第7章 直接线性变换解法

1、Direct Linear Transformation-DLT以往的航空摄影测量测图多半以内定向-相对定向-绝对定向的方案处理立体像对。此时的内定向需已知像片的参数：内方位元素、框标的理论坐标即，所用相机为量测摄影机。地面摄影测量按此种方案处理时也需使用量测摄影机。0 0、背景、背景目前存在的大量非量测摄影机，如 CCD摄像机、普通数码相机、工业相机，能否应用于近景摄影测量中是人们普遍关心的问题。此类设备并不适合使用上述测量方案；况且近景摄影测量中相当多的测量成果都是基于目标上离散点的空间坐标。由离散点可生成等值线、生成目标的表面模型、计算面积、体积、坡度等成果。 是否有某种算法适合非量测摄

2、影机的数据处理？ 答案是肯定的。一、定义 直接线性变换解法是建立像点的“坐标仪坐标”和相应物点的物方空间坐标直接的线性关系的解法.二、直接线性变换解法的特点1、不归心、不定向；2、不需要内外方位元素的起始值；?3、物方空间需布置一组控制点；4 、特别适合于处理非量测相机所摄影像；5、本质是一种空间后交-前交解法。(u0 , v0)uvxy1、像素坐标与像平面坐标系之间的关系 00vdyyvudxxu将此式写成矩阵形式 11001001100yxvdyudxvu由另外一种方法来推演共线条件方程式110000100vudyvdydxudxyx或： 由另外一种方法来推演共线条件方程式式中：R 为旋转

3、矩阵 t 为平移向量 SSSCCCZYXZYXRZYX11101ZYXLZYXtRZYXWTCCC2、像空间坐标系与物方坐标系之间的关系 由另外一种方法来推演共线条件方程式3、成像投影关系 CCCCCCCCYfyZXfxZZYfyZXfx101000000001CCCCZYXffyxZ写成矩阵形式 ：1ZYX由另外一种方法来推演共线条件方程式4、成像共线条件方程式 建立物方坐标系坐标与像点坐标之间的关系，即：与之间的关系10TtR0100000000ff1vuZC100100100vdyudx像空与物方投影关系像素与像平面CZ由另外一种方法来推演共线条件方程式4、成像共线条件方程式 建立物方坐

4、标系坐标与像点坐标之间的关系，即：与之间的关系1ZYX10TtR0100000000ff1vuZC100100100vdyudxCZ11121110987654321ZYXllllllllllllZYXL由另外一种方法来推演共线条件方程式共线条件方程式 11121110987654321ZYXllllllllllllvuZC1211109lZlYlXlZCCZlZlYlXlv/8765CZlZlYlXlu/43211211109876512111094321lZlYlXllZlYlXlvlZlYlXllZlYlXlu11111098765111094321ZlYlXllZlYlXlvZlYlX

5、llZlYlXlu直接线性变换解法原则上也是由共线条件方程式推演而来。)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx此式中：（x,y）-像点的坐标仪坐标；（x0,y0）-像主点的坐标仪坐标；（X,Y,Z）-像点对应的物方点的物方 空间坐标（XS,YS,ZS）-摄影中心的物方空间坐标（ai,bi,ci）-旋转矩阵中的方向余旋（x,y）-线性误差改正数（包含ds,d）)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSS

6、SSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx以像主点为原点，不包含线性误差的像点p的坐标；,),(12ononyx)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx以像主点为原点包含不正交性d误差的像点p的坐标；,12omom)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafx

7、xx以像主点为原点包含不正交性d误差及比例尺不一误差ds的像点p的坐标（实际在p）；,12moom)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx 以上假设认为x轴方向无比例尺误差的影响。 设x轴方向比例系数为1， 则y轴方向比例系数为 设x轴方向主距为fx， 则y轴方向主距为 fy= fx/(1+ds) ；(1+ds) ；)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXX

8、afyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx 比例尺不一误差ds可以认为是所用坐标仪x轴、y轴单位长度不一致及摄影材料不均匀变形等因素引起的。 不正交性误差可认为是所用坐标仪 x轴、y轴不垂直引起的； 对数字相机而言，比例尺不一误差ds可以认为是像元x、y方向长度不等引起的。)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx 对数字相机而言，不正交性误差可认为是像元x、y方向排列不垂直引起的。从图中可以看出：domdpmomonxsinsin122

9、2dyydssin)(1(0dyysin)(0)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx从图中可以看出：1111cosmodommoony)(cos)(1(00yydyyds)(1cos)1(0yyddsdsyy)(0)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx（1）将x, y代入式（1）0)()()()()

10、()()(1cos)1(0)()()()()()(sin)(1 (3332220033311100SSSSSSxSSSSSSxZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafdyydsxx0)()()()()()()(cos)1 (0)()()()()()()(sin)1 (333222033311100SSSSSSxSSSSSSxZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsxx（2）)()()()()()()()()()()()(33322203331110SSSSSSSSSSSSZZcYYbXXa

11、ZZcYYbXXafyyyZZcYYbXXaZZcYYbXXafxxx0)()()()()()()(cos)1 (0)()()()()()()(sin)1 (333222033311100SSSSSSxSSSSSSxZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsxx式（2）中含有11个独立参数：6个外方位元素（XS,YS,ZS ,）3个内方位元素（x0,y0, fx ）比例尺不一系数dsx,y轴间的不正交系数d （2）0)()()()()()()(cos)1 (0)()()()()()()(sin)1 (333222033311100SSSSS

12、SxSSSSSSxZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsZZcYYbXXaZZcYYbXXafyyddsxx0)(cos)1 (0)(sin)1 (3333222203333111100rZcYbXarZcYbXafyyddsrZcYbXarZcYbXafyyddsxxxx（3）其中：)(1111SSSZcYbXar)(2222SSSZcYbXar)(3333SSSZcYbXar（2）目的是向（x,y）与（X,Y,Z）间的直接关系推导由（3）第2式导出基本关系式为（x,y）与（X,Y,Z）间的关系式， 即希望导出x=f(X,Y,Z,） y=f(X,Y,Z,)的形式 0)(cos)1

13、(0)(sin)1 (3333222203333111100rZcYbXarZcYbXafyyddsrZcYbXarZcYbXafyyddsxxxx（3）0)(cos)1 (333322220rZcYbXarZcYbXafyyddsx0cos)1 (cos)1 (333322220rZcYbXafrZfcYfbXfayddsyddsxxxx通分，并分别以X、Y、Z 合并同类项0cos)1 (cos)1 (cos)1 (cos)1 (cos)1 (3333032333303233330323333032rZcYbXayddsrfrZrZcYbXayddscfcYrZcYbXayddsbfbXrZ

14、cYbXayddsafayddsxxxx等式两边同除以(1+ds)cosd0cos)1 (cos)1 (cos)1 (cos)1 (3333032333303233330323333032rZcYbXayrddsfrZrZcYbXaycddsfcYrZcYbXaybddsfbXrZcYbXayaddsfayxxxx分子、分母除以r301cos)1 (11cos)1 (11cos)1 (11cos)1 (13333330323333333032333333303233333330323ZrcYrbXrayrddsfrrZZrcYrbXraycddsfcrYZrcYrbXraybddsfbrXZr

15、cYrbXrayaddsfaryxxxx01111098765ZlYlXllZlYlXly其中：339ral 3310rbl3311rcl03235cos)1 (1yaddsfarlx03236cos)1 (1ybddsfbrlx03237cos)1 (1ycddsfcrlx03238cos)1 (1yrddsfrrlx03238cos)1 (1yrddsfrrlx)(2222SSSZcYbXar)(3333SSSZcYbXar03332223)(cos)1 ()(1yZcYbXaddsfZcYbXarSSSxSSSSxSxYybddsfbXyaddsfar0320323cos)1 (cos)

16、1 (1SxZycddsfc032cos)1 ()(765SSSZlYlXl经通分、合并同类项等一般数学运算同理，由式（3） 0)(cos)1 (0)(sin)1 (3333222203333111100rZcYbXarZcYbXafyyddsrZcYbXarZcYbXafyyddsxxxx（3）第1式cosd-第2式sind01111094321ZlYlXllZlYlXlx)(1032131xatgdfafarlxx)(1032132xbtgdfbfbrlxx)(1032133xctgdfcfcrlxx)(1032134xrtgdfrfrrlxx)(321SSSZlYlXl其中：010111

17、1098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx基本关系式基本关系式其中li（i=1,211)系数是0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx外方位元素(XS,YS, ZS, f,w,k)内方位元素(x0,y0, f )坐标轴不正交系数db坐标轴比例不一系数ds的函数。0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx解算li系数相当于后方交会；解算物方空间坐标相当于前方交会；式中包含： 像点坐标： (x,y) 物方空间坐标：(X,Y,Z) 成像参

18、数：li系数0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx0000000000111098765111094321yZylYylXyllZlYlXlxZxlYxlXxllZlYlXl线性关系1、li 系数解算0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx00111098765111094321yyZlyYlyXllZlYlXlxxZlxYlxXllZlYlXl列出以li系数作为未知数的方程1、 li 系数解算0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYl

19、XllZlYlXlx以li系数为未知数的方程组1110987654321lllllllllll1111111111111111111000000001ZyYyXyZYXZxYxXxZYX2222222222222222221000000001ZyYyXyZYXZxYxXxZYXnnnnnnnnnnnnnnnnnnZyYyXyZYXZxYxXxZYX100000000111yx22yxnnyxn个点列出2n个关于li系数的线性方程由物方空间控制点及对应的像点可以解算li系数 条件：物方空间至少布置6个控制点nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxyxlllZyYyXyZYXZxYxXxZYX

20、ZyYyXyZYXZxYxXxZYX11112111111111111111111110000000011000000001339ral 3310rbl3311rcl2323232323211210291rrcballl1232323cba2、内方位元素(x0 , y0)的解算333222111cbacbacba旋转矩阵10232323313131cbaccbbaa339ral 3310rbl3311rcl)(1032131xatgdfafarlxx)(1032132xbtgdfbfbrlxx)(1032133xctgdfcfcrlxx11310291lllll l)(1023323123xa

21、tgdfaafaarxx)(1023323123xbtgdfbbfbbrxx)(1023323123xctgdfccfccrxx023232323)(1xcbar0231xr339ral 3310rbl3311rcl03235cos)1 (1yaddsfarlx03236cos)1 (1ybddsfbrlx03237cos)1 (1ycddsfcrlx11710695llllll0233223cos)1 (1xaddsfaarx0233223cos)1 (1xbddsfbbrx0233223cos)1 (1xcddsfccrx023232323)(1ycbar0231yr由上述三个关系式，可以

22、解算21121029113102910lllllllllx21121029117106950llllllllly3、参数ds、d的解算)(1032131xatgdfafarlxx)(1032132xbtgdfbfbrlxx)(1032133xctgdfcfcrlxx232221lll)(12022223xdtgffrxx)cos(1202223xdfrxdfxlllrx222023222123cos)(令： Adfxlllrx222023222123cos)(272625lll2022223cos)1 (1yddsfrxddsfylllrx2222027262523cos)1 ()(令： Bd

23、dsfylllrx2222027262523cos)1 ()(03235cos)1 (1yaddsfarlx03236cos)1 (1ybddsfbrlx03237cos)1 (1ycddsfcrlx)(1032131xatgdfafarlxx)(1032132xbtgdfbfbrlxx)(1032133xctgdfcfcrlxx736251llllll)cos)1 (sin(1220023ddsdfyxrxddsdfyxlllll lrx220073625123cos)1 (sin)(03235cos)1 (1yaddsfarlx03236cos)1 (1ybddsfbrlx03237cos

24、)1 (1ycddsfcrlxCBAds2)1 (1BAds1BAdsAdfxlllrx222023222123cos)(Bddsfylllrx2222027262523cos)1 ()(Cddsdfyxlllll lrx220073625123cos)1 (sin)(BCdsd)1 (sinBAds1BACd2sindAfxcosdsffxy1Adfxlllrx222023222123cos)(4、主距的解算5、外方位元素的解算由l4、l8的表达式有4321lZlYlXlSSS8765lZlYlXlSSS133333333333311109SSSSSSSSSSSSZcYbXaZcYbXaZr

25、cYrbXraZlYlXl由以上三个表达式可解求外方位直线元素由l9、l10 、l11的表达式有933lra 1033lrb 1133lrc 2323232323211210291rrcballl2112102993lllla21121029103llllb21121029113llllc33catg3sinb21bbtg外方位角元素：6、直接线性变换的精度0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx11个 li 系数，由内外方位元素及系统改正数组合而成并不包含镜头畸变差改正含系统改正后，关系式为：其中：01011110987651110

26、94321ZlYlXllZlYlXlyyZlYlXllZlYlXlxx)(2)( 2)()(2)( 2)(001202242210002202142210yyxxPyyrPrkrkyyyyyxxPxxrPrkrkxxx(x,y) -像点的坐标仪坐标 x0,y0 -像主点的坐标仪坐标 k1,k2 . -对称径向畸变系数r - 像点的向径2020)()(yyxxrP1,P2 . -切向畸变系数取令 120120)()(kryyykrxxx111109ZlYlXlA0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyvyZlYlXllZlYlXlxvxyx0)(0)(876512

27、04321120AlZlYlXlkryyvyAlZlYlXlkrxxvxyx以li为未知数，列误差方程式0)(0)(87651204321120lZlYlXlkryyAAvAylZlYlXlkrxxAAvAxyx0)(0)(87651204321120AlZlYlXlkryyvyAlZlYlXlkrxxvxyx)(1)(1120111098765120111094321xkryyAyZlyYlyXllZlYlXlAvxkrxxAxZlxYlxXllZlYlXlAvyxAyAxklllllllllllryyAyZAyYAyXAAZAYAXrxxAxZAxYAxXAAZAYAXvvyx111109

28、876543212020)(10000)(00001A值的计算过程也为迭代计算过程每次迭代A值的计算是通过控制点求得的。对不同的控制点像点坐标列误差方程式，A值不同。111109ZlYlXlA待定点像点坐标的系统误差改正120120)()(kryyyyyykrxxxxxx0101111098765111094321ZlYlXllZlYlXlyZlYlXllZlYlXlx0)()()()(0)()()()(811710695411310291ylZl ylYl ylXl ylxlZl xlYl xlXl xl列出以物方空间坐标为未知数的方程：0)()()()(0)()()()(811710695411310291ylZl ylYl ylXl ylxlZl xlYl xlXl xl120120)()(kryyyyyykrxxxxxx0022221111dZcYbXadZcYbXa一、DLT解法的性质本质是一种空间后方交会-空间前方交会解法。用物方空间布置的控制点解求li系数（相当于后方交会）用解求的li系数和两张以上待定点的坐标仪坐标解求待定点的物方空间坐标。二、控制点空间分布的要求控制点不能布设在空间的任意同一平面内。引申为控制点布设在空间的起伏不