2121kkkkkk 1.1 1.1

18、系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration弹簧串联后的弹簧常数的弹簧串联后的弹簧常数的倒数等于各串联弹簧的弹倒数等于各串联弹簧的弹簧常数的倒数的算术和。簧常数的倒数的算术和。由此可知，弹簧串联后的由此可知，弹簧串联后的等效弹簧常数是降低了，等效弹簧常数是降低了，而且比原来任一根弹簧的而且比原来任一根弹簧的弹簧常数都要小。弹簧常数都要小。 因此，系统的固有频率是因此，系统的固有频率是)(21212121kkmkkmkf2121kkkkk 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibrat

19、ion例：质量例：质量 从高度为从高度为 的地方自由落下，与一根的地方自由落下，与一根抗弯刚度为抗弯刚度为 、长为、长为 的简支梁作塑性碰撞，如的简支梁作塑性碰撞，如图所示，不计梁的质量，图所示，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。振幅和最大挠度。解：当梁的质量可以略去解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹不计时，梁可以用一根弹簧来代替，因此这是一个簧来代替，因此这是一个单自由度系统。单自由度系统。hmlEI 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration如果知道系统的静变如果知道

20、系统的静变形形 ，则可求出系统的，则可求出系统的固有频率固有频率由材料力学可知，简支梁由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用时，其中受集中载荷作用时，其中点的静挠度是点的静挠度是 EImglst483st34821mlEIfstgf21因此可以求出系统因此可以求出系统的固有频率是的固有频率是 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration以梁承受重物时的静平衡以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点位置为坐标原点 ， 建建立坐标系，如图所示，并立坐标系，如图所示，并以撞击时刻为零瞬时，则以撞击时刻为零瞬时，则时，有时，有 代入代入自由

21、振动的振幅是自由振动的振幅是 o33max961148mglEIhEImglAst梁的最大挠度是梁的最大挠度是 0tstx0ghx202020nxxAststhA22 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算振动系统的固有频率，是研究振动系统计算振动系统的固有频率，是研究振动系统的重要任务之一。前面介绍了在建立振动系的重要任务之一。前面介绍了在建立振动系统的运动微分方程的基础上，确定固有频率统的运动微分方程的基础上，确定固有频率的方法。下面介绍计算固有频率的能量法。的方法。下面介

22、绍计算固有频率的能量法。能量法的理论基础是能量法的理论基础是机械能守恒定律机械能守恒定律。应用。应用能量法能够比较容易地求出能量法能够比较容易地求出保守系统保守系统的固有的固有频率。频率。 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration在图示的无阻尼单自由度振动系统中，在图示的无阻尼单自由度振动系统中，作用在该系统上的重力和弹性力都是作用在该系统上的重力和弹性力都是保守力。根据保守力场中的机械能守保守力。根据保守力场中的机械能守恒定律，该系统在振动过程中，其势恒定律，该系统在振动过程中，其势能与动能之和保持不变。即能与动能之和保

23、持不变。即式中式中 是动能，是动能， 是势能。如果取是势能。如果取平衡位置平衡位置 为势能的零点，则系统为势能的零点，则系统在任一位置时的动能和势能分别是在任一位置时的动能和势能分别是constVTTVo222121kxVxmT 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration当系统在平衡位置时，当系统在平衡位置时， ，速度为，速度为最大，势能为零，动能具有最大最大，势能为零，动能具有最大值值 ；当系统在最大偏离位置时，；当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而势能具有最速度为零，动能为零，而势能具有最大值大值 。由于系统的

24、机械能守恒，。由于系统的机械能守恒，因此因此这是用能量法计算固有频率的公式。这是用能量法计算固有频率的公式。 0 xmaxTmaxV222121kxVxmTmaxmaxVT 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：船舶振动记录仪的原理例：船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物图如图所示。重物D连同杆连同杆BD对于支点对于支点B的转动惯量的转动惯量是是 ，求重物，求重物D在铅直方向在铅直方向的振动频率。已知弹簧的振动频率。已知弹簧AC的的弹簧刚度常数是弹簧刚度常数是 。解：这是单自由度的振动系解：这是单自由度的振动系统。系

25、统的位置可由杆统。系统的位置可由杆BD自自平衡位置量起的平衡位置量起的 角来决定。角来决定。系统的动能是系统的动能是BIk221BIT 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration设系统作简谐振动，则设系统作简谐振动，则因此，角速度及系统的最大因此，角速度及系统的最大动能分别是动能分别是如取平衡位置为系统的势能如取平衡位置为系统的势能零点。该系统的势能是零点。该系统的势能是2221kbV )cos(tnn22maxmax2121nBBIIT)sin(tn该系统的最大势能是该系统的最大势能是222max2max2121kbkbV

26、 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration利用利用 ，即，即 可以求得固有频率可以求得固有频率 22maxmax2121nBBIIT222max2max2121kbkbVmaxmaxVT22222121kbInBBnIkb2 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration计算固有频率的瑞利法计算固有频率的瑞利法利用能量法，可以将一个复杂的系统简化为利用能量法，可以将一个复杂的系统简化为一个简单的、质量等效和刚度等效的系统。一个简单的、质量等效和刚度等效的系统

27、。等效系统与真实系统的位移是等效的，且它等效系统与真实系统的位移是等效的，且它们的动能和势能都相同，因而两者的固有频们的动能和势能都相同，因而两者的固有频率也相同。这种利用等效系统求真实系统的率也相同。这种利用等效系统求真实系统的固有频率的方法叫做瑞利法或等效法。固有频率的方法叫做瑞利法或等效法。 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration在一般情况下，一个真实系统的等效质量弹在一般情况下，一个真实系统的等效质量弹簧系统可以这样来确定：首先簧系统可以这样来确定：首先规定真实系统规定真实系统中某一个质点的位移作为等效系统中质量

28、的中某一个质点的位移作为等效系统中质量的位移位移（即等效位移），然后（即等效位移），然后根据真实系统的根据真实系统的动能和势能分别与等效系统的动能和势能相动能和势能分别与等效系统的动能和势能相等的条件求出等效系统的质量和弹簧刚度等的条件求出等效系统的质量和弹簧刚度（也就是说由动能等效求等效质量（也就是说由动能等效求等效质量 ，由势，由势能等效求等效刚度能等效求等效刚度 ），最后真实系统的固），最后真实系统的固有频率是有频率是 emekeenmk 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：求图示系统的固有频率。例：求图示系

29、统的固有频率。假设杆单位长度的质量是假设杆单位长度的质量是 ，弹簧的刚度常数是弹簧的刚度常数是 ，杆的，杆的长度是长度是 ，弹簧与简支端之，弹簧与简支端之间的距离是间的距离是 。 解：假设离简支端解：假设离简支端 处的垂处的垂向位移是向位移是 ，并以这个位移，并以这个位移作为等效系统的位移，作为等效系统的位移，即即 。真实系统的动能是真实系统的动能是 mkl1llwwqedxwlxmTl0221 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration等效系统的动能是等效系统的动能是由由 ，得，得 真实系统的势能是真实系统的势能是221w

30、mTeeeTT mldxlxmmle31022121wllkVdxwlxmTl0221 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration等效系统的势能是等效系统的势能是 由由 ，得，得 因此真实系统的固有频率是因此真实系统的固有频率是221wkVeeeVV 21llkke2121wllkV3213mlklmkeen 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：如图所示，弹簧长度例：如图所示，弹簧长度是是 ，其质量是，其质量是 。求弹。求弹簧的等效质量及系统的固

31、有簧的等效质量及系统的固有频率。频率。 解：令解：令 表示弹簧右端的位表示弹簧右端的位移，也是质量移，也是质量 的位移。距的位移。距离左端为离左端为 处弹簧的位移处弹簧的位移是是 ，那么，那么mlxsmxlseqmm3120232121xmdxllmTslss弹簧的等效质量弹簧的等效质量 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration系统的总动能是系统的总动能是 系统的势能是系统的势能是 因此系统的固有频率是因此系统的固有频率是 22232132121xmmxmxmTss3snmmk221kxV 1.1 1.1 系统的简化和单自

32、由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：如图所示，假设有一均例：如图所示，假设有一均质等截面悬臂梁，梁的端部质等截面悬臂梁，梁的端部有一集中质量有一集中质量 ，梁单位，梁单位长度的质量是长度的质量是 ，梁的抗弯，梁的抗弯刚度是刚度是 。若考虑梁的质。若考虑梁的质量，求梁的等效质量和系统量，求梁的等效质量和系统的固有频率。的固有频率。 解：假设悬臂梁在自由振动解：假设悬臂梁在自由振动时的动挠度曲线和悬臂梁在时的动挠度曲线和悬臂梁在自由端有集中载荷作用下的自由端有集中载荷作用下的静挠度曲线一样。静挠度曲线一样。 MmEI 1.1 1.1 系统的简化和单自

33、由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration由结构力学可知，悬臂梁在由结构力学可知，悬臂梁在自由端有集中载荷自由端有集中载荷 作用作用时的静挠度曲线是时的静挠度曲线是当当 时，悬臂梁自由端时，悬臂梁自由端的挠度的挠度 是是 Mglx 3323332232)3(32233lxlxEIMgllxlxEIMglw0wEIMglw330因此因此03322)3(wlxlxw 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration梁的动能是梁的动能是式中式中 是梁的质量，因此是梁的质量，因此梁的等效质量是梁的等效

34、质量是 200232230021403321)3(22121wmldxxlxlwmdxwmTll033223wlxlxwml03322)3(wlxlxwmlme14033 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动Ship Vibration则等效系统的质量是则等效系统的质量是等效系统的弹簧刚度是等效系统的弹簧刚度是 因此，系统的固有频率是因此，系统的固有频率是 mlMmMMee14033303lEIwMgkmlme14033mlMlEIMken1403333 1.1 1.1 系统的简化和单自由度系统的自由振动系统的简化和单自由度系统的自由振动 1.2

35、 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship VibrationShip Vibration 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动在前述的自由振动中，在前述的自由振动中，振动的振幅是不变的，振动将无限地延续下去。振动的振幅是不变的，振动将无限地延续下去。但是，实际观察到的结果并非如此。例如，质量但是，实际观察到的结果并非如此。例如，质量-弹簧系统的质量在其平衡位置附近的自由振动并弹簧系统的质量在其平衡位置附近的自由振动并非无限地延续下去，随着时间的推移，它的振幅非无限地延续下去，随

36、着时间的推移，它的振幅将逐渐衰减，最后趋于零而停止振动。这说明，将逐渐衰减，最后趋于零而停止振动。这说明，在振动过程中，质量除了受到弹簧恢复力的作用在振动过程中，质量除了受到弹簧恢复力的作用外，还受到阻力的作用。振动过程中的阻力通称外，还受到阻力的作用。振动过程中的阻力通称阻尼力。阻尼力。 )sin(tAxn2020nxxAShip Vibration由于在实际的振动系统中总是存在着阻尼的作用，由于在实际的振动系统中总是存在着阻尼的作用，所以在振动的研究和计算中必须考虑阻尼的影响。所以在振动的研究和计算中必须考虑阻尼的影响。按照阻尼力作用的性质按照阻尼力作用的性质来分类，阻尼力可分为外来分类，

37、阻尼力可分为外阻尼力与内阻尼力两类。阻尼力与内阻尼力两类。外阻尼力外阻尼力是由于系统直是由于系统直接与外界接触而产生的阻尼力，接与外界接触而产生的阻尼力， 内阻尼力内阻尼力是由于是由于系统内部材料或结构上的原因而产生的阻尼力。系统内部材料或结构上的原因而产生的阻尼力。外阻尼力因外阻尼力因系统接触外界介质的不同系统接触外界介质的不同，一般又可，一般又可以分为三种：（以分为三种：（1）干摩擦阻尼力）干摩擦阻尼力 ；（2）粘性阻）粘性阻尼力尼力 ；（；（3）流体动力阻尼力）流体动力阻尼力 。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship V

38、ibration（1）干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力：当系统在外界固体的表面：当系统在外界固体的表面上运动时所产生的阻尼力，也称作库伦阻尼力。上运动时所产生的阻尼力，也称作库伦阻尼力。干摩擦阻尼力的方向与系统相对运动速度的方向干摩擦阻尼力的方向与系统相对运动速度的方向相反，其大小取决于干摩擦系数和接触面的法向相反，其大小取决于干摩擦系数和接触面的法向反力，即反力，即 式中式中 是干摩擦系数，是干摩擦系数， 是接触面的法向反力。是接触面的法向反力。如图所示。如图所示。 | xxFFNdNF干摩擦系数取决于接触面的材料与接触面的粗糙程度。这种阻尼力的大小不依赖于质量的位移和速度。 1.2 1.2 阻尼和

39、有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration（2）粘性阻尼力粘性阻尼力：当系统以较低的速度在外界：当系统以较低的速度在外界粘性流体中运动时所产生的阻尼力。这种阻尼力粘性流体中运动时所产生的阻尼力。这种阻尼力在机械系统中最普遍。粘性阻尼力与接触面的材在机械系统中最普遍。粘性阻尼力与接触面的材料无关，而与系统的大小、形状及流体的粘性有料无关，而与系统的大小、形状及流体的粘性有关。粘性阻尼力的方向与系统的速度方向相反，关。粘性阻尼力的方向与系统的速度方向相反，其大小与系统的运动速度成正比，即其大小与系统的运动速度成正比，即 ，式中式中 是是粘

40、性阻尼系数粘性阻尼系数。这种粘性阻尼力又称为。这种粘性阻尼力又称为线性粘性阻尼力线性粘性阻尼力。 cxcFd 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration（3）流体动力阻尼力流体动力阻尼力：当系统以较髙的速度在：当系统以较髙的速度在外界粘性较小的流体中运动时所产生的阻尼力，外界粘性较小的流体中运动时所产生的阻尼力，也称作也称作非线性粘性阻尼力非线性粘性阻尼力。流体动力阻尼力的方。流体动力阻尼力的方向与系统相对运动速度的方向相反，其大小与系向与系统相对运动速度的方向相反，其大小与系统的运动速度的平方成正比，即统的运动

41、速度的平方成正比，即式中式中 是流体动力阻尼系数。是流体动力阻尼系数。 2|xxxbFdb 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration系统的系统的内阻尼力内阻尼力是由于系统内部的原因而产生的是由于系统内部的原因而产生的阻尼力，它可以分为阻尼力，它可以分为材料内阻尼力材料内阻尼力和和结构内阻尼结构内阻尼力力两种。两种。（1）材料内阻尼力材料内阻尼力：是由于实际的材料并不是：是由于实际的材料并不是完全弹性而引起的，所以又称为完全弹性而引起的，所以又称为材料的非弹性阻材料的非弹性阻尼力尼力。（2）结构内阻尼力结构内阻尼

42、力：是由于系统内部结构的装：是由于系统内部结构的装配或连接而引起的。配或连接而引起的。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration由于粘性阻尼在数学处理上比较方便，由于粘性阻尼在数学处理上比较方便，下面就下面就以粘性阻尼为例以粘性阻尼为例来讨论阻尼对来讨论阻尼对单自由度系统的自由振动的影响。对单自由度系统的自由振动的影响。对于非线性阻尼，可以利用在一个周期于非线性阻尼，可以利用在一个周期内能量耗散相等的条件把非线性阻尼内能量耗散相等的条件把非线性阻尼转化成等效的粘性阻尼来处理。转化成等效的粘性阻尼来处理。图示为一

43、有粘性阻尼的单自由度质量图示为一有粘性阻尼的单自由度质量-弹簧系统。弹簧系统。 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration质量的下部表示粘性阻尼器。仍质量的下部表示粘性阻尼器。仍以静以静平衡位置平衡位置 为坐标原点为坐标原点，选取，选取 轴向轴向下为正，则可以写出质量的运动微分下为正，则可以写出质量的运动微分方程方程 上述方程两边除以上述方程两边除以 ，并令，并令 其中其中 称为称为衰减系数衰减系数，它的单位是，它的单位是1/秒秒(1/s)。运动微分方程可以改写成。运动微分方程可以改写成 o0kxxcxm xmk

44、n2mmcn 2n022xxnxn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration它是一个它是一个二阶、常系数、线性、齐次二阶、常系数、线性、齐次微分方程微分方程。由微分方程的理论可知，。由微分方程的理论可知，它的解具有如下形式它的解具有如下形式 把上式代入运动微分方程，得到系统把上式代入运动微分方程，得到系统的的特征方程特征方程是是特征方程的两个根是特征方程的两个根是 0222nnrrrtCex 222221nnnnrnnr022xxnxn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的

45、单自由度系统的自由振动Ship Vibration由此可见，随着由此可见，随着 与与 值的不同，值的不同， 与与 也就具有不同的值，因而运动规也就具有不同的值，因而运动规律也就不相同。下面分律也就不相同。下面分 ， ， 三种情况进行讨论。三种情况进行讨论。 （1） 小阻尼的情况小阻尼的情况 （欠阻尼）（欠阻尼）这时特征方程有一对共轭复根这时特征方程有一对共轭复根 n222221nnnnrnnrnnn1r2rnnnnnndndninninrinninr222221其中其中 1i22nnd 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship V

46、ibration运动微分方程的通解是运动微分方程的通解是利用欧拉公式利用欧拉公式 于是于是式中式中 是两个积分常数，由运动的初始条件是两个积分常数，由运动的初始条件确定，假设确定，假设 时，时， ， ；可以得到可以得到)(21)(2)(12121titinttintintrtrddddeCeCeeCeCeCeCxtiteddtidsincos21,CC)sincos(21tCtCexddnt0tddinrinr210)0(xx0)0(xxdnxxCxC00201 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration运动微分

47、方程的通解也可以写成下述形式运动微分方程的通解也可以写成下述形式 式中式中可以看出，质量在平衡位置附近作往复运动，具有振动的可以看出，质量在平衡位置附近作往复运动，具有振动的性质。但它的振幅不是常数，随着时间的增加而衰减。因性质。但它的振幅不是常数，随着时间的增加而衰减。因此，有阻尼的自由振动并不是按同样的条件循环往复的周此，有阻尼的自由振动并不是按同样的条件循环往复的周期振动，习惯上把它称作期振动，习惯上把它称作准周期振动准周期振动，或，或衰减振动衰减振动。)sin(tAexdnt00020020arctannxxxnxxxAdd)sincos(21tCtCexddntdnxxCxC0020

48、1 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration阻尼对周期的影响阻尼对周期的影响 衰减振动即衰减振动即小阻尼自由振动的周期小阻尼自由振动的周期 是指质量由是指质量由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。小阻尼自由振动的周大偏离位置所经过的时间。小阻尼自由振动的周期期 其中其中 是无阻尼自由振动是无阻尼自由振动 的周期；的周期；2211122TnTnndddTnT2 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度

49、系统的自由振动Ship Vibration 是是阻尼比阻尼比，它等于衰减系数，它等于衰减系数 与系统的与系统的无阻尼自由振动的固有频率无阻尼自由振动的固有频率 之比。阻尼比是振之比。阻尼比是振动系统中反映阻尼特性的重要参数，在小阻尼情动系统中反映阻尼特性的重要参数，在小阻尼情况下，况下， 。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当 时，时， ，周期，周期 仅增加了仅增加了0.125%。当。当阻尼比阻尼比 时，可以近似认为有阻尼自由振动时，可以近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自

50、由振动的周期相等。的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 2211122TnTnndd1nnnn05. 0TTd00125. 1dT1 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响 衰减振动的振幅随时间按指数规律衰减衰减振动的振幅随时间按指数规律衰减。假设。假设经过一个周期经过一个周期 ，在同方向的相邻两个振幅，在同方向的相邻两个振幅分别为分别为 和和 ，即，即两振幅之比为两振幅之比为 式中，式中， 称为称为振幅衰减率振幅衰减率。 )(1dmmTtnmntmAeAAeAmA1mAdnTm

51、meAA1dT 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration 如仍以如仍以 为例，算得为例，算得 ，质量，质量每振动一次，振幅就减少每振动一次，振幅就减少 27%。由此可见，。由此可见，在小在小阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著减却非常显著，它是按几何级数衰减的。，它是按几何级数衰减的。振幅衰减率的自然对数称为振幅衰减率的自然对数称为对数衰减率对数衰减率，用，用 表表示示 37. 1dnTednTmmeAA105. 02121ln22TnTnd 1.2

52、1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration（2） 大阻尼的情形大阻尼的情形 （过阻尼过阻尼）这时，特征方程的根是两个不相等的这时，特征方程的根是两个不相等的负实根负实根，运动微分方程的通解是运动微分方程的通解是其中其中 是两个积分常数，由运动的初始条件是两个积分常数，由运动的初始条件确定。随着时间的增大，系统的运动将逐渐地趋确定。随着时间的增大，系统的运动将逐渐地趋于平衡位置。这种运动不仅是非周期的，而且已于平衡位置。这种运动不仅是非周期的，而且已不再具有振动的性质。不再具有振动的性质。 )(222222222121)(

53、2)(121tntnnttnntnntrtrnnnneCeCeeCeCeCeCx21,CCnn222221nnnnrnnr 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration（3） 临界阻尼临界阻尼的情形的情形 这时特征方程的根是两个相等的实根这时特征方程的根是两个相等的实根 运动微分方程的通解是运动微分方程的通解是其中其中 是两个积分常数，由运动的初始条件是两个积分常数，由运动的初始条件确定。这种情形与大阻尼的情形相似，系统的运确定。这种情形与大阻尼的情形相似，系统的运动已没有振动的性质。但它是大阻尼情形的下边动已没有

54、振动的性质。但它是大阻尼情形的下边界，同一个系统，受到相同的运动的初始条件，界，同一个系统，受到相同的运动的初始条件，临界阻尼情形的位移最大，而且返回平衡位置最临界阻尼情形的位移最大，而且返回平衡位置最快。快。 )(21212121tCCeetCeCetCeCxntntnttrtr21,CCnnnrr21 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration值得注意的是，临界阻尼情形是从衰减振动过渡值得注意的是，临界阻尼情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。因此，这时系统的阻到非周期运动的临界状态。因此，这时系统的阻

55、尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。假设临界值。假设 为为临界阻尼系数临界阻尼系数，由，由于于 ，则，则 可见，可见， 只取决于系统本身的质量与弹性常数。只取决于系统本身的质量与弹性常数。 是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，这就是是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，这就是 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。 1nncckmmnmcnc222ccnncnmnmcc22 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration具有临界阻尼的系统与大阻尼系统相比较，它是具有临界阻尼

56、的系统与大阻尼系统相比较，它是最小阻尼系统。因此质量最小阻尼系统。因此质量 将以最短的时间回到将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时会出现反性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时会出现反弹，所以要求大炮发射炮弹后以最短的时间回到弹，所以要求大炮发射炮弹后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。阻尼器才能满足这种要求。 m 1.2 1.2

57、 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：设计一个小阻尼减振器，要求振动一个周期例：设计一个小阻尼减振器，要求振动一个周期后的振幅减小到第一幅值的后的振幅减小到第一幅值的1/16。已知质量。已知质量 kg，阻尼振动周期，阻尼振动周期 s。试求减振器的刚度系。试求减振器的刚度系数数 和阻尼系数和阻尼系数 。 解：由解：由则对数衰减率则对数衰减率 利用利用解出阻尼比解出阻尼比500m1dTkc4037. 02127726. 216lnln21AA16161121AA 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼

58、和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration求得固有频率求得固有频率 所以，刚度系数所以，刚度系数 和阻尼系数和阻尼系数 分别求得如下：分别求得如下： srad8677. 61212222dnTTkc4037. 0mNs49.27727 .68674037. 0cccmNs7 .68675008677. 622mcncmN65.23582500)8677. 6(22mkn 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration例：在小阻尼（例：在小阻尼（ ）的系）的系统中，在振幅衰减曲线的包统中，在振幅衰

59、减曲线的包络线上，已测得相隔络线上，已测得相隔 个周个周期的期的 两点的幅值之两点的幅值之比比 ，如图所示，如图所示，试求此振动系统的阻尼比试求此振动系统的阻尼比 。 解：解：NRP,1rAARP)(dPPNTtnRntPAeAAeAreAAAAddPPnNTNTtnntRP)(ee 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration当当 时时 rNln2rNTNnNTndln1212212Nr2lnreAAAAddPPnNTNTtnntRP)(ee 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻

60、尼的单自由度系统的自由振动Ship Vibration上式对于估算小阻尼系统的上式对于估算小阻尼系统的值是很方便的。例如，经过值是很方便的。例如，经过10个周期测得个周期测得 两点的幅两点的幅值比值比 ，将，将 ， 代入上式，得到该系统的阻代入上式，得到该系统的阻尼比尼比 RP,Nr2ln011. 0202ln10N2r2r 1.2 1.2 阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动阻尼和有粘性阻尼的单自由度系统的自由振动 1.3 1.3 有粘性阻尼的单自由度系统的强迫振动有粘性阻尼的单自由度系统的强迫振动Ship VibrationShip Vibration 1.3 1.3 有粘性阻尼的单自