保险精算第4章1人寿保险的精算现值

1、第四章第四章人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值(趸缴纯保费厘定) 人寿保险简介什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。寿险产品介绍寿险产品介绍传统个人寿险和年金产品传统个人寿险和年金产品1投资类保险产品投资类保险产品2附加保险附加保险3团体保险团体保险4传统寿险和年金产品传统寿险和年金产品人身险定期寿险意外险终身寿险两全保险健康保险生存年金投资类保险产品投资类保险产品 常见附加险产品疾病保险医疗

2、费用住院津贴收入补偿收入补偿意外险意外险Cycle name主险附加产品主险附加产品团体保险概念团体：团体：5人以上人以上用一张保单用一张保单对一团体的人提供保障对一团体的人提供保障同一险种同一险种团体保险特点团体保险特点 精算方法不同费率不同管理方式和费用不同团险种类团险种类团体年金团体年金团体意外险团体意外险团体寿险团体寿险团体健康险团体健康险人寿保险的性质保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，

3、它依赖于被保险人剩余寿命分布。被保障人群的大数性这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。一、保费缴纳的形式趸缴保费 一次性缴清的保费。均衡保费 分期缴纳的保费。二、纯保费只考虑死亡给付，不考虑费用的保费。三、保险金特点1、支付的数量是确定的，但给付的时间不能确定；2、保险金的给付是在将来，签单时在现在；3、保险金的两种给付：死亡立即给付；死亡年末给付。四、常见的险种1、定期寿险2、终身寿险3、两全保险4、生存保险（以生存为给付条件）5、递增型寿险6、递减型寿险五、计算原理原则保费净均衡原则趸缴纯保费=未来给付在签单时的期望值 =（死亡给付的精算现值）解释所谓

4、净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 趸缴纯保费的厘定假定条件:假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。第四章第四章 人寿保险的精算现值人寿保险的精算现值4.1 死亡即付的人寿保险死亡即付的人寿保险4.2 死亡年末给付的人寿保险死亡年末给付的人寿保险4.3 死亡即付与死亡年末付人寿保险死亡即付与死亡年末付人寿保险的精算现值的关系的精算现值的关

5、系4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保递增型人寿保险与递减型人寿保险险精算现值的概念精算现值的概念精算现值即精算现值即趸缴纯保费趸缴纯保费， 未来保险金给付在签单时的现值，即一次未来保险金给付在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费，它是以预定利率和预定死性缴清的纯保费，它是以预定利率和预定死亡率为基础计算的。亡率为基础计算的。4.1 死亡即付的人寿保险死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付的含义指如果被保险人在保障期内发生指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内保险责任范围内的死亡的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公刻给

6、予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。司通常采用的理赔方式。由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。基本符号 投保年龄。投保年龄。 保险金给付函数。保险金给付函数。 贴现函数。贴现函数。 从签单到死亡的时间长度。从签单到死亡的时间长度。 未来给付保险金在保单生效时的现值。未来给付保险金在保单生效时的现值。)(xtbtvtztttvbzt精算现值计算精算现值计算考虑到死亡即付的保险金在余命考虑到死亡即付的保险金在余命 未来保险金在签单时的现值为未来保险金在签单时的现值为 ：未来

7、保险金给付在签单时的精算现值。：未来保险金给付在签单时的精算现值。 净均衡原则，即保费收入的期望现值正好等于将净均衡原则，即保费收入的期望现值正好等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实质是来的保险赔付金的期望现值。它的实质是在统计意义在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现值等于上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现值等于支出期望现值支出期望现值 。)(xTTTTvbZ )(TZE这一时刻给付，这一时刻给付，主要险种的精算现值（趸缴纯保费）主要险种的精算现值（趸缴纯保费） n年期定期寿险年期定期寿险 终身寿险终身寿险 延期寿险延期寿险 延期延期m年的终身寿险年的终身寿险/延期延期m

8、年的年的n年定期寿险年定期寿险 n年期生存保险年期生存保险 n年期两全保险年期两全保险定义定义保险人只对被保险人在投保后的保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年年期死亡保险。期死亡保险。假定假定: : (x x) 投保投保n年定期寿险，保险金额年定期寿险，保险金额1元。元。基本函数关系基本函数关系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn4.1.2 n年定期寿险的精算现值年定期寿险的精算现值签单时保险金给付现值随机变量为签单时保险金给付现值随机变量为

9、设设 的概率密度函数为的概率密度函数为 ，则，则 表示表示n年期死亡保险的精算现值。年期死亡保险的精算现值。TTvbZ nTnTvT, 0,T)(ZE)(tfTnTtdttfv0)(1:nxA ev方差公式：方差公式：记为记为（相当于利息力翻倍以后求（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）年期寿险的趸缴保费）所以方差为所以方差为 )(ZVar22)()(ZEZE21|:2)()(nxAZEnTtdttfzZE022)()(nTtnTtdttfedttfv0202)()()(ZVar例例1 设生存函数为设生存函数为 ，计算（保险金额为，计算（保险金额为1元）元）（1）趸缴纯保费）趸缴纯保费

10、解：解：)1000(1001)(xxxs1 . 0i1|10:30A)()2(ZVar，年利率，年利率)()()(xstxstfT10011001xx100130 x题中701)(tfT) 1 . 01ln( 又有1001|10:30)( dttfeATt100100) 1 . 1 (1 . 1ln1701) 1 . 1 (701ttdt099092. 01|10:302A1002)( dttfeTt1002) 1 . 1 (1 . 1ln21701t803063. 0)(ZVar21|10:301|10:302)(AA321055. 04.1.3 终身寿险的趸缴纯保费终身寿险的趸缴纯保费定义

11、定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：假定：(x x)投保终身寿险，保险金额投保终身寿险，保险金额1元。元。基本函数关系基本函数关系 , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbtTTvbZ 0tvT 表示终身寿险的趸缴纯保费。表示终身寿险的趸缴纯保费。方差为方差为xA)(ZExA0)( dttfzTt0dtpvtxxtt0dtpetxxtt)(ZVar例例2设设 (x x)要投保终身寿险，保险金额要投保终身寿险，保险金额1元，签单时其未元，签单时其未来

12、寿命来寿命利息强度为利息强度为 变量为变量为T其他，0600601)(ttfT)0(ZxA) 1 (，在签单时的保险金给付现值随机，在签单时的保险金给付现值随机，试计算：，试计算：的概率密度函数为的概率密度函数为)()2(ZVar.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的满足ZP例例2答案答案解：解：0)( dttfzTt0,60160e)() 1 (ZEAx)()2(ZVar600601dtet0,6011201260120 ee例例2答案答案解：解：)(hTP即.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的满足ZP)(9 . 0ZP)(9 . 0TvP)lnln(9 . 0vTP)lnln

13、(9 . 0vTPvhlnln9 . 0令hTdttf)(60601hdt)60(601h9 . 06hvln6ln9 . 0有669 . 0ev运用中心极限定理，运用中心极限定理，根据风险业务量来确定保险公司的最初投资的基金。根据风险业务量来确定保险公司的最初投资的基金。例例3 假设有假设有100个相互独立的年龄为个相互独立的年龄为x x岁的被保险人都岁的被保险人都投保了保险金额投保了保险金额10元的终身寿险，随机变量元的终身寿险，随机变量T的概率密的概率密度是度是保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项基金中按利息强度基金中按利息强度 试

14、计算这项基金在最初（试计算这项基金在最初（t t =0）时的数额至少为多少）时的数额至少为多少时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到死亡给付的概率达到95%？)0,04. 0()(tetftT06. 0计息支付。计息支付。4.1.4 延期寿险的趸缴纯保费延期寿险的趸缴纯保费 例如，例如， 一个一个26岁的人考虑用保险金支付他退休之后死亡时岁的人考虑用保险金支付他退休之后死亡时 的丧葬费用，于是，他投保了一份延期的丧葬费用，于是，他投保了一份延期34年的终身年的终身 寿险。如果人在退休前死亡，他工作期间的丰厚收寿险。如果人在

15、退休前死亡，他工作期间的丰厚收 入会解决其丧葬费用，如果在退休之后死亡，则保入会解决其丧葬费用，如果在退休之后死亡，则保 险公司会为他的一个很体面的葬礼支付保险金。这险公司会为他的一个很体面的葬礼支付保险金。这 就是一份终身寿险，但延期了就是一份终身寿险，但延期了34年。年。定义定义保险人对被保险人在投保保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。范围内的死亡均给付保险金的险种。假定假定: (x x)投保延期投保延期m年的终身寿险，保险金额年的终身寿险，保险金额1元。元。 基本函数关系基本函数关系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttt

16、tvvtvtmzbvtmbtmtm延期延期m年的终身寿险年的终身寿险签单时保险金给付现值随机变量为签单时保险金给付现值随机变量为 表示延期表示延期m年的终身寿险的精算现值。年的终身寿险的精算现值。 TTvbZ mTvmTT,0 xmA |tmxTmAv ft dt tTmeft dt延期延期m年的年的n年定期寿险年定期寿险若若(x x)投保延期投保延期m年的年的n年定期寿险，保险金额年定期寿险，保险金额1元。元。 表示其趸缴纯保费，表示其趸缴纯保费，m nttxx tmepdt00m nmtttxx ttxx tepdtepdt()为常数时1|nxmA：1|:|nxmA1|1|mxnmxAA：

17、例例4(x x)投保延期投保延期10年的终身寿险，保险金额年的终身寿险，保险金额1元，保险金元，保险金在死亡时立即给付，在死亡时立即给付，Z表示签单时死亡给付的现值随机表示签单时死亡给付的现值随机变量，已知利息强度变量，已知利息强度试求：试求：解：解：。0,)(,06. 004. 0 xexsxxA|10) 1 ()()2(ZVar。中位数5 . 0)3()() 1 (tfT)()(xstxsxtxeedtd04. 0)(04. 0 xtxee04. 0)(04. 004. 0te04. 004. 0例例4答案答案0104. 004. 0dteett01)( dttfvTtxA|10)()2(ZVar求xA2|1004. 004. 0)04. 0(10e14 . 0e102)( dttfeTt04. 0204. 0)04. 02(10e6 . 125. 0e)(ZVar2|102|10)(xxAA 26 . 116. 025. 0ee例例