未定式极限的计算

1、第四章第四章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学第二节第二节 未定式极限的计算未定式极限的计算01:0L Hospital、 型及型未定式解法法则定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax(1),( )( );(2),( )( )( )0;( )(3) lim();( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaf

2、xF xafxFxFxfxFxfxfxF xFx设当时 函数及都趋于零在点的某去心邻域内及都存在且存在 或为无穷大那末定理定理1定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为来确定未定式的值的方法称为LHospitalLHospital法则法则. .证证 定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)(

3、)()()()()(aFxFafxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx( )0( ),( )( )0fxfx F xF x如果仍属型，且满足定理的条件，可以继续使用LHospital法则，即.)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 注注：例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim

4、0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3cosl

5、im31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：注意：LHospitalLHospital法则是求未定式的一种有效方法，但法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 型未定式解法型未定式解法、00,1 ,0 ,02 例例7 7解解.lim2x

6、xex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为LHospitalLHospital法则可解决的法则可解决的类型类型 . .),00()( 型型 0)1(步骤步骤: :,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 )2(步骤步骤: :步骤步骤: :型型00,1 ,0)3( ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9 求求xxx 0lim解解 设设 取对数得取对

7、数得,xxy xxylnln 0)ln(limlnlim00 xxyxx0ln000limlimlimeeyxyxxxx 1 )0(0例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式

8、原式).sin1(limxx LHospital法则失效法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：LHospital法则的使用条件法则的使用条件极限不存在极限不存在 解解：nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx 解解：xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(lim 0!limxnxen。 nxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx。 xnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(limxnx

9、exlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(limxnxexlimxnxenx1limxnxexnn22) 1(lim 例例1313 求nxxxlnlim(n0)。 例例1414 xnxexlim(n 为正整数，0)。 解解：xxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx0lim0nxnx。 xxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxxxxnxlnlim0nxxxlnlim0101limnxnxx 解解：)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20

10、sincoslim2xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx)tan(seclim2xxxxxxcossin1lim20sincoslim2xxx。 例例1515 求0limxx n ln x (n0)。 例例1616 求)tan(seclim2xxx。 三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一

11、一定定不不存存在在？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、