第4章 系统的频率特性 - 过控

1、1 频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同, ,频率特性法不是根据频率特性法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系统的频率特性来分析系统的（频域）性能指标。因此统的频率特性来分析系统的（频域）性能指标。因此, , 从某种意从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。第第4 4章章 系统的频率特性系统的频

2、率特性 频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通过这频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系。通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法又是统一的。之。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法又是统一的。 频率特性是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系频率特性是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。2频域分析法的特点频域分析法的特点 （1）频率特性也是

3、一种数学模型，且系统或元部件的频率）频率特性也是一种数学模型，且系统或元部件的频率特性可以用实验方法测定。对于难于用机理法建立数学模型的特性可以用实验方法测定。对于难于用机理法建立数学模型的系统或元部件非常实用。系统或元部件非常实用。 （2 2）用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的微）用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的微分方程，而是作出系统频率特性的图形，然后通过频域和时域分方程，而是作出系统频率特性的图形，然后通过频域和时域之间的关系来分析系统的性能。之间的关系来分析系统的性能。 （3）频率特性不仅可反映系统的性能，且还可）频率特性不仅可反映系统的性能，且还可反映系统的反映

4、系统的参数和结构与系统性能的关系。参数和结构与系统性能的关系。因此，通过研究系统的频率特因此，通过研究系统的频率特性，可以了解如何改变系统的参数和结构来改善系统的性能。性，可以了解如何改变系统的参数和结构来改善系统的性能。 （4）利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足系统）利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足系统动态性能指标，又能使其噪声减小到满意程度的系统。动态性能指标，又能使其噪声减小到满意程度的系统。 （5）频率法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些非线）频率法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些非线性系统。是广大工程技术人员熟悉并广泛使用的有效方法。性系统。是广大工程技术人员

5、熟悉并广泛使用的有效方法。3第第4 4章章 系统的频率特性系统的频率特性一、频率特性一、频率特性二、频率特性的对数坐标图二、频率特性的对数坐标图三、频率特性的极坐标图三、频率特性的极坐标图四、系统辨识四、系统辨识五、最小相位系统五、最小相位系统六、闭环频率特性与频域性能指标六、闭环频率特性与频域性能指标4教学目的、要求教学目的、要求1.1.掌握系统频率特性的概念和求法掌握系统频率特性的概念和求法2.2.掌握系统的掌握系统的bodebode图和图和nyquistnyquist图的构成图的构成3.3.掌握系统闭环频率特性的求取方法掌握系统闭环频率特性的求取方法教学重点教学重点1.1.系统幅频特性和

6、相频特性的求法系统幅频特性和相频特性的求法2.2.根据根据bodebode图估计系统的传递函数图估计系统的传递函数54.1 4.1 频率特性频率特性1 1、频率响应、频率响应频率响应频率响应: : 系统对正弦信号的系统对正弦信号的稳态稳态响应。响应。输入：输入：( )sinr tAt系统的传递函数：系统的传递函数：10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa22( )()()AAR sssjsj( )( ) ( )C sG s R s1011122011mmmmnnnnb sbsbsbAa sa sasa s频率响应频率响应: : 线性

7、定常系统在正弦输入下的线性定常系统在正弦输入下的稳态稳态输出输出。11( ) ( ) ( ) ( )c tL C sL G s R s频率响应：频率响应：610112( )()()() ()()mmmnb sbsbAC sspspspsjsj1212nnKKKCDspspspsjsj1niiiKCDspsjsj 假设系统传递函数的极点为假设系统传递函数的极点为 且互不相等，且互不相等，则式可展开成部分分式：则式可展开成部分分式：(1,2,),ip in对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为：对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为：1( )inp tj tj tiic tK eCeDe7系统的稳态响

8、应为：系统的稳态响应为：( )j tj tssctCeDe()( )()()()2sjAGjACG ssjsjsjj ()2GjADj()()()jGjGjGje()()()jGjGjGje ()()( )()()22j G jj tj G jj tssAActG jeeG jeejj ()()()2jtGjjtGjAGjeej()sin()G jAtG jsin()Bt8( )()sin()sin()c tG jAtG jBt()BG jAIm ()( )()arctanRe ()G jG jG j 式中，式中，()G j( )()G j 对于线性系统而言，当输入某一频率的正弦信号，经过充分

9、对于线性系统而言，当输入某一频率的正弦信号，经过充分长的时间后，系统的稳态输出仍是同频率的正弦波，而且稳态输长的时间后，系统的稳态输出仍是同频率的正弦波，而且稳态输出与输入的正弦幅值之比，以及稳态输出与输入的相位差是完全出与输入的正弦幅值之比，以及稳态输出与输入的相位差是完全确定的。输出信号的振幅确定的。输出信号的振幅B B是输入信号振幅是输入信号振幅A A的的 倍；输出信倍；输出信号相对输入信号的相移为号相对输入信号的相移为 。()BG jA( )sinr tAt9RCTTssXsXsGi,11)()()(0系统输出为：系统输出为：0221( )1iAX sTss传递函数传递函数CRx0(t

10、)xi(t)sin()(tAtxii输输入入信信号号：)11(1)(22222220sTssTsTTAsXi)11(1)(2222220ssTsTsTTAsXi10)arctansin(11)(221220TtTAeTTAtxitTi即即：瞬态响应，衰减为瞬态响应，衰减为0 0 稳态响应稳态响应)cos()sin(11)(221220tTtTAeTTAtxitTi221sinTT令：令：2211cosT则：则：频率响应的特点频率响应的特点: 稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数，但幅值不同，相位不同：不同，相位不同：稳态输出的幅值为输入幅值的

11、一个相应的倍稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的倍数；相位比输入相位滞后一个角度数；相位比输入相位滞后一个角度。 11输入输入：稳态稳态输出：输出：( )cosr tAt( )() sin(/ 2)() sin/ 2()() cos()cos()c tA G jtA G jtA G jtBt 稳定的线性定常系统在余弦激励下的稳定的线性定常系统在余弦激励下的稳态稳态输出输出? ?() ,()BA G jG j ( )sin(/2)r tAt ( )sin+r tAt（）( )() sin(+ )sin(+)c tA G jtBt 输入输入：稳态稳态输出：输出：122 2、频率特性、频率特性 频率

12、特性是传递函数中的复变量频率特性是传递函数中的复变量 仅在虚轴上取值的特殊情仅在虚轴上取值的特殊情况况 。s(,0)sj 线性稳定系统在正弦信号作用下，线性稳定系统在正弦信号作用下，频率从零变化到无穷频率从零变化到无穷，稳态稳态输出与输入输出与输入的的幅值比、相位差随频率变化的特性幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。，称为频率特性。()()j G jG je( )( )UjV幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性频率特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性频率特性频率特性( )Re()UG j()Im()VG j22( )()( )( )AG jUV( )( )argtan( )VU

13、( )sin()()sin()c tBtG jAtG j( )sinr tAt()( )sjG jG s13 系统稳态正弦输出信号系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的与相应的正弦输人信号的幅幅值之比值之比随输入频率的变比而随输入频率的变比而变化的特性称为变化的特性称为幅频特性幅频特性，它描述了系统对输入信号幅它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。值的放大、衰减特性。 系统稳态正弦输出信号与系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相应的正弦输入信号的相位之相位之差差随输入频率的变化而变化的随输入频率的变化而变化的特性称为特性称为相频特性相频特性，它描述了，它描述了系统输出信号相位对

14、输入信号系统输出信号相位对输入信号相位的超前、迟后特性。相位的超前、迟后特性。幅频特性幅频特性相频特性相频特性txi(t)x0(t)()Ai A014 频率特性不只是对系统而言，其概念对元件、部件、控频率特性不只是对系统而言，其概念对元件、部件、控制装置等都适用。制装置等都适用。频率特性几点说频率特性几点说明明 虽然频率特性是在假定系统稳定的条件下导出的，但是虽然频率特性是在假定系统稳定的条件下导出的，但是频率特性的概念不只是适用于稳定系统，也适用于不稳定的系统，频率特性的概念不只是适用于稳定系统，也适用于不稳定的系统，只是不稳定系统的频率特性观察不到。只是不稳定系统的频率特性观察不到。 频率

15、特性和传递函数一样，只适用于线性定常系统。频率特性和传递函数一样，只适用于线性定常系统。 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。统动态过程的规律性也全寓

16、于其中。 15 应用频率特性分析系统性能的基本思路：应用频率特性分析系统性能的基本思路： 频率特性描述的是稳态正弦输入量和输出量之间的关系。但频率特性描述的是稳态正弦输入量和输出量之间的关系。但大多数控制系统的输入量不仅不是正弦函数，而且是非周期函数。大多数控制系统的输入量不仅不是正弦函数，而且是非周期函数。 施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱数。由于分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱数。由于线性系统满足比例性和叠加性，因此根据控制系统对于正弦谐波线性系统满足比例

17、性和叠加性，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。因而分析频率特性有更广泛的意义。信号作用下的运动情况。因而分析频率特性有更广泛的意义。 在经典控制理论范畴，频率分析较时域分析简单，特别在经典控制理论范畴，频率分析较时域分析简单，特别是对于高阶系统。是对于高阶系统。 频率特性的物理意义频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。同频率正弦输入的响应特性。16以以RC滤波网络为例：滤波网络为例：9004521101

18、0)()(TA221( )1AT( )arctg T 表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为出幅值衰减近似为0 0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。控制系统具有入。控制系统具有低通滤波器特性低通滤波器特性。1( )1G sTs （1 1）求微分方程的稳态解；）求微分方程的稳态解； （2 2）已知系统传递函数）已知系统传递函数G( (s) )，令，令s= =jw代入，即得

19、；代入，即得； （3 3）通过实验测得。）通过实验测得。17()1KG jjT解：221)()(TKjGA( )()arctanG jT 221)(TkU221)(TkTV对于正弦输入对于正弦输入r(t)=2sinr(t)=2sin2 2t t的频率响应为：的频率响应为：2( 2)1 4KG jT22( )sin(22 )14kc ttarctg TT(2)( 2)arctan2G jT ( )( )2sin(2 )1kG sr ttTs例：求一阶系统的频率特性及在输入作用下的频率响应。222211kkTjTT( )sinr tAt( )()sin()c tG jAtG j 18 解解： 求频

20、率特性求频率特性30()(1)(3)G jjjj0( )5sin( 345 )ix tt)3)(1(30)(ssssG例：已知系统的传递函数，求系统的稳态输出。例：已知系统的传递函数，求系统的稳态输出。33010( )2.543 1393A00003( )906030180 求稳态输出求稳态输出0000( )5 2.5sin( 345180 )12.5sin( 3135 )x ttt194 4、频率特性的表示方法、频率特性的表示方法p 解析法：解析法：G(j) 幅频特性：幅频特性：A() = B/A = | G(j) | 相频特性：相频特性： () = G(j)p 图示法：图示法： 极坐标图或

21、称极坐标图或称NyquistNyquist图；图； 对数坐标图或称对数坐标图或称BodeBode图；图； 对数幅对数幅- -相图或称相图或称NicholsNichols图。图。20作业：作业：教材教材P149-150 4-3、4-4 控制工程基础控制工程基础实验安排实验安排时间安排时间安排： B130307-08班：第班：第12周、周三周、周三 上午上午 8:00开始开始 B130309-10班：第班：第11周、周五周、周五 下午下午 1:30开始开始 B130311班：第班：第13周、周五周、周五 下午下午 1:30开始开始 地地 点点：西区西区 实验楼实验楼C-309 指导老师指导老师：刘

22、老师刘老师实验内容实验内容： 实验一实验一： 控制系统典型环节的模拟控制系统典型环节的模拟 实验二实验二： 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 实验三实验三： 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应实验要求：1 1、按时去做实验。、按时去做实验。( (实验指导书一人一份实验指导书一人一份）2 2、遵守实验室的相关规章制度。、遵守实验室的相关规章制度。 注：要填写实验记录本注：要填写实验记录本3 3、服从实验指导老师的相关要求。、服从实验指导老师的相关要求。 注：安静，保持卫生注：安静，保持卫生！4 4、按照实验指导书的相关要求完成实验操作。、按照实验指导书的相关要求完成实验操作。5 5、实验完

23、成后，把相关实验仪器、实验完成后，把相关实验仪器放原位放原位。6 6、按时上交实验报告、按时上交实验报告（送给实验指导老师送给实验指导老师）。注：旷课或实验报告未交者实验成绩按零分处理。注：旷课或实验报告未交者实验成绩按零分处理。234.1 4.1 频率特性频率特性1 1、频率响应、频率响应频率响应频率响应: : 系统对正弦信号的系统对正弦信号的稳态稳态响应。响应。输入：输入：( )sinr tAt系统的传递函数：系统的传递函数：10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa22( )()()AAR sssjsj( )( ) ( )C s

24、G s R s11( ) ( ) ( ) ( )c tL C sL G s R s频率响应：频率响应：24( )()sin()sin()c tG jAtG jBt()BG jAIm ()( )()arctanRe ()G jG jG j 式中，式中，()G j( )()G j 对于线性系统而言，当输入某一频率的正弦信号，经过充分对于线性系统而言，当输入某一频率的正弦信号，经过充分长的时间后，系统的稳态输出仍是同频率的正弦波，而且稳态输长的时间后，系统的稳态输出仍是同频率的正弦波，而且稳态输出与输入的正弦幅值之比，以及稳态输出与输入的相位差是完全出与输入的正弦幅值之比，以及稳态输出与输入的相位差

25、是完全确定的。输出信号的振幅确定的。输出信号的振幅B B是输入信号振幅是输入信号振幅A A的的 倍；输出信倍；输出信号相对输入信号的相移为号相对输入信号的相移为 。()BG jA( )sinr tAt252 2、频率特性、频率特性 频率特性是传递函数中的复变量频率特性是传递函数中的复变量 仅在虚轴上取值的特殊情仅在虚轴上取值的特殊情况况 。s(,0)sj 线性稳定系统在正弦信号作用下，线性稳定系统在正弦信号作用下，频率从零变化到无穷频率从零变化到无穷，稳态稳态输出与输入输出与输入的的幅值比、相位差随频率变化的特性幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。，称为频率特性。()()j G jG

26、 je( )( )UjV幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性频率特性实频特性实频特性虚频特性虚频特性频率特性频率特性( )Re()UG j()Im()VG j22( )()( )( )AG jUV( )( )argtan( )VU ( )sin()()sin()c tBtG jAtG j( )sinr tAt()( )sjG jG s264-3 4-3 频率特性的对数坐标图（伯德图、频率特性的对数坐标图（伯德图、BodeBode图）图）1 1、对数坐标图、对数坐标图u对数幅频特性图对数幅频特性图 横坐标横坐标: :以以lglg分度分度 单位单位radrad/ /s s,Hz,Hz 纵坐标纵

27、坐标: :幅值幅值20lg20lgL L( () 单位单位分贝分贝(dB)(dB) 20lg20lgLLG ju对数相频特性图对数相频特性图 横坐标横坐标: :与对数幅频特性图相同与对数幅频特性图相同 纵坐标纵坐标: :频率特性的频率特性的相位角相位角( () )，单位为，单位为度度()()( )()j G jsjG jG sG je27 w w=0=0不能在横坐标上表示出来，表示的最低频率由所感不能在横坐标上表示出来，表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。兴趣的频率范围确定。 只标注只标注w w的真值，通常采用的真值，通常采用频率比频率比的概念。的概念。 用用L L( (w w) )简记对

28、数幅频特性；用简记对数幅频特性；用 ( (w w) )简记对数相频特性。简记对数相频特性。 关于关于 BodeBode图的说明图的说明BodeBode图的优点：图的优点： 幅频特性的幅频特性的乘除乘除运算转变为运算转变为加减加减运算。运算。 对数坐标对数坐标拓宽拓宽了图形所能表示的频率范围；突出了低频了图形所能表示的频率范围；突出了低频特性。特性。 便于便于用实验方法用实验方法估计估计被测系统的传递函数。被测系统的传递函数。 对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐对系统作近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐进线，大大进线，大大简化简化了图形的绘制。了图形的绘制。 两个系统或环节的

29、频率特性互为两个系统或环节的频率特性互为倒数倒数时，其对数幅频特时，其对数幅频特性曲线关于性曲线关于零分贝线零分贝线对称，相频特性曲线关于对称，相频特性曲线关于零度线零度线对称。对称。28(b)75364211倍 频 程1倍 频 程110倍 频 程(a)10倍 频 程1倍 频 程248610p1p210倍 频 程401倍 频 程208060100p3292 2、各种典型环节的伯德图、各种典型环节的伯德图 当改变传递函数的当改变传递函数的K值值时，会导致传递函数的对数幅频曲线时，会导致传递函数的对数幅频曲线升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。升高或降低一个相应的常值，但不影响相位角。 （1

30、 1）比例环节）比例环节对数相频特性：对数相频特性：对数幅频特性：对数幅频特性：()0 ( )AK相频特性：相频特性：幅频特性：幅频特性：0()jG jKKe频率特性：频率特性：( )G sK()0 ()20lgLK30（2 2）积分环节）积分环节 积分环节积分环节对数幅频图为通过对数幅频图为通过（1,0）、斜率为、斜率为20dB/dec的的一条直线；对数相频图为等于一条直线；对数相频图为等于-90o的一条直线。的一条直线。 ( )90 对数相频特性对数相频特性( )20lgL 对数幅频特性对数幅频特性( )90 相频特性相频特性1( )A幅频特性幅频特性1()G jj频率特性频率特性1( )

31、G ss31(3(3）微分环节）微分环节 微分环节微分环节的对数幅频图通过（的对数幅频图通过（1,01,0）、斜率为）、斜率为20dB/dec20dB/dec的一的一条直线；对数相频图为等于条直线；对数相频图为等于9090o o的一条直线。的一条直线。 ( )90 ( )20lgL( )90 ( )A()G jj( )G ss对数相频特性对数相频特性对数幅频特性对数幅频特性相频特性相频特性幅频特性幅频特性频率特性频率特性32注意：积分环节注意：积分环节和和微分环节微分环节的的频率特性互为频率特性互为倒数倒数，其对数幅频，其对数幅频特性曲线关于特性曲线关于零分贝零分贝线对称，相频特性曲线关于线对

32、称，相频特性曲线关于零度线零度线对称。对称。33(4(4）一阶惯性环节）一阶惯性环节 1( )1G sTs1()1G jj T221( )1AT( )arctanT 1( )tan ()T 1lg20)(22TL幅频特性幅频特性频率特性频率特性相频特性相频特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性341lg20)(22TL对数幅频特性对数幅频特性 转角频率转角频率1()TdBL03. 3)(称为称为低频渐近线低频渐近线，低频段近似为，低频段近似为0dB0dB的水平线。的水平线。)10(T01lg20)(22TL1T当时，1T当时，()20lg20lg20lgLTT 1()T 称为称为

33、高频渐近线高频渐近线，其斜率近似为，其斜率近似为-20dB/dec 的直线。的直线。1TT低频线与高频线的交点（低频线与高频线的交点（1/T1/T，0 0）最大误差最大误差351( )tan ()T 1lg20)(22TL对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性090 ()00090450)(0T1TLlg200)(T/ 1T/ 136波德图误差分析波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当当 时，误差为：时，误差为：T22120lg 1 T 当当 时，误差为：时，误差为：T22220lg 120lgTT 最大误差发生在最大误差发生在 处，

34、为处，为1TT22max020lg 13.03()TdBT0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.0437相频特性：相频特性： 1( )tanT 作图时先用计算器计算几个特殊点：作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当2)(;4)1(1; 0) 0(0TT由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( T, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特

35、点。当时间常数点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0 -0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.0102050100 -63.4-71.5-76-78.7

36、-81.9-84.3-87.1-88.9-89.438（5 5）一阶微分环节）一阶微分环节低频段低频段( 1/T)()20 lg()20 lg20 lgLTT01lg20)(L幅频特性幅频特性频率特性频率特性相频特性相频特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性( )1G sTs22arctan()11jTG jj TT e 22( )1AT( )arctan T 1( )()tgT 22( )20lg1LT090对数相频特性对数相频特性39 一阶微分环节与一阶惯性环节的频率特性互为倒数，根据一阶微分环节与一阶惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与一阶惯

37、性环节的对数对数频率特性图的特点，一阶微分环节与一阶惯性环节的对数幅频特性曲线关于幅频特性曲线关于0dB0dB 线对称，相频特性曲线关于线对称，相频特性曲线关于零度线零度线对称对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。描述。40（6 6）振荡环节）振荡环节 22 2221( )212nnnG sT sTsss频率特性频率特性22221()21 ()2nnnnnG jjj 幅频特性：幅频特性：2221( )1 ()2nnA相频特性：相频特性：22( )arctan1nn 41高频段高频段（ n）对数幅频特性：对数幅频特性

38、：222( )20lg12nnL 低频段低频段（ n）( )20lg10L 2( )20lg40lg40lg40lgnnnL 1TnT渐近线交点频率（转角频率）渐近线交点频率（转角频率）42q 对数相频特性对数相频特性222( )1TarctgT ：)(000T10900180q 对数幅频特性对数幅频特性n0( )40lg40lgLT（）nnTn122( )arctan1nn 43110010110210T020)(L204060q 对数幅频特性的实际对数幅频特性的实际BodeBode图图decdB /4022222)1 (lg20)( TTL时时，当当T1）（2lg20)(L5 . 01 .

39、0)(L142 .083 .05 .07 .04 .409 .2165 . 0 TLlg400)(渐渐1T 1T -180-135-90-4500.1110/n() / (deg) = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.7 = 1.0-40-30-20-1001020L()/ (dB)-40dB/dec = 0.1 = 0.2 = 0.3 = 0.7 = 1.0渐近线Bode Diagram转折频率转折频率 = 0.5 = 0.5nT1越大曲线越平坦45 振荡环节在不同振荡环节在不同值时的修正曲线值时的修正曲线 -8-40481216200.1110 = 0.05 = 0.10 = 0.

40、15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.35 = 0.40 = 0.80 = 0.90 = 1.00 = 0.50 = 0.60 = 0.707/nError (dB) 由图可见，当由图可见，当 较小时，较小时，由于在由于在 = n 附近存在谐附近存在谐振，幅频特性渐近线与实振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，际特性存在较大的误差， 越小，误差越大。越小，误差越大。 当当0.38 0.7时，误差时，误差不超过不超过3dB3dB。因此，在此。因此，在此 范围内，可直接使用渐近范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对围之外，应

41、使用准确的对数幅频曲线。数幅频曲线。 准确对数幅频曲线可在渐近线的基础上通过误差曲线修正获得或直接计算。准确对数幅频曲线可在渐近线的基础上通过误差曲线修正获得或直接计算。46低频段低频段( 1/T)22( )20lg()40lg40lg40lgLTT01lg20)(L（7 7）二阶微分环节）二阶微分环节22( )21(01)G sT sTs，22()12G jTj T 2222( )12ATT 222( )arctan1TT 2222( )20lg12LTT 222( )arctan1TT 幅频特性幅频特性频率特性频率特性相频特性相频特性对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性4748

42、（8 8）延迟环节）延迟环节 幅频特性：幅频特性：频率特性：频率特性：相频特性：相频特性：( )sG se()jG je( )1A对数幅频特性对数幅频特性：( )0L( )()57.3( )rad 49504-3 4-3 频率特性的对数坐标图（伯德图、频率特性的对数坐标图（伯德图、BodeBode图）图）1 1、对数坐标图、对数坐标图u对数幅频特性图对数幅频特性图 横坐标横坐标: :以以lglg分度分度 单位单位radrad/ /s s,Hz,Hz 纵坐标纵坐标: :幅值幅值20lg20lgL L( () 单位单位分贝分贝(dB)(dB) 20lg20lgLLG ju对数相频特性图对数相频特性

43、图 横坐标横坐标: :与对数幅频特性图相同与对数幅频特性图相同 纵坐标纵坐标: :频率特性的频率特性的相位角相位角( () )，单位为，单位为度度()()( )()j G jsjG jG sG je51q 比例环节和积分环节的频率特性；比例环节和积分环节的频率特性；q 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性低频、高频渐进线，斜率低频、高频渐进线，斜率-20-20，转，转折频率折频率 ；q 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性波德图：低频、高频渐进线，斜率波德图：低频、高频渐进线，斜率-40-40，转折频率，转折频率 ；q 微分环节的频率特性微分环节的频率特性有三种形式：纯微分、一阶微分和有三种形

44、式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节；二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节；q 延迟环节的频率特性。延迟环节的频率特性。1TT1=TnT典型环节的伯德图典型环节的伯德图52（8 8）延迟环节）延迟环节 幅频特性：幅频特性：频率特性：频率特性：相频特性：相频特性：( )sG se()jG je( )1A对数幅频特性对数幅频特性：( )0L( )()57.3( )rad 53典型环节典型环节BodeBode图的特性图的特性54 由于总传递函数对数幅值等于组成的各典型环节的对数幅由于总传递函数对数幅值等于组成的各典型环节的对数幅值之和；相位等于各典型环节的相位之和。

45、因此，总传递函数值之和；相位等于各典型环节的相位之和。因此，总传递函数对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联典型环节对数幅值曲线对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联典型环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。和相位曲线叠加而成。 典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或折典型环节的对数渐近幅频对数曲线为不同斜率的直线或折线，故叠加后的渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的线，故叠加后的渐近幅频特性曲线仍为不同斜率的线段组成的折线。折线。 因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定因此，需要首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，就可线段

46、转折频率（交接频率）以及转折后线段斜率的变化，就可绘制出由低频到高频的对数渐近幅频特性曲线。绘制出由低频到高频的对数渐近幅频特性曲线。3. 3. 绘制系统的伯德图绘制系统的伯德图55 绘制系统伯德图的一般步骤：绘制系统伯德图的一般步骤： 1）将传递函数化成）将传递函数化成标准典型环节标准典型环节串联形式，串联形式，即将常数项化为即将常数项化为1。221111221111(1)(1)(21)( )(1)(1)(21)ppppqqqqKssssG ssTsT sTsTs 2 2）选定）选定BodeBode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率

47、的低转折频率的1/101/10左右，而最高频率为最高转折频率的左右，而最高频率为最高转折频率的1010倍左右倍左右；确定坐标比例尺；确定各环节的转折频率，；确定坐标比例尺；确定各环节的转折频率，并将并将转折频率由低转折频率由低到高依次标注到对数坐标纸到高依次标注到对数坐标纸上上。 3）计算计算20lgK，在在w1rad/s处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于20lgK的点的点，过，过该点作斜率等于该点作斜率等于 -20dB/dec的直线（积分环节），向左延长此线至的直线（积分环节），向左延长此线至所有环节的所有环节的转折频率之左转折频率之左，得到最低频段的渐近线。，得到最低频段的渐近线。( )20

48、lg20lgLK 在低频段对数幅频特性在低频段对数幅频特性56 4 4）向右延长最低频段渐近线，）向右延长最低频段渐近线，改变一次斜改变一次斜率。率。 惯性环节，斜率下降惯性环节，斜率下降20dB/dec;20dB/dec; 振荡环节，振荡环节，斜率斜率下降下降40dB/dec;40dB/dec; 一阶微分环节，一阶微分环节，斜率斜率上升上升20dB/dec20dB/dec； 二阶微分环节，二阶微分环节，斜率斜率上升上升40dB/dec40dB/dec。 5 5）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！注意：对数幅频特性

49、曲线上要标明斜率！572112( )arctan()arctan1 ()pmiiii pi 2112arctan()arctan21 ()qniiii qiTTT 6 6）在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特）在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向叠加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出 ( ( ) )的表达式，逐的表达式，逐点描绘。点描绘。58例：绘制传递函数为例：绘制传递函数为 的系统的伯德图。的系统的伯德图。 )10

50、1)(1 ()(ssKsG解：系统开环对数幅频特性和相频特性分别为解：系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 12322( )( )( )( )20lg20lg 120lg 1 100LLLLK123( )( )( )( )arctanarctan10 L()/dBL1()20lgK0.120dB/dec1L3()0dB20dB40dBL2()L()40dB/dec1()2()3()()()/()04590135180102101100101102 零型系统开环对数幅频特性的低频段为零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线的水平线, , 随着随着 的增加的增加, , 每遇到一个转折频

51、率每遇到一个转折频率, , 对数幅频特性就改变一次斜率。对数幅频特性就改变一次斜率。 )101)(1 ()(ssKsG60例：例：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线试绘制以下传递函数的对数幅频曲线)2)(2()3(10)(2ssssssG解：转折频率由小到大分别为解：转折频率由小到大分别为: :3, 2,2321最低频段的对数幅频特性可近似为最低频段的对数幅频特性可近似为：( )20lg20lg20lg(7.5)20lgLK61123220lg7.5( )/LdB1/rad s0-60-20-80-60215( /3 1)( )2( /2 1)(/2/2 1)sG ss sss6202040-2

52、0-400.1110L0.52.0841)(j1)21 (j)5 . 01 (j12)125. 0(05. 01 jj-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec24 10.5()1210.05( 0.125 )jG jjjjj例：例：63090-90-1800.1110Angle 0.52.0841)(j1)21 (j)5 . 01 (j12)125. 0(05. 01 jj-27024 10.5()1210.05( 0.125 )jG jjjjj64例：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线例：试绘制以下传递函数的对数幅频曲线) 105. 0)(1() 110()(s

53、ssssG解：转折频率由小到大分别为解：转折频率由小到大分别为: :20, 1, 1 . 0321增益增益K=1=1，含，含1 1个积分环个积分环节节 , , 低 频 段 渐 近 线 是 过低 频 段 渐 近 线 是 过(1,0)(1,0)点，斜率为点，斜率为-20-20的直的直线线()20lg20lgLK-20-20-40202010.1065作业：作业：教材教材P150 4-8（1）、（4）664.4 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数由频率特性曲线求系统传递函数（一）基本思路（一）基本思路 根据根据Bode图的渐近线确定转折频率及各典型环节，得到系图的渐近线确定转折频率及各典型环节，得

54、到系统的传递函数。统的传递函数。待待测测系统系统tAtxjiisin)(的的取取值值：j在感兴趣的频率范在感兴趣的频率范围内取不同的频率。围内取不同的频率。)(0tx显示器显示器记录仪记录仪绘图仪绘图仪幅频幅频相频相频幅值比幅值比相位差相位差绘绘图图（二）由（二）由Bode图求系统的传递函数的步骤图求系统的传递函数的步骤q 确定对数幅频特性的渐近线。确定对数幅频特性的渐近线。 用斜率为用斜率为0dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直线逼近实验曲的直线逼近实验曲线。线。)(L11001011021031020406080decdB /200decdB /20decdB /40dec

55、dB /6012342. 根据低频段渐近线的斜率，确定系统包含的积分环节的个数。根据低频段渐近线的斜率，确定系统包含的积分环节的个数。 )(L400201 . 012020型型020型型I40型型II203. 确定系统增益确定系统增益注意到系统低频段渐近线可近似为：注意到系统低频段渐近线可近似为：( )20lg20 lgLK 不管是一阶环节或者是二阶环节，其低频渐近线都为不管是一阶环节或者是二阶环节，其低频渐近线都为0 0分贝，分贝，故：低频渐近线的斜率完全由积分环节来确定，而其位置（在幅故：低频渐近线的斜率完全由积分环节来确定，而其位置（在幅频特性图的上下位置）则由增益决定。频特性图的上下位

56、置）则由增益决定。110010110210020)(L20404040120Klg20( )20lg20 lgLK110010110210020)(L20404040120Klg20220lgK（1）0型系统（型系统（ ）070lg20lg20)(KL（2）I 型系统型系统1kL，则则：若若：0)(110010110210020)(L2040404012024020kKlg20371lg220lg20)(KL（3）II 型系统型系统2kkL，即即，则则：若若：20)(110010110210020)(L20604040124020k725. 获得系统的频率特性函数或传递函数。获得系统的频率特性

57、函数或传递函数。6. 根据实验测得的相频特性曲线校验获得的传递函数。根据实验测得的相频特性曲线校验获得的传递函数。4. 根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。根据渐近线转折频率处斜率的变化，确定对应的环节。若若 =1时，时，斜率变化斜率变化20dB/dec，则对应环节为：则对应环节为：111s若若 = 2时，时，斜率变化斜率变化 40dB/dec，则对应环节为：则对应环节为：1222212ss 若为最小相位系统，两相频特性应大致相符，并且在很低若为最小相位系统，两相频特性应大致相符，并且在很低和很高频段上严格相符。和很高频段上严格相符。 二阶环节的二阶环节的阻尼比阻尼比 根据实根据实

58、验曲线在转折频验曲线在转折频率处的峰值与率处的峰值与 的的关系确定。关系确定。73例：例：已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求已知最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图所示。求系统的传递函数。系统的传递函数。-200-20-40200.1120 (rad/s)L()解：解：系统低频段斜率为系统低频段斜率为20dB/dec，I型系统。型系统。注意到积分环节的延长线交注意到积分环节的延长线交(1，0)点，故点，故k =1。 在在1= 0.1处，渐近线变为水平线，故处，渐近线变为水平线，故1对应的应是一对应的应是一阶微分环节的转折频率。阶微分环节的转折频率。11 .0s对对应应的的传传

59、递递函函数数为为：74 此外，系统存在另二个转折频率：此外，系统存在另二个转折频率：1和和20rad/s。对应的对应的典型环节分别为：典型环节分别为：120/1,11ss综上所述，系统传递函数为：综上所述，系统传递函数为：) 105. 0)(1(110120/111111 . 0)( ssssssssKsG-200-20-40200.1120 (rad/s)L()75例：根据对数幅频特性，求系统的传递函数。例：根据对数幅频特性，求系统的传递函数。)(L0601 . 012040405 . 24076) 110() 14 . 0(100)(2ssssG例：根据对数幅频特性，求系统的传递函数。例：

60、根据对数幅频特性，求系统的传递函数。)(L0601 . 012040405 . 24077例：某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，求此例：某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，求此系统的开环传递函数。系统的开环传递函数。30, 6 .61lg20lg20)(KKL30(41)(401)(0.21)(0.11)( )sKssssGs78作业：作业：教材教材P150 4-6（a）、（e）79 也称也称乃奎斯特图乃奎斯特图或或幅相频率特性图幅相频率特性图，是当，是当 从零变化至无从零变化至无穷大时，在极坐标上表示频率特性的穷大时，在极坐标上表示频率特性的幅值幅值与与相位角相位角的关