利用导数研究函数的零点

1、利用导数研究函数的零点（求导求出极值，画出函数的草图分析）1.已知曲线C：，直线（1）若直线与曲线C有唯一一个交点，求的取值范围；（或）（2）若直线与曲线C有两个不同的交点，求的取值范围；（或）（3）若直线与曲线C有三个不同的交点，求的取值范围.（）解：令得或当时，；当或时，.所以在为减函数，在，为增函数. 当时，取得极大值；当时，取得极大值；（1）当或时，直线与曲线C有唯一一个交点；（2）当或时，直线与曲线C有两个不同的交点；（3）当时，直线与曲线C有三个不同的交点.2.已知函数（1）函数的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（-3,1）解: (1)f

2、(x)3x23a3(x2a)，当a0，当a0时，由f(x)0，解得x.由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调增区间为(，)，(，)，单调减区间为(，)(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图象可知：实数m的取值范围是(3,1)3.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围.解

3、：(1)当a3时，函数f(x)-x3+2x，得f(x)x23x2(x1)(x2)所以当1x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1或x2时，f(x)0，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2)，单调递减区间为(，1)和(2，) .(2)设点P是函数yf(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率kf(t)t2at2，所以过点P的切线方程为y(t2at2)(xt)，因为点在该切线上，所以(t2at2)(0t)，即.若过点 可作函数yf(x)图象的三条不同切线，则函数g(t)有三个不同的零点即函数yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令g(t)2t2at0，解得t0或

4、t .因为g(0)0， 所以必须，即a2.所以实数a的取值范围为(2，)4.(2012江苏)若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点，已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.（1）求和的值；（）（2）设函数的导函数，求的极值点；（-2是1不是）（3）设，其中，求函数的零点的个数.（当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点）解： (1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x. 因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(

5、x)0；当2x0，故2是g(x)的极值点当2x1时，g(x)0，故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2当|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2.当|d|0，f(1)df(2)d2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)2，此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实根当x(1,2)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数又f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有唯一

6、实根同理，f(x)d在(2，1)内有唯一实根当x(1,1)时，f(x)0，f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,1)内有唯一实根由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；当|d|2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i3,4,5.现考虑函数yh(x)的零点(i)当|c|2时，f(t)c有两个根t1，t2满足|t1|1，|t2|2，而f(x)t1有三个不同的根，f(x)t2有两个不同的根，故yh(x)有5个零点(ii)当|c|2时，f(t)c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|2，i3,4,5，而f

7、(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根，故yh(x)有9个零点综上可知，当|c|2时，函数yh(x)有5个零点；当|c|0. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点. 当且仅当 解得0a0，并由x0，解得x1.令h(x)0，解得0x0且x1时，h(x)0，h(x)0在(0，)上只有一个解即当x0时，方程f(x)g(x)2有唯一

8、解7. 已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若方程在区间上有两个不等的实数解，求实数的取值范围.解:(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，F(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)的递增区间为，递减区间为.当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)a1，由g(x)0，得x3；由g(x)0，得1x3. g(x)在区间2,3上单调递减，在区间3,4上单调递增故f(x)x23xa0在区间内恰有两个相异实根即解得2ln 35a0，在上单调递增；当时, 1函数 的单调增区间为（3）=2x+lnx设过点（2，5）与曲线g (x)的切线的切点坐标为即 令h(x)=0h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-10，h(x)与x轴有两个交点过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线. 19、已知是函数的一个极值点。(1)求a