直线、平面平行的判定与性质知识点及题型归纳

1、直线、平面平行的判定与性质知识点及题型归纳知识点精讲一、直线和平面平行1 .定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面 平行，记作l /2 .判定方法（文字语言、图形语言、符号语言 ）（见表8-9）表8-9文子语百图形语百符号语后线/线 线/面如果平囿外的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这 条直线和这个平面平行（简记为 “线线平行线面平行Z_/1/11111 /1面/面 线/面如果两个平囿平行，那么在一个 平面内的所有直线都平行于另 一个平面/ -/ / /a/a3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-10）表 8-10文字语百图形语百符号语后线“面线/线如果一条直线

2、和一个 平囿平行，经过这条L1/11 / 1直线的平囿和这个平 11 1面相交，那么这条直/A夕I1线就和交线平行二、两个平面平行1.定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和，若I ，则 /2.判定方法（文子语百、图形语百、符号语百）（见表8-11 ）表 8-11文子语百图形语百符号语后判定定理线/面面/ 面如果一个平囿内有两条相 交的直线都平行于另一个 平囿，那么这两个平囿平 行（简记为“线面平行 囿囿平行a , b ,a I b Pa/ , b/线面面/ 面如果两个平囿向垂直十- 条直线，那么这两个平面 平行/1/1一/ /文子语百图形语百符号语后面面线/面如果两个

3、平囿平行，那 么在一个平面中的所 有直线都平行于另外一个平面/a/ a/ /性质定理如果两个平行平囿同 时和第三个平面相交， 那么他们的交线平行 (简记为“面面平行 线面平行”)5p7/Iaa/b.Ib面面线面如果两个平囿中什- 个垂直干-条直线，那么另一个平囿也垂直 于这条直线/ ll/I./ ;1 /题型归纳及思路提示3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-12）表 8-12题型1证明空间中直线、平面的平行关系思路提示：线线平行、线面平行、面面平行的转换如图8-90所示.A.若 m/ ,n/，则m/nB.若，则/C.若m/ ,m/，则 /D.若m ,n，则m/n解析:举反例排

4、除，如图8-91正方体模型所示，AB/底面A1C1, AD底面AiCi,但AB和AD不平彳f, A选项错误，同理， 平面AC 平面BC1,平面AB1 平面BC1.故B选项错误，AB底面A1C1, AB底面AiC, 而两个平面为相交关系，故C错，选D.图 8-91评注：此类问题可以特殊化为一个长方体的；棱，面等，进而进行转化变式1已知m,n是两条不同的直线，是二个不同的平面，给出下列四个命题：。m ,m/n,则n CD / , m , n则m/n. m/ ,m/n,则n/ .（4 / ,m/n,m，则n其中正确的序号是（）A. 0（3B.G）C4C.O（4D.G）（3变式2给出以下四个命题：如果

5、一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直变式3若平面 / ,直线a/ ，点B ,则在平面内过点B的直线中（）A.不一定存在与a平行的直线.B.只有两条与a平行的直线.C.存在无数条与a平行的直线.D.只有一条与a平行的直线.例8.25如图8-92所示，已知 E,F,G,H分别为空间四边形 ABCD的边AB, BC,CD,DA上的点，若EH /FG，求证：EH /BD .解

6、析 因为EH/FG , EH 平面BCD , FG 平面BCD，所以 EH平面BCD .又EH 平面ABD,平面ABDI平面BCD=BD ,所以EH BD.图 6-02评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法，也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传递性来证明.变式1如图8-93所示，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，AD BC,E是DD 1的中点，F是平面BiCiE与直线 AAi的交点，证明：EF AiDi.国 8-93变式2 （20i2北京海淀区一模理 i6 （i）如图8-94所示，在四锥P-ABCD中，ABCD,设平面PAB I平 面 PCD=m,求证：CD/ m.二、

7、线面平行的证明方法：线面平行的证明方法主要有两种：（i）由线线平行线面平行，其证明途径通过平面外的直线与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知平面平行，证明直线与平面平行 .方法i:由线线平行和线面平行的相互转化，求证线面平行例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为 P,底面圆心为 O, AB和CD是底面圆。上的两条平行弦，证明：平 面PAB与平面PCD的交线平行于底面.分析：本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合, 即线线平行 线面平行 线线平行.解析：设平

8、面PAB和平面PCD的交线为l .因为ABCD,AB 平面PCD ,CD 平面PCD，所以AB平面PCD.又因为AB 平面PAB,平面PAB I平面PCD= l.所以AB/ l ,由直线AB在底面上，l在底面外，所以有 l与底面平行.图 8-95变式1如图8-96所示，在三棱锥 P-ABC中，E,F,分别是PA,PC的中点，记平面 BEF与平面ABC的交线 为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.图 8-96方案二：平行进面法（同向进面法）思路提示：如图 8-97所示，证明AB/分析过程：AB/ AB/CD 四边形ABCD为平行四边形AC/BD 例8. 27如图8-98所示，四棱

9、锥 P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB和PD的中点, 求证AF平面PCE.解析：如图8-99所示，取PC中点为G,连接EG,FG,由F为PD的中点，则FG/1CD .21由已知有AE/ CD, AE/FG ,故四边形 AEGF为平行四边形，因此 AF/EG, 2又EG 平面PCE, AF 平面PCE,所以AF平面PCE.E 8-98图 8-99评注：通过同向进面法能有效的在平面PCE中找到与AF平行的直线，点 A沿AE方向进平面于点 E,点F同向沿AE进平面于点 G,连接EG,构造平行四边形 AEGF,只要证明EG AF即可.变式1如图8-100所示，在四棱锥 O-A

10、BCD中，底面ABCD为平行四边形，M为OA的中点，N为BC的 中点，求证：直线MN 平面OCD.图 8-100变式2如图8-101所示，在多面体 ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF AB,AB=2EF,H为BC的中点, 求证：FH 平面EDB.图 8-101例8.28如图8-102所示，在长方体 ABCD-AiBiCiDi中，E为CD的中点，在棱 AAi上是否存在点 P,使得AP 一DP平面BiAE,若存在，求 的值；右不存在，说明理由AA1 一、一 .一. 、一、，、，一 . ， 一 1分析:先假设存在，推理出点P的位置，再证明，根据平行进面法，点D沿着DC方向到达点E,且DE=

11、'dC ,2若存在，则点P也可沿同样方向运动且等距离进入平面BiAE,从而易猜出P为AAi中点.AP 1 一解析：在AAi上存在点P使得DP平面BiAE,且=-.证明如下:AA i 2i如图8-i03所不，取AAi中点P,ABi中点Q,连接PQ,PD,QE,则在VAAiB1中，PQ为中位线，即PQ/AB.2又长方体 ABCD-AiBiCiDi中,，,，1 ，1 -E 为 CD 中点，故 DE/£-ABiZ/AiBi.故PQ/DE ,所以四边形 PQED为平行四边形，所以 DPEQ,又DP 平面B1AE , EQ 平面B1AE ,所以DP平面BiAE.变式1如图8-104所示，

12、在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是梯形，AB CD,AB=2CD.在棱PB上是否存在点M使彳导CM平面PAD?若存在，求PM的值，若不存在，请说明理由PBS 8-104变式2如图8-105所示，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，E是棱DDi中点，在棱 CiDi上是否存在一点 F,使 得BiF平面AiBE?ffi明你白结论.图 8-105方法三：相交进面法(不同向进面法)思路提示：如图 8-i06 (a) (b)所示，证明 AB/ a。分析过程(1):EC EDAB / a ?AB / CD?在三角形 ABE 中 CA DB 分析过程（2）:EA EBAB / a?AB/ CD?在三

13、角形 CDE 中 AC BD例8.29如图8-107 (a)所示，三棱柱 ABC-A1B1C1中，D是BC的中点。求证：A1C/平面AB1D。E D CB D C(a)图 8-107分析：要证明线面平行，可通过线线平行？线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行。观察图形，易知采用相交进面法(不同向进面法) ：点C进入平面AB1D到点D延长到B,连接A1B,与 平面AB1D相交于点 巳 从而证明 A1C / DE即可。解析： 如图8-107 (b)所示，连接 A1BHAB1=E,连接DE。因为ABC-A1B1C1是三棱柱，所以四边形 A1B1BA是平行四边形，故 E为A1B的中点。又因

14、为 D是BC的中点，所以 DE是ABA1C的中位线，所 以DE/A1C。因为 DE 平面 AB1D, A1C 平面 AB1D,所以 A1C/平面 A1BD。变式1 如图8-108所示，三棱锥 P-ABC中，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，G为OC的中点。求 证：FG/平面BOE。变式2(2012辽宁理18 (1)如图8-109所示，在三棱柱 ABC-A'B'C'中，点M、N分别为AB和B'C'的中点。证明：MN/平面A'ACC'lir-国 8-109变式3 如图8-110所示，在四面体 A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点

15、，点 Q在线段AC上, 且AQ=3QC。求证：PQ/平面BCD例8.30如图8-111所示，三棱柱 ABC-AiBiCi中，。为AC的中点。在BCi上是否存在一点 E,使得OE/平面A1ABB1,若不存在，说明理由；若存在，确定点 E的位置。图 8-111图 8-112解析： 在BC上存在点E,使得OE/平面A1ABB1,且E为BC1的中点，证明如下：如图 8-112所示， 连接BC,设B1CABC1=E,连接OE。由三棱柱 ABC-A1B1C1,得四边形BCC1B1为 平行四边形，故 E为 B1C中点，又。为AC中点，所以 OE为AAB1C的中位线，所以 OE/AB1,有OE?平面A1ABB

16、1 , AB1? 平面A1ABB1,所以OE/平面A1ABB1。得证.变式1如图8-113所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点 M在线 段PC上，PM=tPC,试确定t的值，使 PA/平面 MQB。AB / a。方法四：由面面平行证线面平行思路提示：证明 分析法过程：AX PAB / a?平面 8H a (AB? 3),(其中平面 3通常为平面 ABX) ?BX P例8.31 (2012北京西城一模理17 (2)改编)如图8-114所示，四边形 ABCD与BDEF均为平行四边形。 求证：FC/平面EAD。4BS 8-114分析本题利用线线平行证明线面平行

17、很难入手，因此考虑利用面面平行的性质定理，及面面平行证明线面平行。解析 因为四边形 ABCD与BDEF均为平行四边形， 所以BC/ AD , BF / DE ,又BC?平面EAD, AD平面 EAD,故BC/平面 EAD。同理 BF/平面 EAD ,又BCABF=B, BC、BF?平面FBC,所以平面 FBC平面 EAD。又FC?平面FBC,所以FC/平面 EAD.评注本题证明线面平行是通过面面平行证明线面平行，直接由线线平行证明线面平行较之难度大。变式1 如图8-115所示，几何体 E-ABCD是四棱锥，AABD为正三角形，CB=CD。若/ BCD=120°, M为 线段AE的中点

18、，求证：DM /平面BEC。三、面面平行的证明思路提示：常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面。例8-32如图8-116所示，已知三棱柱 ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点。求证：平面 B1FC /平面 EAD。图 8-116解析 因为在三棱柱 ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为BC、BB1、AA1的中点，所以 AF/B1E,故四边 形AFB1E是平行四边形，即 AE/B1F。又AE?平面B1FC, B1F?平面B1FC,故AE/平面 B1FC。在ABCB1中，DE是中位线，故DE / CB

19、1 ,又DE?平面B1FC, CB1?平面B1FC,故DE/平面 B1FC。 由及 AEADE=E, AE、 DE?平面EAD ,得平面 B1FC/平面 EAD。评注证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行。变式1（2012北京海淀二模理16 （1）如图8-117所示，点C在以AB为直径的。上，点E为线段PB的中点，点 M在AB上，且 OM/AC。求证：平面 MOE/平面PAC。有效训练题1 .在空间中，下列命题中正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2 .设m、n是平面a内的两条不同直线；l1、

20、l2是平面3内的两条相交直线，则 a / 3的一个充分而不必 要条件是（）A. m/ 3且 l1 / a B. m/ l1 且 n / l2 C. m / 3且 n II § D. m / 3且 n / l23 .对于平面a和共面的直线 m、n,下列命题中是真命题的是（）A.若m、n与a所成的角相等，则 m / nB.若 m / a, n / a,则 m / nC.若 m,a, m± n,则 n II aD.若 m a, n " % 贝U m " n4.已知m、n为两条不同的直线,3为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是（A.若 m a, n a,

21、m/ & n/ 3,则 a/ 3B.若 m a, n 3, a/ 3,则 m/ nC.若 m,a, m±n,贝U n"aD.若 m"n, n± a,则 m,a5 .平面a/平面3的一个充分条件是（A.存在一条直线a, a/ a, a/ 3C.存在两条平行直线a、b,aa,bD.存在两条异面直线a、b,a%b6 .已知两条不同直线a、b和不重合平面B.存在一条直线 a, a a, a/ 33,a /3,b /a&a /3,b /a“、&则a / b的一个充分条件是（）A. a / a, b / aB. a/ a, b/ 氏 a /

22、3C. a± a, b± 3, a H § D . a, & a± a, b H §7 .在四面体 ABCD中，M、N分别是AACD、A BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是8 .如图8-118所示是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中,命题AB与CD相交；MN / PQ;AB / PE;MN与CD异面； MN /平面 PQC.卜列五个Q c曲11S其中真命题的序号是9.已知m、n是不同的直线,若m / a,则m平行与平面“、3是不重合的平面给出下列命题：a内的任意一条直线；若a/ 3, m a, n3,则 m / n若 m± a, n±