直线与平面、两平面之间的相对位置

1、直线与平面、两平面直线与平面、两平面之间的相对位置之间的相对位置垂垂 直直 问问 题题相相 交交 问问 题题平平 行行 问问 题题一、平行问题一、平行问题1、直线与平面平行、直线与平面平行（1）CDAB，且，且 ABP = CDP（2）CDP = P 平面内一定存在一条直线平面内一定存在一条直线 ABCD。PACBD一、平行问题一、平行问题1、直线与平面平行、直线与平面平行例例1过已知点过已知点 K 作一水平线作一水平线 KL平行于已知平面平行于已知平面ABC。llaaXbbcckk11例例2过点过点 C 作平面平行于已作平面平行于已 知直线知直线 AB。ddeeabcXabcPHeeXaab

2、bcddc一、平行问题一、平行问题1、直线与平面平行、直线与平面平行DE ABCABCDEXab( a )bccddeemm只要观察有重影性只要观察有重影性的投影即可。的投影即可。DEPdc一、平行问题一、平行问题1、直线与平面平行、直线与平面平行HABbaCDFEe fPPHABP abPH EFP 一、平行问题一、平行问题2、平面与平面平行、平面与平面平行（2）PQ =P 平面内一定存在一对相交直线，平面内一定存在一对相交直线， 与与 Q 平面内的一对相交直线对应平行。平面内的一对相交直线对应平行。 = PQ（1） ABP，BCP，DEQ，EFQ， 且且 AB DE，BCEFPABCQDE

3、F一、平行问题一、平行问题2、平面与平面平行、平面与平面平行例例1已知平面由平行两直线已知平面由平行两直线 AB、CD 给定。试过定给定。试过定 点点 K 作一平面平行于已作一平面平行于已 知平面。知平面。例例2试判断两已知平面试判断两已知平面 ABC 和和 DEFG 是否平行。是否平行。 （平行、不平行）（平行、不平行）ccabXabddeef fgg11221122mmllabadbXcdkkc一、平行问题一、平行问题2、平面与平面平行、平面与平面平行例例1已知平面由平行两直线已知平面由平行两直线 AB、CD 给定。试过定给定。试过定 点点 K 作一平面平行于已作一平面平行于已 知平面。知

4、平面。例例3试判断两已知平面试判断两已知平面 ABC 和和 DEFG 是否平行。是否平行。 （平行、不平行）（平行、不平行）Xeddeggf faabbcc1122mmllabadbXcdkkcXeed cabf fca bdHa bc d二、相交问题二、相交问题1、重影性法（利用重影性求交点和交线）、重影性法（利用重影性求交点和交线）（1）一般位置直线与投影面垂直面（或平行面）相交）一般位置直线与投影面垂直面（或平行面）相交ADBCEFekfKkk1(2)12gbXef efd cca badgHADBCEFefa bc dGg二、相交问题二、相交问题1、重影性法（利用重影性求交点和交线）、

5、重影性法（利用重影性求交点和交线）（2）一般位置平面与投影面垂直面（或平行面）相交）一般位置平面与投影面垂直面（或平行面）相交kk1(2)12llkKLldef gbXefdcabga c二、相交问题二、相交问题1、重影性法（利用重影性求交点和交线）、重影性法（利用重影性求交点和交线）（3）两个特殊位置平面相交）两个特殊位置平面相交klklKLDFABECG二、相交问题二、相交问题2、辅助平面法（利用辅助平面求交点和交线）、辅助平面法（利用辅助平面求交点和交线）（1）一般位置的直线与平面相交）一般位置的直线与平面相交解题步骤：解题步骤： 包含直线包含直线AB 作一作一辅助铅垂面辅助铅垂面(或正

6、垂面或正垂面) P平面。平面。 求求 出出 辅辅 助助 P平面与平面与已知平面已知平面DEF的交线的交线MN。 求求 出出 该该 交交 线线MN与与已知直线已知直线AB 的交点的交点K，K点即为直线点即为直线AB 与已知与已知平面平面DEF的交点。的交点。二、相交问题二、相交问题2、辅助平面法（利用辅助平面求交点和交线）、辅助平面法（利用辅助平面求交点和交线）（1）一般位置的直线与平面相交）一般位置的直线与平面相交DFekfa dnmPABEMbPHNKHadXdf afbebenkmknm1233(2)1(n)PH二、相交问题二、相交问题2、辅助平面法（利用辅助平面求交点和交线）、辅助平面法

7、（利用辅助平面求交点和交线）（2）两个一般位置平面相交）两个一般位置平面相交DFABELCK方法：方法： 在同一平面或不同平面上在同一平面或不同平面上取两条直线，分别求出两直线取两条直线，分别求出两直线与相应平面的交点，交点之间与相应平面的交点，交点之间的连线即为交线。的连线即为交线。注意：注意： 由于此处的平面是有边界由于此处的平面是有边界的，因此，必须要考虑交线的的，因此，必须要考虑交线的范围，将同时处在两平面内的范围，将同时处在两平面内的那段交线画成粗实线。那段交线画成粗实线。CHABbac三、垂直问题三、垂直问题1、直线与平面垂直、直线与平面垂直eEmkKMnN（1）MN ABC =（

8、2）= MN ABCmn ad，而，而ADABC，且，且ADV。mn be，而，而BEABC，且，且BEH。mn ad，而，而ADABC，且，且ADV；mn be，而，而BEABC，且，且BEH。Dd解题步骤：解题步骤：（1）在平面）在平面P上取一条正上取一条正 平线平线 CE ( c eX )。（2）在平面）在平面P上取一条水上取一条水 平线平线 AF ( afX )。（3）过）过 m 作作 mn ce ， 过过 m作作 m n a f ，则，则 MN ( mn, , m n) 即为即为 所求垂线。所求垂线。怎样求怎样求点点 M 到平面到平面 P 的距离呢？的距离呢？三、垂直问题三、垂直问题

9、1、直线与平面垂直、直线与平面垂直例例1过点过点 M 作平面作平面P (由相交两直线由相交两直线 AB、CD 决定决定) 的垂线。的垂线。f feeaddbXccabmmnn三、垂直问题三、垂直问题1、直线与平面垂直、直线与平面垂直例例2已知平面已知平面Q 由平行两直线由平行两直线 AB 和和CD 给定，试判断直线给定，试判断直线 MN 是否垂直于平面是否垂直于平面Q 。（垂直、不垂直）。（垂直、不垂直）2211addbXccabmmnn判断过程：判断过程：（1）在平面）在平面Q上任取一上任取一 条水平线条水平线。（2）因为）因为mn不垂直于水不垂直于水 平线的水平投影平线的水平投影12， 所

10、以可以判定直线所以可以判定直线 M N不垂直于平面不垂直于平面Q 。abXab三、垂直问题三、垂直问题1、直线与平面垂直、直线与平面垂直例例3过点过点 A 作一平面垂直于直线作一平面垂直于直线AB。mmnn解题步骤：解题步骤：（1）过点）过点A 作一条正平线作一条正平线 AM AB。（2）过点）过点A 作一条水平线作一条水平线AN AB。（3）两相交直线）两相交直线AM 和和AN 所决定的所决定的 平面平面S 即为所求。即为所求。水平线水平线AN AB正平线正平线AM ABABMNS三、垂直问题三、垂直问题1、直线与平面垂直、直线与平面垂直HADBCEefa bd cF EFH EF 平面平面

11、ABCDf fXeed cca babd ef X例例过过 E 点作平面点作平面 ABCD 的垂线。的垂线。三、垂直问题三、垂直问题2、平面与平面垂直、平面与平面垂直PADBCQS平面平面Q 平面平面P ，在平面在平面Q 内取一内取一点点C，过点过点C 作平面作平面P 的垂线的垂线CD = 垂线垂线CD平面平面Q （1） 直线直线AB平面平面 P，包含，包含AB作平面作平面Q= 平面平面Q 平面平面P（2）Xsbccaabs过点过点 S 作作ABC 的垂面的垂面Xmnknkmdbccaabd三、垂直问题三、垂直问题2、平面与平面垂直、平面与平面垂直例例试判断两已知平面试判断两已知平面 KMN 和和 ABCD 是否垂直。是否垂直。 （垂直、不垂直）（垂直、不垂直）ll2211 AL KMN直线直线 AL在在 ABCD内吗？内吗？Xmnknkmdbccaabd三、垂直问题三、垂直问题2、平面与平面垂直、平面与平面垂直例例试判断两已知平面试判断两已知平面 KMN 和和 ABCD 是否垂直。是否垂直。 （垂直、不垂直）（垂直、不垂直）llf f AL KMN直线直线 AL在在 ABCD内吗？内吗？直线直线 AL不在不在 ABCD内内三、垂直问题三、垂直问题2、平面与平面垂直、平面与平面垂直f e fXed cc