信号与系统基础(2)7-1

1、第七章第1讲1第第7章章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析l离散信号及特性离散信号及特性l离散系统的描述及模拟离散系统的描述及模拟l差分方程差分方程的经典解的经典解l离散冲激离散冲激响应响应l卷积和卷积和电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲2离散系统与连续系统的比较离散系统与连续系统的比较电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲37.2 离散信号及其时域特性离散信号及其时域特性l 离散信号的定义离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：离散时间信号可以从两个方面来定义：u仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻 k (k=0,1, 2,)上才有定义上才有定义 (确定确定的函数值的

2、函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用 f (k) 表示。表示。u连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用号通常也称为离散信号，用f (kT)表示，表示，T 为抽样周期。为抽样周期。 f (kT)一般简写为一般简写为f (k) 。k)(kTfk)(kf电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲4离散信号的描述方法离散信号的描述方法 l 数学解析式数学解析式 l 图形形式图形形式l 序列形式序列形式 )(kft0123452341kkkkf其它, 040,)(4,

3、3, 2, 1, 0)(kf0,)(kkkf, 4, 3, 2, 1, 0)(kf电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲5离散信号的能量与功率离散信号的能量与功率 l 与连续信号类似，离散信号也可分为能量信号和与连续信号类似，离散信号也可分为能量信号和功率信号。对于非周期信号，信号能量定义为功率信号。对于非周期信号，信号能量定义为l 设有一周期离散信号，其功率定义为：设有一周期离散信号，其功率定义为： l 能量有限的信号称为能量信号。功率有限的信号能量有限的信号称为能量信号。功率有限的信号称为功率信号。所有周期信号都是功率信号。称为功率信号。所有周期信号都是功率信号。kkfE2)(102

4、)(1NkkfNP电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲6例例 7.1 l 计算下列离散信号的能量或功率。计算下列离散信号的能量或功率。 u(a) u(b) u(c)l 解解 （a）该离散信号为衰减的指数信号，其信号能）该离散信号为衰减的指数信号，其信号能量是：量是： 0,)5 . 0(3)(kkfk)4/2cos(6)(kkf4/26)(kjekfJkfEkkkkk1225. 019)25. 0(9)5 . 0(3)(0022电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲7例例 7.1l （b）该离散信号为周期为的周期序列，其信号功）该离散信号为周期为的周期序列，其信号功率是：率是： l

5、 （c）该离散信号为一个复数周期信号）该离散信号为一个复数周期信号, 周期为，其周期为，其信号功率是：信号功率是：W18)3636(41)4/2cos(641)(1302102kNkkkfNPW36)36363636(41641)(13024/2102kkjNkekfNP电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲8阶跃信号阶跃信号l 定义定义)(k00k01k)(kk0 12345611l 延迟的阶跃序列延迟的阶跃序列 )3(k30k31k)3( kk0 12345611l 门函数门函数)6()2(kkk0 12345611电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲9离散冲激信号离散冲激信

6、号l 定义定义)(k00k01k)(kk0 12311l 延迟的延迟的 (k)3( kk0 123411l 门函数门函数)5()4()3()2()6()2()(kkkkkkkf )3(k30k31kk0 12345611)(kf电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲10离散冲激的主要性质离散冲激的主要性质l 采样特性：采样特性：l 乘积特性：乘积特性：l (k)与与 (k)的关系：的关系：knfnkkf)()()()()()()(nknfnkkf因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时冲激函数因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时冲激函数的加权和，即的加权和，即)2()2() 1()

7、1 ()()0() 1() 1()2()2()(kfkfkfkfkfkfnnknf)()(knnk)()(0)()(iikk或) 1()()(kkk将左式用将左式用 n=k- - i 代换变量：代换变量：即即 i=k- - n 可得出求和上下限可得出求和上下限电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲11实指数实指数信号信号l 实指数信号：实指数信号： f (k) = Ca k a, C 均为实数均为实数u当当|a|1，指数为上升曲线；当，指数为上升曲线；当|a|1时，指数为衰减曲线时，指数为衰减曲线kakf)(10 ak0 12341kakf)(1ak0 12341电信学院电信学院电信学院

8、电信学院第七章第1讲12实指数实指数信号信号l 实指数信号：实指数信号： f (k) = Ca k a, C 均为实数均为实数u当当 a 为负时，为负时，f(k)的值符号交替变化。当的值符号交替变化。当a 为正，为正， f(k)的的值均为正。值均为正。kakf)(01ak012341kakf)(1ak012341电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲13复指数信号复指数信号 l 复指数信号：复指数信号： f (k) = Ca k a=|a|ej 0, C=A 均均为复数为复数l 当当|a|=1时，实部和虚部都是正弦序列；时，实部和虚部都是正弦序列；l 当当|a|1时，实部和虚部都是指数增

9、长的正弦序时，实部和虚部都是指数增长的正弦序列。列。 )sin()cos()(00)(0kajAkaAeaAkfkkkjk电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲14复指数信号复指数信号l 指数衰减的正弦序列指数衰减的正弦序列电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲15复指数信号复指数信号l 指数增长的正弦序列指数增长的正弦序列 电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲16正弦序列和指数正弦序列正弦序列和指数正弦序列l 正弦序列：正弦序列： f (k) = Ca k a= , C=A 均为复数均为复数)sin()cos()(00)(0kjAkAeAkfkj0je)cos()(Re0

10、kAkf)sin()(Im0kAkf为正弦序列为正弦序列电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲17数字角频率和模拟角频率的关系数字角频率和模拟角频率的关系l 数字角频率数字角频率 0与模拟角频率与模拟角频率 0的关系的关系u由于离散信号定义的时间为由于离散信号定义的时间为 kT，显然有：显然有： 0= 0Tu模拟角频率模拟角频率 0的单位是的单位是 rad/s，而数字角频率而数字角频率 0的单位的单位为为 rad。u 0表示相邻两个样值间弧度的变化量。表示相邻两个样值间弧度的变化量。)(tfst /001. 002. 0srad /31402. 020)(kfk012345678rad4

11、820 0表示表示1秒内变秒内变化了化了50个个2 rad 0表示两个离散值表示两个离散值之间的弧度变化量之间的弧度变化量电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲18正弦序列的周期正弦序列的周期l 周期序列的定义：周期序列的定义： f (k+N)=f (k) 式中：式中：N为序列的周期，只能为任意整数。为序列的周期，只能为任意整数。l 周期周期 N 的计算方法：的计算方法：u与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值决于比值2 / 0是正整数、有理数还是无理数。是正整数、有理数还是无理数。u 是正整数时，则周期为是正整数时，则周

12、期为N。因为：因为：N02kAkANkA0000sin)2(sin)(sinu 是有理数时，则周期为是有理数时，则周期为mN0202mNu 为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。 但包络线仍是正弦函数。但包络线仍是正弦函数。02电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲19正弦序列的周期正弦序列的周期cos(cos( k/10)/10)是周期的，是周期的， 周期周期N=20=20(b)cos(b)cos(0.5k) )是非周期的是非周期的电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲20离散信号的运算离散信号的运算l 序列的相加：序列的相加： f (k)=

13、 f1(k)+ f2(k)l 序列的相乘：序列的相乘： f (k)= f1(k) f2(k)l 序列的折叠、尺度变换与位移：序列的折叠、尺度变换与位移：与与连续信号相同连续信号相同l 序列的差分：序列的差分：与连续信号中的微分对应的运算与连续信号中的微分对应的运算 u一阶前向差分一阶前向差分 f (k)= f (k+1)- - f (k)u二二阶前向差分阶前向差分 2f (k)= f (k)= f (k+1)- - f (k) = f (k+2)- -2 f (k+1)+ f (k)u一阶后向差分一阶后向差分 f (k)= f (k)- - f (k- -1)u二二阶后向差分阶后向差分 2f

14、(k)= f (k)= f (k)- - f (k- -1) = f (k)- -2 f (k- -1)+ f (k- -2)电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲21离散信号的运算离散信号的运算l 序列的求和序列的求和(累加累加)：与连续信号中的积分对应的运算与连续信号中的积分对应的运算iifkf)()(1l 典型的累加和：典型的累加和：kiki)()(kikki)() 1()(kikkkii)() 1(21)(1)(11)(1akaaiakiki有限等比序列求和公式：有限等比序列求和公式：niniqqaaa111无穷收敛等比序列求和公式：无穷收敛等比序列求和公式：111iiqaa其中

15、：其中：a1首项，首项， an末项，末项，q等比等比电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲22补充例题补充例题1 1下述四个等式中，正确的是下述四个等式中，正确的是_。)() 1()()(kkkA) 1()()()(kkkBjjkkC)()()(0)()()(jjkkD)(kk0 123456112) 1( kk0 123456112)( kk0 12112) 1(kk0 12112jjk)(k0 1234561120)(jjkk0 12112D电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲23补充例题补充例题2 2信号信号 f (- -k - - i) 表示为表示为_。( i 0)D(A

16、) 信号信号f (k)的右移序的右移序 i(B) 信号信号f (k)的左移序的左移序 i(C) 信号信号f (k)折叠再折叠再右移序右移序 i(D) 信号信号f (k)折叠再左折叠再左移序移序 i电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲24例例.2离散时间序列离散时间序列 是是_(A.周期信号周期信号；B.非周期信号非周期信号)。若是周期信号，则周期。若是周期信号，则周期 N_。kBkAkf3cos5sin)(如果包含有如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N的周期信号，则其周期的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期必为各分量信号周期

17、Ni的整倍数。的整倍数。如有如有2个分量，即个分量，即N=m1N1=m2N2, mi为正整数为正整数.21212211,22,2mmmmNii221122mmN则周期为：则周期为：2121:5:33:5:mm对本题：对本题：则周期为：则周期为：30523211mNA30电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲25例例.2离散时间序列离散时间序列 是是_(A.周期信号周期信号；B.非周期信号非周期信号)。若是周期信号，则周期。若是周期信号，则周期 N_。kBkAkf3cos61sin)(2121:6:33:61:mmBm1 =3, m2 = 6 。可见不是正整数。故此信号是非周期信号。可见不

18、是正整数。故此信号是非周期信号。电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲26补充例补充例 题题3已知离散信号已知离散信号 f (k)=(k+2) (k+2)- - (k-3), 求求: f (k+1)+ f (- -k+1)=？)(kfk0 121424) 1( kfk0 12124) 1(kfk0 12126k0 12121f (k+1)+ f (- -k+1)= (k+2)+6 (k+1)+6 (k)+6 (k-1)+ (k-2) 1 , 6, 6, 6, 1 电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲27补充例题补充例题4 4序列序列 y(k)=k2- -2k+3, 则二阶前向差分

19、则二阶前向差分 2 y(k)= _。 二二阶前向差分阶前向差分 2y (k)= y(k)= y (k+1) - - y (k) = y (k+2) - -2 y (k+1)+ y (k) = (k+2)2 - -2(k+2)+3- -2(k+1)2 - -2(k+1)+3+ k2 - -2k+3 = k2+4k+4- -2k- - 4+3-2-2k2 - - 4k - -2+4k+4- -6+ k2 - -2k+3 =2电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲28例例 7.37.3已知离散信号已知离散信号 f (k)=(k+2) (k+2)- - (k-4), 试画出试画出 f (k)，

20、f (k-3)， f (- -k)， f (-k-3)的图形。的图形。)(kfk0 1215235)3( kfk0 121236)( kf k0 121523)3- ( kfk0 1215236电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲29)()()(tfBtAydttdy)(,)(tydttdy7.3 离散系统的描述及性质离散系统的描述及性质l 微分方程与差分方程的比较微分方程与差分方程的比较电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲30差分方程的两种形式差分方程的两种形式l n阶前向差分方程阶前向差分方程)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kfbkfbmkfbm

21、kfbkyakyankyankymmn式中，式中，f (k), y(k)分别为激励与响应。前向差分方程多用分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。于状态变量分析法。l n阶后向差分方程阶后向差分方程)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kfbkfbmkfbmkfbkyakyankyankymmn后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。差分方程的重要特点是：差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在系统当前的输出（即在k时刻的输出）时刻的输出）y(k)，不不仅与激励有关，而且与系统过去的输出仅与激励有关，而且与

22、系统过去的输出 y(k-1), y(k-2), y(k-n) 有关，即系统具有记忆功能。有关，即系统具有记忆功能。电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲31线性时不变离散系统的性质线性时不变离散系统的性质l 齐次性：齐次性： Af (k) Ay (k)l 叠加性：叠加性： f1(k)+ f2(k) y1(k)+ y2(k) l 线性性：线性性： A1 f1(k)+ A2 f2(k) A1 y1(k)+ A2 y2(k) l 时不变性时不变性(延迟性或移序不变性)： f (k-k0) y (k-k0)l 差分性：差分性： f (k) y (k)l 累加和性：累加和性：kikiiyif)()

23、(电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲32线性时不变离散系统线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述的线性时不变（由线性常系数差分方程描述的线性时不变（LTI）系统为系统为)() 1()()() 1()(101MkfBkfBkfBNkyAkyAkyMNl 所有的项都包括了所有的项都包括了y(k)或或f (k)。所有的系数都是所有的系数都是常数（而不是常数（而不是y(k)、f (k)或或 k 的函数）。的函数）。l 下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的：下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的：u若有任何一项是常数或是若有任何一项是常数或是y(k)或或f (k)的非线性函数，则的非线性函数，则它是非线性的。它是非线性的。u若若y(k)或或f (k)中的任何一项的系数是中的任何一项的系数是k的显时函数，则它的显时函数，则它是时变的。是时变的。电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲33离散系统的性质离散系统的性质若当若当 k 0 时激励时激励 f (k)=0，则当则当 k 0),那么它就是非因果的。那么它就是非因果的。如：如：)() 1(2)(kfkyky) 1() 1(2)(kfkyky) 1()() 1(kfkyky)2()() 1(kfkyky是因果的是因果的是非因果的是非因果的电信学院电信学院电信学院电信学院第七章第1讲34判断离