大学数学--第七章线性变换第九节

1、根据根据，任给数域，任给数域 P 上一上一个个 n 级矩阵级矩阵 A，总可找到数域，总可找到数域 P 上一个多项式上一个多项式 f (x)使使 f (A) = 0 . 如果多项式如果多项式 f (x) 使使 f (A) = 0 ，我们，我们就称就称 f (x) 以以 A 为根为根.当然，当然， .这一节讨论这一节讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化的问题的问题. 设设 g1(x) 和和 g2(x) 都是都是 A 的最小多项式的最小多项式 ,根据带余除法，根据带余除法， g1(x) 可表示成可表示成g1(x) = q(x)g2(x) + r(x

2、) , 其中其中 r(x) = 0 或或 ( r(x) ) ( g2(x) ) ，g1(A) = q(A)g2(A) + r(A) = O. 因此，因此， r(A) = O. 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， r(x) = 0 ,即即 g2(x) | g1(x) .同样可证同样可证 g1(x) | g2(x).于是于是因此因此 g1(x) 与与 g2(x) 只能相差一个非零常数因子只能相差一个非零常数因子.又又因因 g1(x) 与与 g2(x) 的首项系数都等于的首项系数都等于 1 ，所以，所以g1(x) = g2(x) .应用同样的方法，可证下述引理应用同样的方法，可证下述引理 由此

3、可知，矩阵由此可知，矩阵 A 的最小多项式是的最小多项式是 A 的特征的特征多项式的一个因式多项式的一个因式. 数量矩阵数量矩阵 kE 的最小多项式为的最小多项式为 x - k ，特，特别地，单位矩阵的最小多项式为别地，单位矩阵的最小多项式为 x - 1 , 零矩阵的最零矩阵的最小多项式为小多项式为 x .另一方面，如果另一方面，如果 A 的最小多项式是的最小多项式是 1 次多项式次多项式那么那么 A 一定是数量矩阵一定是数量矩阵. 设设,1111A求求 A 的最小多项式的最小多项式.因为因为 A 的特征多项式为的特征多项式为| xE - A | = ( x - 1 )3 .所以所以 A 的最

4、小多项式为的最小多项式为 ( x - 1 )3 的因式的因式.显然，显然，A - E O 而而( A - E )2 = O , 因此因此 A 的最小多项式为的最小多项式为( x - 1 )2 .事实上，如果矩阵事实上，如果矩阵 A 与与 B 相似：相似：B = T-1AT，那么对任一多项式那么对任一多项式 f (x)， f (B)=T-1f (A)T . 因此，因此，f (B)= Of (A)= O这说明相似矩阵有相同的最小多项式这说明相似矩阵有相同的最小多项式.下面的例子说明这个结论下面的例子说明这个结论. 设设.22111,21111BAA 与与 B 的最小多项式都等于的最小多项式都等于

5、( x - 1 )2( x - 2 )，但是，但是它们的特征多项式不同，因此它们的特征多项式不同，因此 A 和和 B 不是相似的不是相似的.为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面为了讨论矩阵对角化的问题，还需要用到下面的引理的引理. ,21AAA记记 g(x) = g1(x) ， g2(x) ，首先，首先 .)()()(21OAgAgAg因此，因此， g(x) 能被能被 A 的最小多项式整除的最小多项式整除.其次，如其次，如果果 h(A) = O，那么，那么.)()()(21OAhAhAh所以所以 h(A1) = O , h(A2) = O , 因而因而 g1(x) | h(x) ,g2(x

6、) | h(x) .并由此得并由此得 g(x) | h(x) . 这样就证明了这样就证明了 g(x) 是是 A 的最小多项式的最小多项式.这个结论可以推广到这个结论可以推广到 A 为若干个矩阵组成的为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形准对角矩阵的情形. 即：如果即：如果,21sAAAAAi 的最小多项式为的最小多项式为 gi(x)，i =1, 2, , s，最小多项式为最小多项式为 g1(x) , g2(x) , , gs(x) .那么那么 A 的的 aaJ11J 的特征多项式为的特征多项式为 ( x - a )k ，而，而,0110aEJ,001000)(1OaEJk所以所以 J 的最小多项式

7、为的最小多项式为 ( x - a )k . 根据引理根据引理 3 的推广的情形，条件的必要的推广的情形，条件的必要性是显然的性是显然的.现在证明充分性现在证明充分性.根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们可根据矩阵和线性变换之间的对应关系，我们可定义任意线性变换定义任意线性变换 A 的最小多项式，它等于其对的最小多项式，它等于其对应矩阵应矩阵 A 的最小多项式的最小多项式. 我们只要证明，若数域我们只要证明，若数域 P上某线性空间上某线性空间 V 上的线性变换上的线性变换 A 的最小多项式的最小多项式 g(x)是是 P 上互素的一次因式的乘积：上互素的一次因式的乘积：, )()(1liiaxxg则则 A 有一组特征向量做成有一组特征向量做成 V 的基的基.实际上，由于实际上，由于g( A )V = 0，用定理，用定理 15 中同样中同样步骤可证步骤可证 V = V1 V2 Vl , 其中其中Vi