第五章 因素模型

1、 1、掌握因素模型是根据收益生成过程通过回归分析建立的收益和风险关系的资产定价模型2、认识因素模型与资本资产定价模型的关系3、了解因素模型是实践中具有操作性的替代资本资产定价模型的测定风险和收益关系的模型 ： 掌握因素模型的生成性质及实际运用 第一节 单因素模型第二节资本资产定价模型与因素模型第三节 多因素模型 第一节第一节单因素模型单因素模型 一、系统风险与公司特有风险 二、单指数模型的估计v 威廉威廉. .夏普（夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了“单指数模型”，将“均值方差模型”予以简化。他认为马科维兹的投资组合分析中，方差协方差矩阵太过复杂不易计算，因此提出用对角线模式

2、来简化方差协方差矩阵中的非对角线元素。此模型假设证券间彼此无关且各证券的收益率仅与市场因素有关，这一因素可能是股票市场的指数、国民生产总值、物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因素。经由夏普的模型，任一股票收益率可由单一的外在指数来决定，这大大简化了马科维兹资产组合模型的分析工作。 o 随后，Sharpe又鉴于马科维兹“均值方差组合模型”及其早期提出“单指数模型”中方差与投资比例不呈线性关系，必须用二次规划法求解，求解程序复杂的问题，因而于1967年提出线性规划法，将马科维兹的组合模型以线性规划的方式求解。根据Sharpe进行的实证研究，当股票种类达20种以上时，投资组合的非系统风险逐渐趋于

3、零，此时风险只剩下了系统风险，从而只与市场因素的方差有关，投资组合的标准差逐渐成为一个线性函数，因此可用“线性规划法”迅速找出有效边界。一、系统风险与公司特有风险一、系统风险与公司特有风险 由第二章的内容可知，总风险系统风险非系统风险。其中： 1.系统风险系统风险是指整个市场所承受到的风险，如经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险，即每一证券的风险来源是一样的。由于市场风险与整个市场的波动相联系，因此，无论投资者如何分散投资资金都无法消除和避免这一部分风险。 2.非系统风险非系统风险是公司特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败等等，即每一证

4、券的风险来源是独立的。风险与整个市场的波动无关，投资者可以通过投资分散化来消除这部分风险。o 当所有的风险都是对特定公司有影响时，分散化就可以把风险降至任意低的水平。这是因为所有风险来源都是独立的，任何一种风险来源的暴露可以降低至可以忽略的水平。当共同的风险来源影响所有的公司时，即便是最充分的分散化亦不能消除风险。资产组合的标准差随着证券的增加而下降，但是它不能降至为零。o 因为投资者可以通过分散化投资降低以至于消除非系统风险，所以持有风险分散化投资组合的投资者比起不进行风险分散化的投资者，可以要求相对较低的投资回报率，这样，在市场竞争中就处于比较有利的竞争地位。市场均衡定价将根据竞争优势者的

5、行为来确定，因此，市场定价的结果，将只对系统风险提供风险补偿，只有系统风险才是市场所承认的风险。所以，对于有风险资产而言，通过市场交易定出对于有风险资产而言，通过市场交易定出的均衡价格，其收益率只包含系统风险的风险的均衡价格，其收益率只包含系统风险的风险补偿而不对非系统风险提供风险补偿。补偿而不对非系统风险提供风险补偿。 o ( )iiiirE rmo 我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我们记宏观因素的非预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为 ；o 则证券i的宏观成分为 ，则上面的等式则可表达为等式山：o 这个等式被称为股票收益的单因素模型（

6、single-factor model）iiimF( )iiiirE rF二、单指数模型的估计二、单指数模型的估计 1 1. .单因素模型的定义单因素模型的定义v单因素模型单因素模型是描述证券收益率生成过程的一种模型，往往以指数形式出现（如GNP指数、股价指数、物价指数等）,所以又称为指数模型。单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素。o 根据指数模型，依照与等式三相似的原理，我们可以把实际的或已实现的证券收益率区分成宏观（系统）的与微观（公司特有）的两部分。我

7、们把每个证券的收益率写成三个部分的总和，也就是我们这的等式四：o 我们用大写的R代表超过无风险收益的超额收益，把这个等式改写为等式五：()ifiiMfirrrr iiiMiRR o 一些投资者可能认为证券的回报率生成过程仅包含一个因素，例如他们认为证券的回报率与预期国内生产总值的增长率有关，那么预期国内生产总值与证券回报率之间的关系以方程形式可以表示为：iiiiRGo o o o 3.3.以回归分析得出单指数或单一因素模型以回归分析得出单指数或单一因素模型o 假设先考虑经济增长GDP对公司之股票收益率的影响，即只考虑GDP变化对风险补偿的影响。历史数据库 年GDP增长率（%）证券收益率（%）1

8、 12 23 34 45 56 65.75.76.46.47.97.97.07.05.15.12.92.914.314.319.219.223.423.415.615.69.29.213.013.0o 用回归分析的方法可以得出二者的关系，如下：iiiiRG()iifRrr 两边求期望得 假定上例中，i =4%，i =2，则()( )iiiE RE G4%2iiRGo 这一关系也可用下面的图形表示 24201612844826ri0GDPo 为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合图中的点。那么，图中这条直线的回归方程则为Ri=4%+2GDPo 回归方程和直线

9、都表示较高预期的GDP与较高的证券收益率相关联。4.单因素模型的两个重要特征单因素模型的两个重要特征 1）切点组合首先，所有证券的回报率只对一个共同的因素起反应的假设大大地简化了确定切点组合的任务。为了确定切点组合构成，投资者需要估计出所有的预期回报率，方差和协方差。这可以通过估计单因素模型中每种证券的i、i和it来完成。当然，我们还必须知道因素的预期值F和它的标准差F，进而可以导出弯曲的马氏有效集。最后，对于一个给定的无风险利率，切点组合可以被确定。证券对因子共同作出反应的假设，使得我们没有必要直接估计证券之间的协方差，而只需要通过证券的敏感性和因素的方差即可获得协方差。 2）分散化）分散化

10、 单因素模型的第二个有意义的特征与分散化有关。在前面已经说明，分散化导致系统风险的平均化和个别风险的降低。对任何因素模型，除了术语上用因素风险和非因素风险分别代替系统风险和非系统风险外，上述特征总是成立的。在单因素模型中，组合的方差由下式给出：2222222()()()pppeppiiepieiXX 其 中 ； 上述方程表明组合的总风险也可视为有两部分构成，这与单个证券的总风险可以分解成两个部分一样。相应地，分别称上述方程的右边第一项和第二项为组合的因素风险和非因素风险。 当一个组合变得更加分散时（即含有更多的证券），每一个比例xi将变得更小，这并不导致p明显的降低或升高，除非可以加进那些i值

11、 相 对 低 或 高 的 证 券 。 其 原 因 正 如 方 程p=xii所表明的，p仅仅是证券敏感度i以xi为权数的加权平均。于是，分散化导致因素风险的平均化。 然而，组合的更加分散化，可望使得非因素风险2(ep)下降。这可以通过考察方程2(ep)=xi22(ei)来加以说明。假设投资者投资于每种证券的数量相等，那么可以用1/N代替xi，即2(ep)= （1/N）2 2(ei) = 1/N(2(ei)/N）。这说明随着组合的更加分散化，组合种证券的数目N会越来越大，从而使得组合的非因素风险变小。简而言之，分散化降低非因素风险。第二节、资本资产定价模型与因资本资产定价模型与因素模型素模型 一、

12、市场模型二、资本资产定价模型与因素模型的关系 一、市场模型一、市场模型(MarketModel) 在实际应用过程中常用市场指数来作为影响证券价格的单因素，此时的单因素模型被称为市场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个特例。 假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这一关系：iiIiI IiIrr 式中：r i代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 iI是随机误差项o iI 代表了证券市场线的

13、斜率，它表明了每当市场收益变化1%，证券收益变化的程度。用市场模型来描述证券收益，可以帮助我们确定系统性风险和非系统性风险，证券系统性风险等于市场收益的标准差乘以值，因此，代表了股票相对于市场的系统风险，非系统性风险等于非系统性收益的标准差。如果1，表明了此股票的风险大于市场的风险，反之，则表明了股票的风险小于市场的风险；如果截距aiI为正，则证券的表现要优于市场，反之，则劣于市场。 v这一分析结果可用下表表示：这一分析结果可用下表表示：变量数值与市场的比较正优于0相同负劣于大于1风险大1相同小于1风险小o 我们可以运用对历史数据的回归分析估计出市场模型中的参数，从而得出值。例如，可以计算过去

14、5年内的月收益率，这样市场指数和某一证券的收益率就分别有60个观察值，然后对这些观察值进行回归分析。的观察值越多，值的估算就越准确。o 而资产组合系统性风险的计算公式为 pm p=X1 1 +X 2 2 +X3 3 +Xn n Xi为证券i在资产组合中所占的比重。 例子：考虑股票A，有iI =2%，iI =1.2，这意味着股票A的市场模型为： 2%1.2AiIAIrr因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分

15、），当市场指数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。二、资本资产定价模型与因素模型的关系二、资本资产定价模型与因素模型的关系 1.实际收益与期望收益 资本资产定价模型是一个很好的模型。问题是它是否具有现实世界的价值它的含意是否由经验得来。我们现在要扼要地重点讨论更基本的问题：资本资产定价模型在原则上是否可以检验？首先，资本资产定价模型的核心预言是，市场资产组合是一个均方差有效的资产组合，目前无法检验。再者，资本资产定价模型暗示了各种期望收益之间的关系，而所有我们可以观察到的只是实际的或已实现的

16、持有期间的收益，并且它们并不需要等于先前的预期值。 同资本资产定价模型的简单与深入一样，我们必须提出附加的假定条件，以使它可以起作用并可以检验。o 两个方程都表明证券的预期回报率与证券的一个特征i相联系，假定因素E(F)和(E(rM)-rf)的预期回报率为正，那么特征的值越大，证券的预期回报率就越大。在这一点上两个方程几乎没有区别。 关键在于每个方程右边的第一项：i和rf。根据资本资产定价模型，决定预期收益率的唯一特征为iM，而rf表示无风险利率，对所有证券都是同一个值。然而在因素模型中，决定证券的预期收益率还有第二个特征，i它需要估计。正是一种证券与另一种证券i的大小不同，妨碍了因素模型成为

17、一种均衡模型。 换一个角度看，根据因素模型，两个具有相同值的证券戏剧性地具有不同的预期回报率。例如，如果GDP的预期增长率为5%，A、B两种证券的i、i分别为4%，2；-2%，2。那么，两种证券的预期收益率分别为14%和8%。 相反，由基于均衡的资本资产定价模型，两个具有相同的iM的证券将具有相同的预期收益率。例如，如果A、B两种证券的iM都为1.2，那么在给定无风险利率为8%，市场预期收益率为13%的情况下，它们都具有14%的预期收益率。 o o 3.资本资产定价模型与市场模型资本资产定价模型与市场模型 在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为值的斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场

18、，但是它们之间却有明显的区别：q 首先首先，资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的价格如何确定；市场模型是一个因素模型。q其次其次，资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的，即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个市场指数而言，即基于市场中的一个样本。 虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的值和市场模型中的值是有区别的，但是在实际操作中，由于我们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代替，因此我们可以用市场模型中测算的值来代替资本资产定价模型中的值。第三节、多因素模型多因素模型 一、多因素模型的经验基础二、多因素模型 一、多因素模型的经验基础一、多因素模型的经验

19、基础 经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。然而经济并不是一个简单、统一的实体，因而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力，比如：1.国内生产总值；2.利率水平；3.通货膨胀率；4.石油价格水平等。 多因素模型对现实的近似程度更高。这一简化形式使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。 二、多因素模型（二、多因素模型（Multifactor modelsMultifactor models） 与单因素模型不同，当考虑多个因素对

20、证券收益率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型更加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性，这可能会使精确性得以提高。作为多因素模型的一个例子，我们考虑一个双因素模型双因素模型，这意味着假设收益率生成过程中包含有两个因素。 例子例子：考虑两个公司，一个是公用事业单位，另一个是航空公司。 航空公司，它的预期收益的影响因素更多的是：GDP、国际油价等。 公用事业单位，如供电公司，它的预期收益对未来的GDP、国际油价等因素也相关，但相关程度就差距很大。o F1t和F2t是两个对证券回报率具有普遍影响的因素，i1和i2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因素模型一样，i是随机误差项是解释其他影响的，i是当两个因素都取值为0是证券i的预期回报率。 在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数：i, i1, i2以及随机误差的标准差i。对每个因素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的方差和。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1, F2)。 同单因素模型一样，在多因素模型中，一个组合对某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平均，权数为投资于各证券的比例。 切点组合切点组合 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使用最优化来导出弯曲