第五节事件的独立性

1、第五节第五节 事件的独立性事件的独立性已知袋中有已知袋中有5 5只红球只红球, 3, 3只白球只白球. .从袋中有放回从袋中有放回地取球两次地取球两次, ,每次取每次取1 1球球. .设第设第i次取得白球为事件次取得白球为事件 Ai ( ( i=1, 2 ) . ) .求求22121P(A ),P(A |A ),P(A |A )因为是有放回地取球，无论第一次取的是因为是有放回地取球，无论第一次取的是红球还是白球，第二次都是在红球还是白球，第二次都是在5 5红红3 3白中取白中取一球，取到白球的概率都是一球，取到白球的概率都是3/8 , ,也就是说也就是说所以事件所以事件 A1 1 发生与否对发

2、生与否对 A2 2 发生的概率发生的概率没有影响，此时有：没有影响，此时有：221213P(A ) P(A |A ) P(A |A )8 此时称事件此时称事件A1 1与与A2 2相互独立相互独立12121P(A A ) P(A )P(A |A ) 12P(A )P(A ) 设设 A、B 是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果 P ABP A P B 则称则称 A 与与 B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件1 1）设两事件）设两事件A 与与 B 相互独立，相互独立，P(B A)P(B) 则则若若P(B)0 若若P(A B)P(A) 则则P(A)0 P(AB)P(B A)P(A) P(B

3、) P(A)P(B)P(A) 所以所以同理可证另一等式同理可证另一等式.P(A)0 时时P(B A)P(B) P(A)0 时时2）必然事件）必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立； 不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立P(SA)P(A) 1 P(A) P(S)P(A) 所以必然事件所以必然事件S 与任意事件与任意事件 A 相互独立；相互独立；所以不可能事件所以不可能事件 与任意随机事件与任意随机事件A A相互独立相互独立. .因为因为A, 0 P(A)P()P(A) A, P(A)P()0 因为因为AS, AAS 3)3)若随机事件若随机事件

4、A 与与 B 相互独立，则相互独立，则ABABAB与与、与与 、与与也相互独立也相互独立. .且且ABAAB P(A)P(A)P(B) P(A)1P(B) 证明其一：证明其一：A,BA,B相相互互独独立立相相互互独独立立P(AB) P(A AB) P(A)P(B) P(A)P(AB) 由于由于ABA A,B所所以以相相互互独独立立（差事件的概率）（差事件的概率）（相互独立性）（相互独立性）证明：证明：P(AB)P(A)P(B) AB 所所以以，(1)(1)由事件由事件 A 与与 B 相互独立，得相互独立，得0 即：即：A与与B不互不相容不互不相容例例1.1.设事件设事件 A 与与 B 满足满足

5、 (1)(1)若事件若事件A与与B相互独立，则相互独立，则A与与B不互不相容不互不相容 ；(2)(2)若若A与与B互不相容互不相容 ，则事件，则事件A与与B不相互独立不相互独立P(A)P(B)0, (2)(2)由由 A 与与 B 互不相容互不相容, ,得得AB, P(AB)P(A)P(B) 所所以以0 P(A)P(B)0 而而即：即：A与与B不相互独立不相互独立P(AB)P() 本例说明：本例说明： 互不相容与相互独立不能互不相容与相互独立不能同时成立。同时成立。P(A)P(B)0, 当当时时显然显然A, B, C 相互独立相互独立 A, B, C 两两独立两两独立 设设 A、B、C 是三个随

6、机事件，如果是三个随机事件，如果称称A、B 称称A、B、C P(BC)P(B)P(C) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(AC)P(A)P(C) P(AB)P(A)P(B) 设设A: :出现红色出现红色; ; B:出现黑色出现黑色; ; C:出现黄色，试判断出现黄色，试判断例例2.2. 有一均匀的八面体有一均匀的八面体, , 各面涂有颜色如下各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次将八面体向上抛掷一次, , 观察向下一面出现的颜色。观察向下一面出现的颜色。 1 2 3 4 5 6 7 8红红 红红 红红 红红黑黑 黑黑 黑黑 黑黑黄黄 黄黄 黄黄 黄黄 P(BC)P(B)P(C), P(A

7、BC)P(A)P(B)P(C) P(AC)P(A)P(C), P(AB)P(A)P(B), 是否都成立。是否都成立。41P(A)P(B)P(C)82 解：解：3P(AB),8 1P(ABC)8 P(AB)P(A)P(B), 但但P(BC)P(B)P(C) 显然显然1P(AC),8 1P(BC),8 所以所以P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(AC)P(A)P(C), 此例说明：不能由此例说明：不能由P(ABC)P(A)P(B)P(C) 推出推出P(BC)P(B)P(C) P(AC)P(A)P(C), P(AB)P(A)P(B), 例例3 3 一口袋中有一口袋中有4 4只球只球, ,一只涂

8、白色一只涂白色, ,一只涂红色一只涂红色, ,一一只涂蓝色只涂蓝色, ,另一只涂有白、红、蓝三色另一只涂有白、红、蓝三色. .现从袋中随机现从袋中随机抽取一球抽取一球, ,以以A,B,C分别表示事件分别表示事件“取出的球涂有白取出的球涂有白色色” ” 、“取出的球涂有红色取出的球涂有红色” ” 、“取出的球涂有蓝取出的球涂有蓝色色” ” ，试判断，试判断,是否两两独立，是否相互独是否两两独立，是否相互独立立解：解：2/ 1)C(P)B(P)A(P ,4/1)AC(P)BC(P)AB(P 4/1)ABC(P 于是于是)C(P)B(P)A(PABC(P 此例说明此例说明 不能由不能由 A, B,

9、C 两两独立推出两两独立推出A, B, C 相相互独立互独立P(BC)P(B)P(C), P(AC)P(A)P(C), P(AB)P(A)P(B), 但但所以所以,两两独立，但不相互独立两两独立，但不相互独立由上面两例可知：由上面两例可知： 在三个事件独立性的定义中，四个等式是在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立立也推不出前三个等式的成立12nAAAn设设，为为 个个随随机机事事件件，如如果果下下列列等等式式都都成

10、成立立： 121212121211() 1mmijijijkijkiiiiiimnnP A AP AP AijnP A A AP AP AP AijknP A AAP AP AP AiiinP A AAP AP AP A 12AAAnn则则称称，这这 个个随随机机事事件件相相互互独独立立2）与两个随机事件相互独立类似：）与两个随机事件相互独立类似：1)1)在上面的公式中，第一行有在上面的公式中，第一行有 个等式个等式2n nC C3n nC C第二行有第二行有 个等式，个等式， 最后一行有最后一行有 个等式，个等式，n nn nC C21n nn n个个 因此共有等式因此共有等式23n nn

11、nn nn nC CC CC C 如果如果 这这 n 个随机事件相互独立，则个随机事件相互独立，则12nA ,A ,A112,mnmiiiiiAAAAA 这这n n个随机事件也相互独立。个随机事件也相互独立。其中其中 是是 的一个排列的一个排列, ,12,ni ii1,2,n1mn 在实际应用中，对于事件的独立性，我在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行

12、计算。公式进行计算。例例4.4.甲乙二人独立地去破译一份密码，已知各人能译甲乙二人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/51/5和和1/31/3，求密码被译出的概率，求密码被译出的概率. .解：解：设设A：甲译出密码，：甲译出密码，B：乙译出密码，：乙译出密码，C：密码被译出：密码被译出CAB P(A)P(B)P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) 111 1535 3 715 （A,B相互独立）相互独立）P(C)P(AB) P(C)P(AB) 4 215 3 715 1P(AB) 1P(A B) 1P(A)P(B) 例例5.5.假如每个人血清中含有肝炎病毒的

13、概率为假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.0040.004，现把来自不同地区的现把来自不同地区的100100个人的血清混合，则混合后的个人的血清混合，则混合后的血清中含有肝炎病毒的概率是多少？血清中含有肝炎病毒的概率是多少？解：解：混合后的血清中含有肝炎病毒，混合后的血清中含有肝炎病毒，说明这说明这100100个人中至少有一人个人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒，即要的血清中含有肝炎病毒，即要求的是和事件求的是和事件 的概率的概率1001 i ii iA A设设Ai：第：第i个人的血清中含有肝炎病毒个人的血清中含有肝炎病毒, ,1 2100 , , , , ,i虽然肝炎会传染，但因为是来自

14、不同的地虽然肝炎会传染，但因为是来自不同的地区，所以认为这区，所以认为这100个人的血清中是否含个人的血清中是否含有肝炎病毒是相互独立的。有肝炎病毒是相互独立的。100ii 1P(A ) 100ii 11P(A ) 100ii 11P(A ) 10011()iiP A 10010 996 . .0 33 . .例例6.6.甲乙二人轮流进行射击，第一次甲射击，第甲乙二人轮流进行射击，第一次甲射击，第二次乙射击，二次乙射击，每次射击甲射中目标的概率为，每次射击甲射中目标的概率为0.30.3，乙射中目标的概率为，乙射中目标的概率为0.40.4，求两人各自先射，求两人各自先射中目标的概率中目标的概率.

15、 .解：解：设设Ai：第：第i 次射击射中目标，次射击射中目标，1 2 , , , ,iP P( (甲甲先先射射中中目目标标) )112312345P(AA A AA A A A A) 112312345P(AA A AA A A A A ) ）+ +P P( () )+ +P P( (112312345P(AA )P(A )P(AA )P(A )P(A )P(A )P(A ) ) )+ +P P( () )+ +P P( (20.3(0.7 0.6) 0.3(0.7 0.6)0.3 0.517 P P( (乙乙先先射射中中目目标标) )1 P P( (甲甲先先射射中中目目标标) )0.483

16、 每次射击甲射中目标的概率为每次射击甲射中目标的概率为0.30.3，乙射中目标，乙射中目标的概率为的概率为0.40.4，说明乙射击命中率较高，但因为，说明乙射击命中率较高，但因为甲先射击，他先射中的概率反而大，可见甲先射击，他先射中的概率反而大，可见“先下先下手为强手为强”，我得抓紧了，抢占先机，加油，努力！，我得抓紧了，抢占先机，加油，努力！例例7.7.有三个元件分别按串联和并联两种不同的方式构成有三个元件分别按串联和并联两种不同的方式构成两个系统，每个元件的可靠性均为两个系统，每个元件的可靠性均为r（0r1），且各元），且各元件能否正常工作是相互独立的，求每个系统的可靠性件能否正常工作是相

17、互独立的，求每个系统的可靠性. .解：解：独立性的应用独立性的应用可靠性分析可靠性分析 一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性，由元一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性，由元件组成系统，系统正常工作的概率称为系统的可靠性件组成系统，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.设设Ai: :第第i个元件正常工作，个元件正常工作，1,2,3,i A: :系统正常工作系统正常工作(1)(1)串联系统，串联系统，123123123AA A A 123P(A)P(A A A ) 123P(A )P(A )P(A ) 3 r(2)(2)并联系统，并联系统，123AAAA 123P(A)P(AAA ) 1231P(AAA ) 1231P(A A A ) 31(1) r