计算机数据库(经济会计类)讲方差分析随堂讲义

1、统计学10.1 方差分析引论方差分析引论 10.2 单因素方差分析单因素方差分析l解释方差分析的概念解释方差分析的概念l解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理l掌握单因素方差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用l理解多重比较的意义理解多重比较的意义l表面上看，是检验多个总体均值是否相等l 本质上，是研究变量之间的关系l2、分类型自变量 对 数值型因变量 的影响 l3、方差分析就是通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造家电制造业业12345675766494034

2、534468392945565131492134404451657758l问题：l 4个行业之间的服务质量是否有显著差异，l 即“行业X”对“投诉次数Y”是否有显著影响l2、检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等l3、结论：l（1）若均值相等，说明“行业”对“投诉次数”没有影响，即4个行业之间的服务质量没有显著差异；l（2）若均值不全相等，说明“行业”对“投诉次数”有影响，即它们之间的服务质量有显著差异。l因素或因子(factor)所要检验的对象l分析行业对投诉次数的影响，行业行业是要检验的因子l水平或处理(treatment)因子的不同表现l零售业、旅游业、航空公司、家电制造业l观察值在每个

3、因素水平下得到的样本数据l每个行业被投诉的次数l试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的试验l总体因素的每一个水平可以看作是一个总体l零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体l样本数据被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样本数据 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制家电制造业造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758水平或处理水平或处理因素或因子因素或因子单因素四水平单因素四水平观测值观测值数数据据不同行业被投诉次数的散点图不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行

4、业被投诉次数 零售业 旅游业 航空公司 家电制造l从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数有明显差异同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同l家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低l行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近l散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的l需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析1、2、l随机误差：随机误差： 抽样的随机性所造成的 2、系统误差：系统误差： 不同总体间的系统性因

5、素造成的1、组内误差：、组内误差： 来自水平内部的数据误差。 仅为随机误差。2、组间误差：组间误差： 来自不同水平之间的数据误差。 随机误差与系统误差的总和。B无差异无差异如果不同水平如果不同水平的均值间（的均值间（ ）则不同水平间就则不同水平间就 （ ）有系统误差）有系统误差B不会不会A会会A有差异有差异l数据的误差用平方和(sum of squares)表示lSSTl组内平方和(within groups)因素的同一水平下数据误差的平方和l组间平方和(between groups)因素的不同水平之间数据误差的平方和l数据的误差用平方和(sum of squares)表示l组内平方和(wit

6、hin groups)因素的同一水平下数据误差的平方和l比如，零售业被投诉次数的误差平方和只包含随机误差随机误差l组间平方和(between groups)因素的不同水平之间数据误差的平方和l比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和既包括随机误差随机误差，也包括系统误差系统误差总误差总误差（SST)组内误差组内误差（SSE）组间误差组间误差（SSA）随机误差随机误差随机误差随机误差+系统误差系统误差SSAMSASSEMSE组间均方（方差）对应的自由度组内均方（方差）对应的自由度如果如果4个行业被投诉次数之间不存在系统误差，则意味着每个样本都来自同一总体即H0 ： m1 = m2 = m3 =

7、m4l如果如果4个行业被投诉次数之间存在系统误差，则意味着4个行业的样本来自不同的总体l即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等至少有一个总体的均值是不同的l每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布l各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，4个行业被投诉次数的方差都相等l观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立22221111inkkkiiiiijiiixxSSAxxn xxn2221111iinnkkijiijiijijxxSSExx2(

8、 ,)ijxNm 2( ,)iixNnm2212211111ikiiinkijiijxxkSSAnMSAkSSEMSExxnkkl在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的4个正态总体的均值是否相等l如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的均值也会很接近4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造家电制造业业12345675766494034534468392945565131492134404451657758l设m m1为

9、零售业被投诉次数的均值，l m m2为旅游业被投诉次数的均值，l m m3为航空公司被投诉次数的均值，l m m4为家电制造业被投诉次数的均值，l 提出的假设为H0 ： m m1 m m2 m m3 m m4 H1 ： m m1 , m m2 , m m3 , m m4 不全相等不全相等1(1,)()SSAMSAkFF knkSSEMnknSEk为全部观察值的个数, 为因素水平 总体 的个数问题：问题：1、SSA、SSE如何计算如何计算 2、自由度如何确定、自由度如何确定n-k 的的 F 分布分布kiiikinjixxnxxSSAi12112kinjiijixxSSE112kinjiijixx

10、SSE112222222225747.876647.87+6847.8751 47.87+31 47.874047.87+4447.875847.87【】【】【】【】=4164.61SSAn的自由度为1=23-1=20n在此，kinjijixxSST112kinjiijixxSSE1122222222257496649+684851 48+31 354035+44595859【】【】【】【】=2708SSEnk的自由度为kinjiijixxSSE112=23-4=19nk在此，kinjiijixxSSE112kiiikinjixxnxxSSAi121121SSAk 的自由度为1=4 1=3k

11、在此，22224947.87*7+ 4847.87*6+ 3547.87*5+ 5947.87*5=14571(1,)SSAMSAkFF knkSSEMSEnk1457485.54 13.4072708142.5234MSAFMSE0.053,193.13F查 表 得0.0503.4073,19FH拒绝误差来源误差来源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值组间组间(因素影响因素影响)组内组内(误差误差)总和总和误差来源误差来源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值组间组间(因素影响因素影响)组内组内(误差误

12、差)总和总和第第1步：步：选择“工具工具 ”下拉菜单第第2步：步：选择【数据分析数据分析】选项第第3步：步：在分析工具中选择【单因素方差分析单因素方差分析】 ， 然后选择【确定确定】第第4步：步：当对话框出现时 在【输入区域输入区域 】方框内键入数据单元格区域 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【输出选项输出选项 】中选择输出区域l一般提法H0 ：m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ：m1 ，m2 ， ，mk不全相等自变量对因变量有显著影响 l注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 l构造统计量需要计算水平的均值全部

13、观察值的总均值误差平方和均方(MS) l假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数l计算公式为 ), 2 , 1(1kinxxinjijiixij i 第 j 个观察值l全部观察值的总和除以观察值的总个数l计算公式为 kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：l全部观察值 与总平均值 的离差平方和l反映全部观察值的离散状况l其计算公式为ijxxkinjijixxSST112l各组平均值 与总平均值 的离差平方和l反映各总体的样本均值之间的差异程度l该平方和既包括随机误差，也包括系统误差l计算公式为 kiii

14、kinjixxnxxSSAi12112), 2 , 1(kixixl每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和l反映每个样本各观察值的离散状况l该平方和反映的是随机误差的大小l计算公式为 kinjiijixxSSE112总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系kinjiijkiiikinjijiixxxxnxx11212112l各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方均方，也称为方差l由误差平方和除以相应的自由度求得l三个平方和对应的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中

15、n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE 的自由度为n-kl组间方差组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为1kSSAMSAknSSEMSE536232.48514608696.1456MSA前例计算结果：526316.1424232708MSE前例计算结果：l将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量Fl当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ), 1(knkFMSEMSAF406643. 3526316.142536232.485F前例计算结果 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进

16、行比较，作出对原假设H0的决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF ，则不拒绝原假设H0 ，无证据表明所检验的因素对观察值有显著影响 误差来源误差来源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值组间组间(因素影响因素影响)组内组内(误差误差)总和总和l拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有显著关系l组间平方和(SSA)度量了自变量(行业)对因变量(投诉次数)的影响效应只要组间平方和SSA不

17、等于0，就表明两个变量之间有关系(只是是否显著的问题) 当组间平方和比组内平方和(SSE)大，而且大到一定程度时，就意味着两个变量之间的关系显著，大得越多，表明它们之间的关系就越强。反之，就意味着两个变量之间的关系不显著，小得越多，表明它们之间的关系就越弱l变量间关系的强度用自变量平方和(SSA) 占总平方和(SST)的比例大小来反映l自变量平方和占总平方和的比例记为R2 ,即l其平方根R就可以用来测量两个变量之间的关系强度 )()(2总平方和组间平方和SSTSSAR R=0.591404结论结论行业(自变量)对投诉次数(因变量)的影响效应占总效应的34.9759%，而残差效应则占65.024

18、1%。即行业对投诉次数差异解释的比例达到近35%，而其他因素(残差变量)所解释的比例近为65%以上 R=0.591404，表明行业与投诉次数之间有中等以上的关系 %9759.34349759. 0608696.4146608696.14562SSTSSARl通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异l可采用Fisher提出的最小显著差异最小显著差异方法，简写为LSDlLSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的 l提出假设H0: mi=mj (第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1: mimj (第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)l计算检验的统计量: l计算LSDl决策：若 ，拒绝H0；若 ，不拒绝H0jixx jinn