常微分方程讲义(六)

1、常微分方程讲义（六） 线性微分方程的解法：常系数线性微分方程（特征方程） 变系数线性微分方程（欧拉方程） N N 阶线性齐次微分方程： dny dxn dn 1y a1(x) n 1 dx dy an 1(x) an(x)y dx o （ A A） N N 阶线性非齐次微分方程： n d y dxn n 1 a,x)d ny dx dy an 1 (x) an(x)y dx f(x) (B B) 特解的初始条件限制： y(x), y(xo), y(x), yn 1(xo) 引入记号: Dk ； L（D） : N N 阶线性微分算子 d n dn 1 L(D) a1(x)歹 d an 1 (x)

2、 an(x) dx L(D)y 器 dx n 1 d y ai(x) nr dx dy an i(x) an(x)y dx A A 式可简写为 L(D)y B B 式可简写为L（D）y f(x) L(D)(yi y2) L(D)yi L（D）y2，即可写成 dn(yi y2) dxn dnyi dxn n d y2 dxn $、dn 1(yi y2) ai(x) dx .n 1 ,、d yi ai(x) nr dx n 1 /、d y2 a1(x) nr dx ani(x辱 dx y2) an(x)(yi y2) an i(x)啓 an(x)yi dy2 an i(x) an(x)y2 dx

3、因此，求“齐次”通解的关键是求 ，引入特征方程: L(D)(cy) cL(D)y，即可写成 若yi(x)是 A A 或 B B 的解，则 qyj(x)也是 A A 或 B B 的解 定理 1 1 : L(D)y 0与L(D)y f(x)的解存在 定理 2 2： L(D)y 0有 n n 个线性无关解 n 定理 3 3：设yi是L(D)y 0的 n n 个线性无关解，则L(D)y 0的通解是 oy： i 1 定理 4 4 :设丫是L(D)y 0的通解，而y*是L(D)y f (x)的特解，则y Y y*是 L(D)y f(x)的通解 定理 4 4 揭示了线性微分方程与线性微分方程组的解题三部曲：

4、 第一步：求“齐次”的通解 三部曲第二步：求“非齐次”的特解 L第三步：相加，得到“非齐次”的通解 常系数线性微分方程的求解(特征方程的方法) - 三部曲之一：求“齐次”的通解 dncy n 1 d cy ai(x) k dx c dny dxn &(x) n 1 d y n 1 dx an 1 (x) an (x)cy dx dy an 1 (x) an(x)y dx 因此，求“齐次”通解的关键是求 ，引入特征方程: 矽 0 解 y Cea1x dx Ce dny dxn dn a1 dxn an 普 any 0 dx C1e 1x C2e 2X 特征方程的解分成四种情况： ai an 1

5、an 0 1 1、 单的实根 则L(D)y 0的通解为Y Cie 1X C2e 2X 2 2、 单的复根 i ，则L(D)y 0的通解为Y i X(C1 cos x C2 sin x) 3 3、 重的实根 则L(D)y 0的通解为Y (C1 C2X)e x 4 4、 重的复根 i i ，贝U L(D)y 0 的解 Y eX(G C2X)cos x (C3 CqXjsin x i i 例: 6d y 23dy 18y 0 dx dx 例: y(4) 2y(3)y 2y 0 d 2y 2 4y 29 y 0 dx 例: y(0) 0 y(0) 15 例：(D2 2D 1)y 0 例：已知常系数线性

6、齐次微分方程的特征方程是 0，求该微分方程的 通解 例: d7y dx7 8d5y dx5 16阳0 .2 例Illi y 2d y y 0 dx2 例: (4) y 4y 0 为书写方便，仅仅考虑特征方程只有 2 个解或 2 组解。更多解的情况，都在例题中反映出来，但原理是 一样的。 例：y 4y 8y 8y 3y 0 三部曲之二：求“非齐次”的特解 三部曲之三：相加，得到“非齐次”的通解 1 1、 对L(D)y Pm(x)eux而言，若u是特征方程的k重根，则特解形状为 y* XkQm(X)eUX。其中Qm(x)是与Pm(x)对应的同次的完整的多项式。 2 2、 对 L(D)y Pm(x)

7、euX cosvx Qm(x)euXsin vx 而言，若 u vi 是特征方程的 k 重根， 则特解形状为 y* xkeuxRm(x)cosvx Sm(x)sin vx。其中 Rm(x)、Sm(x)分别是与 Pm(x)、Qm(x)对应的同次的完整的多项式。 例: (D2 D 2 )y xex 例: (D3 5D2 8D 4)y 2x e 例: (D6 D4)y 2 x 例: (D2 6D 13)y e 3x cos2x 例: (2D2 2D 3)y x2 2x 1 例: (D2 9)y xsi n 3x 例: d2y .2 9y cos(2x 5) dx 若y1是L(D)y f“(x)的解，

8、而 y 是L(D)y f2(x)的解，贝卩y“ y 是 注意方程的右边经常只会出现关于 cosvx或sinvx的“半边项”，而不常见cosvx或sinvx的“完整项”例: d2y dx 4巴 dx 4y 0的不同 L（D）y f,x） f2（x）的解。 例：（D2 4） y cos2x cos4x 例：（D2 D） y 2cos2 4x 其余类推。 例：与2屯y 5 dx2 dx 2 例:今2史5 dx dx 例：（D5 aD4）y b 4 4、对L(D)y f(x)而言，若与牡是L(D)y 0的线性无关的两个解，则特解 X。任取。 例：y 2y y exx 2 3 3、 对 L（D）y b而言： n 即: d y n 1 d y a1 n 1 d2y an 2 2 dx dx dx 当 an 0 时， 则y* b an 当 an 0 , an 1 0时