数字滤波器理论及设计

1、数字滤波器理论与设计数字滤波器理论与设计|H( ejw w)|10通带通带过渡带过渡带阻带阻带cw wrw w2d d1d d- -1w w主要内容主要内容数字滤波器的基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计主要内容主要内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计1.数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念数字滤波器的定义：输入输出均为数字信号通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的器件优点：高精度，稳定，体积小，重量轻，灵活，不要求阻抗匹配，可实现模拟滤波器没法实现的特殊滤波功

2、能)(nh)(nx)(ny数字滤波器的分类：从适用范围角度分：经典滤波器：信号和干扰频带互不干扰（选频滤波器）现代滤波器：信号和干扰频带互相重叠（eg. 维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等）从实现的网络结构分：无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器从功能上分：低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器全通滤波器从信号的处理作用上分：选频滤波器其他滤波器：微分器，希尔伯特变换器，频谱校正等滤波器)(ejwH)(ejwH)(ejwH)(ejwH0低通0高通0带通0带阻wwww2-2-2-2-2222低通滤波器的技术指标：低通滤波器的技术指标：2010lg20| )

3、(| )(|lg20)()1lg(20| )(| )(|lg20)(2/2:0ddwwwwwwwwwwww-dBeHeHdBeHeHspjjsjjpcspspsp：阻带容限阻带内允许的最小衰减：通带容限通带内允许的最大衰减时当幅度为过渡带：阻带范围：通带范围：阻带截止频率：通带截止频率数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构IIR 的基本结构有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。（1）FIR的横截型结构（直接型）（2） FIR的级联型结构（3）FIR的线性型 结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构FIR滤波器主要内容主要内容数字滤

4、波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性因果系统 若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。非因果系统 如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。稳定系统 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 数学描述：线性系统： 满足叠加原理的系统 （可加性 ， 比例性）移不变系统 Mnx| )(|若 Pny| )(|则若系统响应与

5、激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统数字滤波器是线性移不变系统数字滤波器是线性移不变系统 m)-y(n )( y(n) )(-mnxnx 设连续的函数x(t)可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为X(s)，连续时间x(t)经采样周期为T的采样器后，变成离散信号 nTtnTxnxn-d序列的序列的Z Z变换变换snTnstnstnenTxdtenTtnTxdtenTtnTxnx- -)()()()()()(dd拉普拉斯变换:L L令 , 其中 z 为一个复变量则广义上讲T=1sTez -nnznTxzX)()(-nnznxzX)()(离散信号的Z变换Z变换基本性质变换基本性质线性和位移性序列线性

6、加权（ Z 域微分）序列指数加权（ Z 域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和 Z 域卷积定理帕斯瓦尔定理请同学们课后学习拉普拉斯变换、傅里叶变换、拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换变换时域：时域：复频域：复频域： Laplace 变换变换)(tx-dtetxsXst)()(jsf2j s 平面j0S平面0所以：Fourier 变换 频域：所以，傅里叶变换是S 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为：js0-dtetxjXtj)()( jsS平面0j得到：得到： 拉普拉斯变换 对应连续信号 Z变换 对应离散信号 TjTTjjeeerezw)(TjTjeerewTerTwsz与离散时间序列的傅里叶变

7、换， DTFT平面0z平面0-nnjjsjrjenxeXffTerezwwwww)()(/21zzImzRezRezImz1rLaplace 变换Fourier 变换 连续时间信号连续时间信号-dtetxsXst)()(-dtetxjXtj)()(S平面0jS平面0jz 变换Fourier 变换离散时间信号离散时间信号-nnznTxzX)()(-nnjenTxjXww)()(平面0zImzRezz平面0zRezImz1r系统函数系统函数系统函数定义为：系统函数定义为：系统零状态响应的系统零状态响应的Z Z变换变换与输入的与输入的Z Z变换变换之比之比NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNii

8、iMiii-一般111110)1 ()1 (1)(系统函数和差分方程的关系系统函数和差分方程的关系常系数线性差分方程的一般形式：常系数线性差分方程的一般形式：若系统的起始状态为零，直接对上式求若系统的起始状态为零，直接对上式求z z变换：变换：-MmmNkkmnxbknya00)()(-MmmmNkkkzXzbzYza00)()(23所以有：所以有：00MmmmNkkkbzYzHzXzaz-将上式进行因式分解得：将上式进行因式分解得：使分子多项式使分子多项式 = 0 的的 的的 Zeros (零点零点)使分子多项式使分子多项式 = 0 的的 的的 Poles (极点）极点）-NiiiMiiiz

9、bzazH101)(0id0ic)(zH)(zH-NiiMiizdzcAZH1111)1 ()1 ()(系统频率响应的意义系统频率响应的意义 为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的稳态响应，这就是系统的频域表示法。稳态响应，这就是系统的频域表示法。 jn mj nj mmmy nh m eeh m ewww-设输入为：设输入为：则：则：-nenxnj,)(w 当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指当系统输入为复指数序列，则输出为同频的复指数序列，其幅度受频率响应

10、幅度数序列，其幅度受频率响应幅度 加权，而输加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。系统的频系统的频率响应率响应-nnjjjnjenheHeHenywwww)()()()()(wjeH表征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。H(z)的极点：单位圆内wwwwwwjezjjjjjzHzHeHeHeHeHeH-| )()( )()()()(| )(|1*2Re zIm jz01a-a*a*1/aRe zIm jz01a-a*a*1/a相位响应：wwwwwwwwwwwwwwwwwwjjjj

11、ezjjjejjjejjjjjjjjejjjzHzHjeHeHjeeeHeHeeHeHeHeHeeHjeHeeHeH-)()(ln21)(ln21)()(| )(|)()(Re)(Imarctan)()(Im)(Re| )(|)(1*)(2*)(*)(相位响应：位于单位圆内的零位于单位圆内的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化为2p2p位于单位圆外的零位于单位圆外的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化为 0 0Re zIm jz002 ,w2w当Re zIm jz-NkkimiMmiMNdeceAeH11)(argarg)(argwwww令：单位圆内零点数为单位圆内零点数为mmi i单位圆

12、外的零点数为单位圆外的零点数为mmo o单位圆内的极点数为单位圆内的极点数为p pi i单位圆外的极点数为单位圆外的极点数为p po o则：则：-NkkimiMmiMNdeceAeH11)(argarg)(argwwwwiommMioppNiiipmMNAeHww22)(2)(arg2-全部极点在单位圆内：全部极点在单位圆内：p po o = 0= 0，p pi i = N= Nn因果稳定系统因果稳定系统1 1）全部零点在单位圆内：）全部零点在单位圆内：2 2）全部零点在单位圆外：）全部零点在单位圆外：0,iommM 为为最小相位延时系统最小相位延时系统为为最大相位延时系统最大相位延时系统相位

13、延时系统相位延时系统, 1 zr rn 0n 0时，时，h(n) = 0h(n) = 0, 1 zr riiipmMNAeHww22)(2)(arg2-22 ()0imNM-,0iomM marg2 N0,iommMarg2 ()NM-最小相位延时系统的性质最小相位延时系统的性质1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在 相同的系统中， 唯一3）最小相位序列的 最大：22min00( )( )mmnnh nhn1mN-1122min00( )( )NNn

14、nh nhn-min(0)hmin(0)(0)hh()jH ewmin( )hn()jH ew群延时响应：相位对角频率的导数的负值若滤波器通带内 ，则为线性相位滤波器。 wwwwjezjjzHdzzdHzdede-)(1)(Re)()(常数)(wje主要内容主要内容数字滤波器简介数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计-NiNiiiinybinxany01)()()(数字滤波器的数学描述：1)差分方程NMzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMiii-一般111110)1 ()1 (1)(2)系统函数数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计三个步

15、骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法IIR滤波器：零极点位置累试法零极点位置累试法。用模拟滤波器理论来设计数字滤波器用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。直接在频域或时域中进行，需要计算机辅助FIR滤波器：窗函数法频率采样法1.切比雪夫等波纹逼近法IIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法IIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法-NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1

16、)(IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为系统函数的设计就是要确定系数 ， 或者零、极点 ， 以使滤波器满足给定的性能要求。ibiaicid这种设计一般有3种方法。 零极点位置累试法零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用于简单滤波器。 用模拟滤波器理论来设计数字滤波器用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。 脉冲（冲激）响应不变法 双线性变换法3.3.用计算机辅助设计用计算机辅助设计，优化技术设计。冲激响应不变法冲激响应不变法变换原理数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应h h( (

17、n n) ) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应h ha a( (t t) )()(nTThnhaT抽样周期抽样周期)(txa)(tya)(tha)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nTThnha对于一个线性时不变的因果的模拟系统，对于一个线性时不变的因果的模拟系统，其输入输出关系为：其输入输出关系为：wddhtxthtxtyaaaaa-00)()()()()()()()()()()()()()0()()()2()()0()(limlimlimlim00000tykThkTtxTkThkTtxThTtxhtxTkTTTTtyTTkaaTaaaaaaTTa-ww

18、ww)()()(waahtx-其中该积分即为0区间曲线()下的面积，此面积可近似地用求和来计算（即将 轴离散化为：0、T、2T、）：0()T(4T)0()-0)()()()()(kknxkhnxnhny-000)()()()()()()()(kakakaaTaTknxkhkTnTxkhkThkTnTxTnTynTy)()(kTThkha其中：上述等式当中要求T趋于0等号才成立。但抽样周期T不可能为0，那么当T足够小的时候，再把变量t用nT代替，有：而数字系统而数字系统h(n)的输入为的输入为x(n)的时，其输出为：的时，其输出为：)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nTThnha将

19、相应的模拟信号的取样xa(nT)和模拟系统的频率响应Xa()替换为ha(nT)和Ha()：)()(snanTjnanHenThT-)()()()()(snajnjnnTjnnTjnanHeHenhenhenThT-ww)()(nhnThTa)()(snajnHeH-w令得所以滤波器实现的条件是所以滤波器实现的条件是H(ej)和和H()满足如下关系满足如下关系：H(ej)和H()满足关系：)()()(snaTjjnHeHeH-w可看出：如果如果Ha()被限制在一个周期内，则被限制在一个周期内，则H(ej)在此区间内在此区间内与与Ha()完全一致。如果完全一致。如果Ha()不被限制在不被限制在-s

20、/2 s/2之内，则之内，则H(ej)将产生混叠失真。将产生混叠失真。| )(| | )(|TjjeHeHw2/s2/s-ss-NiiiapsAsH1)(-NitpiaatueAsHLthi11)()()(冲激响应不变法的设计过程如下：已知一模拟滤波器系统函数：-NiiMiiNiiiMiiiapsqsAsbsasH1100)()()(设MN)为方便求出其时域单位脉冲响应，将上式化为部分分式之和的形式：由拉氏反变换得模拟滤波器在时域的单位脉冲响应：z平面ImRe冲激响应不变法 s z由上述Ha(s) 和H(z)的表达式可看出：si=pi是模拟滤波器的一个极点，则相应的zi=ePiT就是数字滤波器

21、里的一个极点。推而广之，则可得到脉冲响应不变法下的s平面和z平面的映射关系：z=esT 令z=ej，s=+j可得z平面的模、幅角和s平面的实部、虚部之间对应的关系：s平面2sTT-jTjTjeeewTeTw,101010的周期是2的周期是2/T注意，由的周期性可见，必须满足模拟滤波器的最高频率ms/2或频响Ha()必须在/T, /T上严格限带的。n优点：优点：n缺点：缺点：n保持线性关系：保持线性关系：w w= T线性相位模拟滤波器转变为线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位数字滤波器n频率响应混叠频率响应混叠n只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)

22、完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时时域逼近良好域逼近良好脉冲响应不变法的优缺点脉冲响应不变法的优缺点q冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真q为了克服这一缺点，采用双线性变换法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似双线性变换法双线性变换法变换原理及特点变换原理及特点q脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。q改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。Z平面1j1Tjjee1w单位圆T/T/-Tsez1T1wjZ平面1j1Tjjee1w单位圆T/T/-Tsez1T1wjTjTjTj

23、TjTjTjeeeeeeTTjTjtgj11111111)2cos()2sin()2(2222111-:,- 1:,T T -12Ttg 11s TzeTw 1111-zzsssz-11TjTjeeTjtgj1111)2(1-TsTsees1111-n为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zscz-cszcs-js 11js 1s Tze2 2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格

24、相等，可以较准确特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置地控制截止频率位置变换常数变换常数c c的选择的选择12Tc tg 2cTccw 122cccTc tgc tgw 2cccctgw 1 1 12Tc优缺点优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为单值变换2c tgw 00w 00w w q 缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近， 与与w w之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器

25、）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变11/Tw 11112 tgcww-常用模拟低通滤波器常用模拟低通滤波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth Butterworth 滤波器滤波器n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev Chebyshev 滤波器滤波器n椭圆椭圆 Ellipse Ellipse 滤波器滤波器n贝塞尔贝塞尔 Bessel Bessel 滤波器滤波器这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲这些滤波器都有严

26、格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。线和图表供设计人员使用。巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计幅度平方函数：幅度平方函数：当当称称 为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽NN为滤波器的阶数为滤波器的阶数为通带截止频率为通带截止频率221()1aNcHj2()1/2acHj时1( 0)20lg3()aacHjdBHjdcc1）幅度函数特点：）幅度函数特点：n n 当当 st（阻带截止频率）时，衰减的（阻带截止频率）时，衰减的d d1为阻带最小衰减为阻带最小衰减012300.81MagnitudeButterwo

27、rth FilterN = 2N = 4N = 10221()1aNcHjc c 21()1/23caHjdBd 20()1aHj 3dB不变性不变性通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2 2）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj-1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN- - 极点在极点在s平面呈象限对

28、称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共圆上，共2N点点 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上极点不落在虚轴上 N N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布(a) N=4 (三阶）三阶） (b)N=4 （四阶）（四阶）/ N rad3 3）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数为归一化系统的系统函数去归一化，得去归一化，得1( )()NcaNkkHsss-1 21221,2,.,kjNkcsekN- 1 /ccrrad s ( )a

29、nHs( )( )crcaanssHsHscrancsH4)4)滤波器的设计步骤：滤波器的设计步骤：n根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：n确定技术指标：确定技术指标：由由得：得：同理：同理：令令则：则：221()1apNpcHj120.10.1101101spkdd-12psdd120lg()apHjd -120.1110Npcd220.1110NscdsspplglgspspkN -120.10.1101101Npsdd-n求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：或者由或者由N，直接查表得，直接查表得其中技术指标其中技术指标 c给出或由下式求出：给出或由下式求出：其中极

30、点：其中极点：n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕或或通带指标有富裕通带指标有富裕 11( )()anNkkHsss-( )anHs( )aancsHsH110.12101Ncpd- -1 21221,2,.,kjNkcsekN- 210.12101Ncsd- -n例：设计例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于0.2 rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率在频率0.3 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。别用冲激响应不变法和双线性变换法。1

31、、用冲激响应不变法设计、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s/0.2 /ppTrad sw /0.3 /ssTrad sw 0.2 pradw0.3 sradw11dBd215dBd11dBd215dBda）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器/1.5spsp 120.10.11010.092101spkdd-lg/lg5.8846spspNkN - 取

32、110.121010.7032/Ncprad sd- -b) 求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化1 21221,2,.,6kjNkcsek-661( )()cakkHsss-234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssss4）将）将Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：1

33、( )NkakkAHsss-11( )1kNks TkTAH zez-1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz-1121.85580.630410.99720.2570zzz-2、用双线性变换法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：20.65 /2pptgrad sTw 21.019 /2sstgrad sTw 0.2 pradw0.3 sradw11dBd215dBd11dBd215dBd1Ts选a）确定

34、参数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器/1.568spsp 120.10.11010.092101spkdd-lg/lg5.3066spspNkN- 取210.121010.7662/Ncsrad sd- -b) 求出极点（左半平面）c) 构造系统函数构造系统函数121221,2,.,6kjNkcsek- 661( )()cakkHsss-或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化234561( )1 3.86377.46419.141

35、67.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss( )aancsHsH4）将）将Ha(s)变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：112 11( )( )azsTzH zHs-121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz-121(10.90440.2155)zz-FIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法q 单位冲激响应只有有限多项单位冲激响应只有有限多项q 可以设计成线性相位系统可以设计成线性相位系统q 只在零点处有极点，因此系统总是稳定的只在零

36、点处有极点，因此系统总是稳定的q 便于便于DSPDSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）约存储器）FIR滤波器的主要特点：滤波器的主要特点：FIR与与IIR相比较：相比较：q 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点；q 其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；q 最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。76FIR-h(n) 有限长度有限长度IIR-h(n) 无限长度无限长度01( )()()NNiiiiy na x nib y ni- - - - - 10Ni)in(x)i (

37、h)n( y NnnH zh n z-10 - - - - - NkkiMkkizbza)z(H101 H z aHs h njH ew wjdHew w线性相位设计的重要性线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180o2、系统非线性相移造成输出信号失真wwwdd)()(f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f (w w)f1 f2f (w w) 系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延3、忽略相位信息的后果输入波形输入波形DFT变换变

38、换忽略相位忽略相位信息信息IDFT变换变换输出波形输出波形线性相位要求：线性相位的线性相位的FIRFIR滤波器设计基础滤波器设计基础constant)(-wwddgwwg)(-NpgpTTph00)(sinw- 系统的群延迟系统的群延迟线性相位线性相位FIR滤波器特点滤波器特点 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：系统函数：系统函数：( )01h nnN-10( )( )NnnH zh n z-o 收敛域包括单位圆；o z平面上有N-1个零点；o z=0是N-1阶极点;特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位一、设计思想一、设计思想 设希望设计的滤波器传输函数为设希望设计的滤

39、波器传输函数为H Hd d(e(ejj) )，h hd d(n)(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此是与其对应的单位脉冲响应，因此 ： 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRFIR滤波器滤波器()()1()()2jjddnjjnddHehnehnHeedwwwww- - -n()()1()()2jjddnjjnddHehnehnHeedwwwww- - -问题问题：一般情况下一般情况下H Hd d(e(ejj) )是逐段恒定的，在边界频率处是逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，所以有不连续点，所以h hd d(n)(n)是无限时宽，且为非因果，这样是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。的系统

40、不能实现。二、加窗处理对二、加窗处理对FIRFIR滤波器幅频特性的影响滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)= h(n)= h hd d(n)(n) R RN N(n)(n)。即用一个。即用一个有限长的序列有限长的序列h(n)h(n)去代替一个去代替一个无限长无限长的序列的序列h hd d(n)(n)，会产生误差，时域中是会产生误差，时域中是截断处理截断处理，在频域表现，在频域表现出的现象就是出的现象就是通带和阻带中有波动通带和阻带中有波动，也称为吉布斯效应，也称为吉布斯效应( (截断截断效应效应) )。 这样设计出来的这样设计出来

41、的频响频响 H(eH(ejwjw) ) 只能是尽量逼近要求的只能是尽量逼近要求的(1( )()( )2jjjdNH eHeRe dww -(1( )( ) ()2j jjdNH eH e R e dw w -(1() ()()2jj jd NH e H e R edw w -(1( )( ) ()2j jjdNH eH e R e dww -*(1() ()()2jj jd NH e H e R edw w -(1()()()2jjjdNH eH eR edww -111( 1 )200s in ( /2( )()()s in (/2 )NNj NjjnjnjaNNNnnNReRnee eR

42、ewwwwwwww- -111( 1)200sin(/2( )( )( )sin( /2)NNj Njj nj njaNNNnnNR eR neeeRewwwwwwww-)( )()jjaddHeH ewww-() ()jjaddH e Hewww-( )( )jj addH eHewww-1,()0,cdcHwwwww矩形窗的幅度函数理想低通滤波器的幅度特性()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRdwwwww-()1()()()21()()2jjajadNjadNHeHeRedeHRdwwwww-()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRdw

43、wwww-() ()jjaddH e Hewww-s i n (/2 1(),s i n (/2 ) 2NN NRwww-*( ) ()1()() ( )2jjadNH e H eHH Rdwwww w-结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hd()与矩形窗幅度特性Rd()的卷积。H Hd d()()与与R Rd d()()卷积形成卷积形成H()H()的过程的过程()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRdww www-( ) ()1()() ( )2jjadNH e H eHH Rdwwww w-Wc+2/NWc2/NH(w)最

44、大的正峰与最大的负峰对应的频率相差4/NH(H() )与原理想低通与原理想低通 H Hd d( () )差别有以下差别有以下2 2点：点： H(H() )在在 = =C C附近形成过渡带附近形成过渡带，过渡带，过渡带宽度宽度B=4B=4 /N/N，近，近似于矩形序列似于矩形序列幅度谱幅度谱R RN N( () )的主瓣宽度的主瓣宽度； 通带内增加了通带内增加了波动波动，最大的峰值在，最大的峰值在 = =C C- -2 2 /N /N 处，阻处，阻带内产生了带内产生了余振余振，最大的负峰值在，最大的负峰值在 = =C C+2+2 /N /N 处。幅度谱处。幅度谱R RN N( () )波动越快波

45、动越快(N(N加大加大) )，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响大小直接影响H(H() )波动的大小。波动的大小。 H Hd d()()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响: (1)通带内的波动影响滤波器通带的平稳性；(2)阻带内波动影响阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求；2 2、改善窗函数的形状、改善窗函数的形状 减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的窗函数的形状形状找出解决方法，主要考虑以下找出解决方法，主要考虑以下2 2点因素：点因素： 尽量尽量减小主瓣宽度减小主

46、瓣宽度，以获得较窄的过渡带；，以获得较窄的过渡带；(1)(1) 尽量使窗函数的尽量使窗函数的最大副瓣最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性中滤波器幅度特性中肩峰和余振较小肩峰和余振较小，阻带衰减较大。，阻带衰减较大。三、窗函数法的设计步骤三、窗函数法的设计步骤1 1确定希望逼近的滤波器的频响函数确定希望逼近的滤波器的频响函数H Hd d(e(ej j) )2 2、根据、根据H Hd d(e(ej j) )确定其对应的单位脉冲响应确定其对应的单位脉冲响应h hd d(n)(n)22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM-IDFT( )()Mdr

47、hnhnrM-RM(n)1( )()2jjddh nHee dwww-n(1) Hd(ej)可封闭求解，则：(2) Hd(ej) 不可封闭求解，对Hd(ej) 从 =02采样M点，采样值为 Hd(ej2k/M)，k=0,1,M-1，用2/M 代替上式中d ，则：(3) (3) 如果已知通带如果已知通带( (或阻带或阻带) )衰减和边界截止频率衰减和边界截止频率c c，选，选理想理想滤波器滤波器作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作 IFT IFT ，求出，求出 h hd d(n)(n)。,()0,jacjdceHewwwwww-) ()( sin) ( 212

48、1) () (a na n wa n jedwe en hCwwa n jwjwnwwjwadCCCC- - - - - - - - - - )()(sin)(2121) ()(ananwan jedweenhCwwa njwjwnwwjwadCCCC- - - - - - - - - - 2、选择窗函数 根据根据过渡带过渡带与与阻带衰减阻带衰减的要求，选择满足条件的的要求，选择满足条件的窗函数形式窗函数形式，并并估计窗口长度估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。的窗函数。3 3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应、计算所要

49、设计的滤波器的单位采样响应h(n)h(n) 计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hh(n)= hd d(n)(n) w(n)w(n)。其中。其中 w(n)w(n)是上面选择好的窗函数，是上面选择好的窗函数，h hd d(n)(n)与与w(n)w(n)都应满足线性相位都应满足线性相位要求。要求。 4、验证技术指标是否满足要求 已设计出的滤波器的频率响应 。验算H(ej)是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2，3，4过程。10()( )Njj nnH eh n eww-窗函数法优点：窗函数法优点： 从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。从时域出发的一种设计方

50、法，设计简单，方便，实用。缺点是：缺点是： 要求用计算机实现，边界频率不易控制。要求用计算机实现，边界频率不易控制。Hd(ej)h(n)hd(n)IFT加窗截断FT比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数H (ej)一、频率采样法基本原理一、频率采样法基本原理设设 H Hd d(e(ej j) ) 为所要设计的数字滤波器的频率响应，则为所要设计的数字滤波器的频率响应，则: :1 1、在、在w w= = 范围内对范围内对 H Hd d(e(ej j) ) 进行进行N N点等间隔采样，得到点等间隔采样，得到H Hd d(k)(k)用频率采样法设计用频率采样法设计FIR滤波器滤波器2210

51、()(),0 ,1, 2 ,11()(),0 ,1, 2 ,1jddkDNjk nNdkHkHekNhnHkekNNww- - -2210()(),0 , 1 ,2 ,11() (),0 , 1 ,2 ,1jd dkDNjk nNdkH kH e k Nh n H k ek NNww- -2210()(),0 ,1 ,2 ,11() (),0 ,1 ,2 ,1jd dkDNjk nNdkH kH e k Nh n H k ek NNww-2210() () , 0 ,1 ,2 , 11()() , 0 ,1 ,2 , 1jddkDNjk nNdkH kH e kNh n H k ekNNww-

52、 - -2210()(),0,1, 2,11()(),0,1, 2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNNww- - -2210()(),0 , 1 , 2 ,11()(),0 , 1 , 2 ,1jddkDNjk nNdkHkHekNhnHkekNNww- - -2 2、对、对N N点点Hd(K)Hd(K)进行进行IDFTIDFT，得所设计的滤波器的单位，得所设计的滤波器的单位脉冲响应脉冲响应h(n)h(n)3 3对求出的对求出的h(n)h(n)进行进行z z变换，得到滤波器的系统函数变换，得到滤波器的系统函数H(z)H(z)10( )( )NnnH zh n z-12011( )( )1NNdjkkNzHkH zNez-或利用频域内插公式Hd(ej)Hd(k)h(n)H(ej)等间隔采样ID