高等数学(高教版)第七章线性变换第六节

1、 若用集合的记号则若用集合的记号则 由由A + A = A ( + ) ，k A = A (k )可知，可知，A V 是非空的，是非空的，由由 A =0 与与 A = 0 可知可知 A ( + ) =0， A (k ) = 0 .A V 对加法与数量乘法是封闭的，对加法与数量乘法是封闭的，同时，同时，因此因此 A V 是是 V 的子空间的子空间.这就是说，这就是说， A -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的对加法与数量乘法是封闭的.又又因为因为 A (0) = 0，所以，所以 0 A -1(0) ，即，即 A -1(0) 是非是非空的空的.所以所以 A -1(0) 是是 V 的子空间的子空间.

2、A V 的维数称为的维数称为 A 的的， A -1(0) 的维数称为的维数称为A 的的. 在线性空间在线性空间 Pxn 中，令中，令D ( f (x) ) = f (x) .则则 D 的值域为的值域为 Pxn-1 ， D 的核为子空间的核为子空间 P . 设设 是是 V 的任一向量，可用基表的任一向量，可用基表示为示为 = x1 1 + x2 2 + + xn n .于是于是A = x1 A 1 + x2 A 2 + + xn A n .这个式子说明，这个式子说明， A L(A 1 , A 2 , , A n ) ,因此因此 A V L(A 1 , A 2 , , A n ) .这个式子还这个

3、式子还表明基像组的线性组合还是一个像，也即表明基像组的线性组合还是一个像，也即L(A 1 , A 2 , , A n ) A V .A V = L(A 1 , A 2 , , A n ) .于是就有于是就有 根据根据 ， A 的秩等于基像组的秩的秩等于基像组的秩.另一方另一方面，矩阵面，矩阵 A 是由基像组的坐标按列排列成的是由基像组的坐标按列排列成的.在前在前一章第八节中曾谈过，若在一章第八节中曾谈过，若在 n 维线性空间维线性空间 V 中取中取定了一组基之后，把定了一组基之后，把 V 的每一个向量与它的坐标的每一个向量与它的坐标对应起来，就得到了对应起来，就得到了 V 到到 P n 的同构

4、对应的同构对应.同构对同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组们的坐标组(即矩阵即矩阵 A 的列向量组的列向量组)有相同的秩有相同的秩. 设设 A V 的一组基为的一组基为 1 , 2 , , r , 它们它们的原像为的原像为 1 , 2 , , r , A i= i ，i = 1 , 2 , , r . 又取又取 A -1(0) 的一组基为的一组基为 r+1 , r+2 , , s .现在来现在来证明证明 1 , 2 , , r , r+1 , r+2 , , s 为为 V 的基的基. 若有若有l1 1 + l2 2 + + lr

5、r + lr+1 r+1 + + ls s = 0 .用用 A 去变它的两端的向量，得去变它的两端的向量，得l1 A 1 + l2 A 2 + + lr A r + lr+1 A r+1 + + ls A s= A 0 = 0 .因因 r+1 , r+2 , , s 属于属于A -1(0) ，故，故A r+1 = A r+2 = = A s = 0 .又又 A i= i ，i = 1 , 2 , , r . 于是上式就变成于是上式就变成l1 1 + l2 2 + + lr r = 0 .但但 1 , 2 , , r 是线性无关的，有是线性无关的，有l1 = l2 = lr = 0 .于是等式于

6、是等式l1 1 + l2 2 + + lr r + lr+1 r+1 + + ls s = 0就变成就变成lr+1 r+1 + + ls s = 0 .又因为又因为 r+1 , r+2 , , s 是是 A -1(0) 的基也线性无关的基也线性无关,就有就有lr+1 = = ls = 0 .这就证明了这就证明了 1 , 2 , , r , r+1, , s 是线性无关的是线性无关的.再证再证 V 的任一向量的任一向量 是是 1 , 2 , , r , r+1, , s的线性组合的线性组合.由由 1 = A 1 , , r = A r 是是 A V 的的基，就有一组数基，就有一组数l1 , l2

7、 , , lr使使A = l1 A 1 + l2 A 2 + + lr A r = A ( l1 1 + l2 2 + + lr r ) . 于是于是A ( - l1 1 - l2 2 - - lr r ) = 0，即即 - l1 1 - l2 2 - - lr r A -1(0) .又因为又因为 r+1 , r+2 , , s 是是 A -1(0) 的基，必有一组的基，必有一组数数lr+1 , lr+2 , , ls使使 - l1 1 - l2 2 - - lr r = lr+1 r+1 + + ls s 于是就有于是就有 = l1 1 + l2 2 + + lr r + lr+1 r+1

8、+ + ls s 这就说明这就说明 是是 1 , 2 , , r , r+1, , s 的线性组合的线性组合.也就证明了也就证明了 1 , 2 , , r , r+1, , s 是是 V 的一组基的一组基.由由 V 的维数为的维数为 n ，知，知 s = n .又又 r 是是A V 的维的维数也即数也即 A 的秩，的秩， s - r = n - r 是是 A -1(0) 的维数，即的维数，即A 的零度的零度.因而因而A 的秩的秩 + A 的零度的零度 = n . 显然，当且仅当显然，当且仅当 A V = V，即，即 A 的秩的秩为为 n 时，时， A 是满射；是满射；另外，当且仅当另外，当且仅

9、当 A -1(0) = 0即即 A 的零度为的零度为 0 时，时， A 是单射，于是由上述定理是单射，于是由上述定理即可得出结论即可得出结论.应该指出，应该指出， 设线性变换设线性变换 A 在三维线性空间在三维线性空间 V 的一的一组基组基 1 , 2 , 3 下的矩阵是下的矩阵是.103012121A 求求 A 在基在基 1 , 2 , 3 下的矩阵，其中：下的矩阵，其中：.,2,32321332123211 求求 A 的值域的值域 A V 和核和核 A -1(0) ； 把把 A V 的基扩充为的基扩充为 V 的基，并求的基，并求 A 在这在这组基下的矩阵；组基下的矩阵； 把把 A -1(0

10、) 的基扩充为的基扩充为 V 的基，并求的基，并求 A 在在这组基下的矩阵这组基下的矩阵. 设设 A 是一个是一个 n n 矩阵，矩阵，A2 = A . 证明证明A 相似于一个对角矩阵相似于一个对角矩阵) 1 (.00111取一取一 n 维线性空间维线性空间 V 以及以及 V 的一组基的一组基 1 , 2 , , n .定义线性变换定义线性变换 A 如下：如下：A ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) A .下面来证明，下面来证明， A 在一组适当的基下的矩阵是在一组适当的基下的矩阵是 (1) .这样，由这样，由也就证明了所要的结论也就证明了所要的结论.由由 A2 = A，可知，可知 A 2 =A .我们取我们取 A V 的一的一组基为组基为 1 , 2 , , r .由